Dieser Lernzettel zum Thema Mengen, Relationen und Abbildungen ist für Studium (Alter 18-20) geschrieben. Kurz gesagt geht es darum: Mengenoperationen, Funktionen, Injektiv, Surjektiv, Bijektiv. Bevor du anfängst, wiederhole am besten Aussagenlogik und Beweisprinzipien, denn dieser Lernzettel baut darauf auf.
Mengen, Relationen und Abbildungen Studium Lernzettel: das lernst du
Einstieg: Die Sprache der Mathematik
Eine Universitätsbibliothek ordnet jedem Buch eine Signatur zu, jede Signatur gehört zu genau einem Regal, und Bücher mit gleicher Fachgruppe stehen zusammen. In dieser alltäglichen Organisation stecken die drei Grundbegriffe dieses Kapitels: Die Bücher bilden eine Menge, „steht in derselben Fachgruppe wie“ ist eine Relation, und die Zuordnung Buch \(\mapsto\) Regal ist eine Abbildung. Fast jede Definition im Studium – vom Vektorraum bis zur stetigen Funktion – wird in dieser Sprache formuliert. Wer Mengen, Relationen und Abbildungen sicher beherrscht, kann Definitionen präzise lesen und Beweise sauber aufschreiben.
Mengen und Mengenoperationen
Definition: Mengen und Mengenoperationen
Eine Menge ist eine Zusammenfassung verschiedener Objekte, der Elemente. Man schreibt \(x\in M\), wenn \(x\) Element von \(M\) ist. \(A\) heißt Teilmenge von \(B\) (\(A\subseteq B\)), wenn aus \(x\in A\) stets \(x\in B\) folgt. Zwei Mengen sind gleich, wenn jede Teilmenge der anderen ist: \(A=B\iff A\subseteq B\wedge B\subseteq A\). Die wichtigsten Operationen: Schnitt \(A\cap B=\{x\mid x\in A\wedge x\in B\}\), Vereinigung \(A\cup B=\{x\mid x\in A\vee x\in B\}\), Differenz \(A\setminus B=\{x\mid x\in A\wedge x\notin B\}\) und, bezogen auf eine Grundmenge \(G\), das Komplement \(A^c=G\setminus A\). Es gelten die Gesetze von De Morgan: \((A\cup B)^c=A^c\cap B^c\) und \((A\cap B)^c=A^c\cup B^c\), sowie die Distributivgesetze \(A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)\).
Merke
Die Potenzmenge \(\mathcal P(M)\) ist die Menge aller Teilmengen von \(M\); hat \(M\) genau \(n\) Elemente, so hat \(\mathcal P(M)\) genau \(2^n\) Elemente. Das kartesische Produkt \(A\times B=\{(a,b)\mid a\in A,b\in B\}\) besteht aus allen geordneten Paaren und hat \(|A|\cdot|B|\) Elemente. Für endliche Mengen gilt die Formel \(|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|\).
Relationen und Äquivalenzrelationen
Definition: Relationen und Äquivalenzrelationen
Eine Relation auf \(M\) ist eine Teilmenge \(R\subseteq M\times M\); man schreibt \(a\sim b\) für \((a,b)\in R\). Eine Relation heißt reflexiv, wenn \(a\sim a\) für alle \(a\), symmetrisch, wenn \(a\sim b\Rightarrow b\sim a\), und transitiv, wenn \(a\sim b\wedge b\sim c\Rightarrow a\sim c\). Sind alle drei Eigenschaften erfüllt, liegt eine Äquivalenzrelation vor. Die Äquivalenzklasse von \(a\) ist \([a]=\{b\mid b\sim a\}\). Verschiedene Klassen sind disjunkt, und ihre Vereinigung ist ganz \(M\) (Zerlegung). Typisches Beispiel: Kongruenz modulo \(n\) auf \(\mathbb Z\) mit den \(n\) Restklassen. Eine Ordnungsrelation ist reflexiv, antisymmetrisch (\(a\le b\wedge b\le a\Rightarrow a=b\)) und transitiv, etwa \(\le\) auf \(\mathbb R\).
Abbildungen
Definition: Abbildungen
Eine Abbildung (Funktion) \(f:A\to B\) ordnet jedem \(a\in A\) genau ein \(f(a)\in B\) zu. \(A\) ist der Definitionsbereich, \(B\) der Wertebereich (Zielmenge). Für \(A'\subseteq A\) heißt \(f(A')=\{f(a)\mid a\in A'\}\) das Bild, für \(B'\subseteq B\) heißt \(f^{-1}(B')=\{a\in A\mid f(a)\in B'\}\) das Urbild (das ist unabhängig davon, ob \(f\) umkehrbar ist). Eine Abbildung heißt
Merke
- injektiv, wenn verschiedene Elemente verschiedene Bilder haben: \(f(x)=f(y)\Rightarrow x=y\);
- surjektiv, wenn jedes \(b\in B\) getroffen wird: \(f(A)=B\);
- bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist. Dann gibt es die Umkehrabbildung \(f^{-1}:B\to A\) mit \(f^{-1}(f(x))=x\).
Merke
Die Komposition \(g\circ f\) ist durch \((g\circ f)(x)=g(f(x))\) definiert. Sie ist assoziativ, aber im Allgemeinen nicht kommutativ. Sind \(f\) und \(g\) injektiv (surjektiv), so auch \(g\circ f\).
So gehst du vor: Injektiv, surjektiv, Äquivalenzrelation prüfen
- Injektiv: \(f(x)=f(y)\) ansetzen und \(x=y\) folgern.
- Surjektiv: \(f(x)=y\) nach \(x\) auflösen und prüfen, ob \(x\) im Definitionsbereich liegt.
- Äquivalenzrelation: Reflexivität, Symmetrie und Transitivität einzeln nachweisen.
- Mengengleichheit: beide Inklusionen \(\subseteq\) zeigen.
Beispiel 1
\(f:\mathbb R\to\mathbb R,\ f(x)=x^2\). Nicht injektiv, denn \(f(-2)=f(2)=4\). Nicht surjektiv, denn \(-1\) wird nicht getroffen. Das Bild ist \([0;\infty)\). Das Urbild von \([1;4]\) ist \([-2;-1]\cup[1;2]\). Schränkt man ein auf \(f:[0;\infty)\to[0;\infty)\), so ist \(f\) bijektiv mit Umkehrung \(\sqrt{\ }\).
Beispiel 2
\(f:\mathbb R\to\mathbb R,\ f(x)=2x+3\) ist bijektiv. Injektiv: \(2x+3=2y+3\Rightarrow x=y\). Surjektiv: Zu \(y\) wähle \(x=\frac{y-3}{2}\). Umkehrabbildung: \(f^{-1}(y)=\frac{y-3}{2}\).
Beispiel 3
Auf \(\mathbb Z\) sei \(a\sim b:\iff 3\mid(a-b)\). Reflexiv: \(3\mid0\). Symmetrisch: \(3\mid(a-b)\Rightarrow3\mid(b-a)\). Transitiv: \(a-c=(a-b)+(b-c)\) ist durch 3 teilbar. Es gibt drei Klassen \([0],[1],[2]\).
Beispiel 4 (Elementbeweis)
Zu zeigen: \(A\setminus(B\cup C)=(A\setminus B)\cap(A\setminus C)\). Es gilt \(x\in A\setminus(B\cup C)\iff x\in A\wedge\neg(x\in B\vee x\in C)\iff x\in A\wedge x\notin B\wedge x\notin C\iff x\in(A\setminus B)\cap(A\setminus C)\). Jeder Schritt ist eine Äquivalenz, daher genügt eine Kette ohne zwei getrennte Inklusionen.
Merkkasten
Für endliche Mengen mit gleich vielen Elementen \(|A|=|B|\) gilt: \(f:A\to B\) ist injektiv \(\iff\) surjektiv \(\iff\) bijektiv. Für unendliche Mengen stimmt das nicht: \(n\mapsto2n\) auf \(\mathbb N\) ist injektiv, aber nicht surjektiv. Eine Menge heißt abzählbar, wenn es eine Bijektion zu \(\mathbb N\) gibt; \(\mathbb Z\) und \(\mathbb Q\) sind abzählbar, \(\mathbb R\) nicht (Cantors Diagonalverfahren).
Rechnen mit Mengen
Für Mengen \(A,B,C\) in einer Grundmenge \(G\) gelten Rechengesetze, die den Gesetzen der Aussagenlogik entsprechen: Vereinigung gehört zu „oder“, Schnitt zu „und“, Komplement zu „nicht“. Besonders wichtig sind die Distributivgesetze \(A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)\) und \(A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)\) sowie die Regeln von De Morgan \(\overline{A\cup B}=\bar A\cap\bar B\) und \(\overline{A\cap B}=\bar A\cup\bar B\). Zwei Mengen sind gleich, wenn jede in der anderen enthalten ist; deshalb besteht ein Beweis von \(M=N\) aus den beiden Teilen \(M\subseteq N\) und \(N\subseteq M\).
Definition: Potenzmenge und kartesisches Produkt
Die Potenzmenge \(\mathcal P(M)\) ist die Menge aller Teilmengen von \(M\). Hat \(M\) genau \(n\) Elemente, so hat \(\mathcal P(M)\) genau \(2^n\) Elemente, denn für jedes Element entscheidet man unabhängig, ob es zur Teilmenge gehört. Das kartesische Produkt \(A\times B=\{(a,b):a\in A,\ b\in B\}\) besteht aus geordneten Paaren; es hat \(|A|\cdot|B|\) Elemente. Die Ebene \(\mathbb R^2=\mathbb R\times\mathbb R\) ist das bekannteste Beispiel.
Satz: Inklusion und Exklusion
Für endliche Mengen gilt \(|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|\) und \[|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C|.\] Elemente im Schnitt werden sonst doppelt gezählt; die Korrekturterme gleichen das aus.
Beispiel 5 (Zählen mit Inklusion und Exklusion)
Wie viele Zahlen von \(1\) bis \(100\) sind durch \(2\) oder durch \(3\) teilbar?
Durch \(2\) teilbar sind \(50\) Zahlen, durch \(3\) teilbar \(33\), durch beide (also durch \(6\)) \(16\). Damit sind es \(50+33-16=67\) Zahlen. Nicht durch \(2\) und nicht durch \(3\) teilbar sind folglich \(100-67=33\) Zahlen.
Äquivalenzrelationen und Klasseneinteilungen
Eine Relation \(R\) auf \(M\) ist eine Teilmenge von \(M\times M\); man schreibt \(a\sim b\) statt \((a,b)\in R\). Sie heißt reflexiv, wenn \(a\sim a\) für alle \(a\) gilt, symmetrisch, wenn aus \(a\sim b\) stets \(b\sim a\) folgt, antisymmetrisch, wenn aus \(a\sim b\) und \(b\sim a\) folgt \(a=b\), und transitiv, wenn aus \(a\sim b\) und \(b\sim c\) folgt \(a\sim c\). Reflexiv, symmetrisch und transitiv zusammen ergeben eine Äquivalenzrelation; reflexiv, antisymmetrisch und transitiv eine Ordnungsrelation.
Satz: Äquivalenzklassen bilden eine Zerlegung
Ist \(\sim\) eine Äquivalenzrelation auf \(M\), so sind die Klassen \([a]=\{b\in M:b\sim a\}\) nicht leer, ihre Vereinigung ist \(M\), und zwei Klassen sind entweder gleich oder disjunkt. Umgekehrt definiert jede Zerlegung von \(M\) in disjunkte, nichtleere Teile eine Äquivalenzrelation: „liegt im selben Teil wie“.
Beispiel 6 (Restklassen modulo 3)
Auf \(\mathbb Z\) sei \(a\sim b\iff3\mid a-b\). Zeigen Sie, dass eine Äquivalenzrelation vorliegt, und bestimmen Sie die Klassen.
Reflexiv: \(a-a=0=3\cdot0\). Symmetrisch: Aus \(a-b=3k\) folgt \(b-a=3(-k)\). Transitiv: Aus \(a-b=3k\) und \(b-c=3l\) folgt \(a-c=3(k+l)\). Es gibt genau drei Klassen: \([0]=\{\dots,-3,0,3,6,\dots\}\), \([1]=\{\dots,-2,1,4,\dots\}\) und \([2]=\{\dots,-1,2,5,\dots\}\), die Reste bei Division durch \(3\). Diese Konstruktion liefert die Restklassen \(\mathbb Z/3\mathbb Z\), mit denen man wie mit Zahlen rechnen kann.
Ein Standardbeispiel einer Ordnungsrelation ist die Teilbarkeit auf \(\mathbb N\): \(a\mid a\), aus \(a\mid b\) und \(b\mid a\) folgt \(a=b\), und Teilbarkeit ist transitiv. Anders als bei \(\le\) sind aber nicht alle Elemente vergleichbar: Weder \(4\mid9\) noch \(9\mid4\). Man spricht von einer Halbordnung und stellt sie mit einem Hasse-Diagramm dar, in dem nur die direkten Teilbarkeiten als Linien eingezeichnet werden.
Injektiv, surjektiv, bijektiv
Eine Abbildung \(f:A\to B\) ordnet jedem \(a\in A\) genau ein \(f(a)\in B\) zu. Sie heißt injektiv, wenn verschiedene Argumente verschiedene Bilder haben, surjektiv, wenn jedes \(b\in B\) als Bild vorkommt, und bijektiv, wenn beides gilt. Genau die bijektiven Abbildungen besitzen eine Umkehrabbildung \(f^{-1}:B\to A\) mit \(f^{-1}\circ f=\mathrm{id}_A\) und \(f\circ f^{-1}=\mathrm{id}_B\). Ob eine Abbildung injektiv oder surjektiv ist, hängt entscheidend von Definitions- und Zielmenge ab: \(x\mapsto x^2\) ist auf \(\mathbb R\to\mathbb R\) weder das eine noch das andere, auf \([0,\infty)\to[0,\infty)\) aber bijektiv.
So gehst du vor: Injektivität und Surjektivität nachweisen
- Injektiv: Ansatz \(f(x_1)=f(x_2)\) und daraus \(x_1=x_2\) folgern. Widerlegen: zwei verschiedene Argumente mit gleichem Bild angeben.
- Surjektiv: Zu beliebigem \(y\) der Zielmenge die Gleichung \(f(x)=y\) nach \(x\) auflösen und prüfen, dass \(x\) im Definitionsbereich liegt. Widerlegen: ein \(y\) ohne Urbild angeben.
- Bijektiv: Beides zeigen; die beim Auflösen gefundene Formel ist die Umkehrabbildung.
Beispiel 7 (Eine gebrochen-lineare Bijektion)
Zeigen Sie, dass \(f:\mathbb R\setminus\{1\}\to\mathbb R\setminus\{2\}\), \(f(x)=\frac{2x+1}{x-1}\) bijektiv ist.
Aus \(y=\frac{2x+1}{x-1}\) folgt \(yx-y=2x+1\), also \(x(y-2)=y+1\) und \(x=\frac{y+1}{y-2}\). Für jedes \(y\ne2\) ist das eine eindeutig bestimmte Zahl, und sie ist \(\ne1\), denn \(\frac{y+1}{y-2}=1\) würde \(y+1=y-2\) bedeuten. Also existiert zu jedem \(y\) genau ein Urbild: \(f\) ist bijektiv mit \(f^{-1}(y)=\frac{y+1}{y-2}\).
Bild, Urbild und Mächtigkeit
Für \(U\subseteq A\) heißt \(f(U)=\{f(u):u\in U\}\) das Bild, für \(V\subseteq B\) heißt \(f^{-1}(V)=\{a\in A:f(a)\in V\}\) das Urbild – das Urbild ist auch dann definiert, wenn \(f\) keine Umkehrabbildung besitzt. Urbilder vertragen sich mit allen Mengenoperationen, Bilder nur mit Vereinigungen: Es gilt stets \(f(U_1\cap U_2)\subseteq f(U_1)\cap f(U_2)\), aber Gleichheit nur bei injektivem \(f\). Zwei Mengen heißen gleichmächtig, wenn es eine Bijektion zwischen ihnen gibt. Eine Menge heißt abzählbar, wenn sie gleichmächtig zu \(\mathbb N\) ist. \(\mathbb Z\) und sogar \(\mathbb Q\) sind abzählbar, \(\mathbb R\) dagegen ist es nach Cantors Diagonalargument nicht.
Achtung: Typische Fehler
Verwechseln Sie nicht \(a\in M\) (Element) und \(\{a\}\subseteq M\) (Teilmenge). Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge, aber nicht unbedingt Element. Eine Relation, die symmetrisch und transitiv ist, muss nicht reflexiv sein – der übliche „Beweis“ setzt stillschweigend voraus, dass jedes \(a\) zu irgendeinem \(b\) in Relation steht. Das Symbol \(f^{-1}(V)\) bezeichnet ein Urbild und setzt keine Bijektivität voraus. Und eine Abbildung ist erst dann vollständig angegeben, wenn Definitionsmenge, Zielmenge und Zuordnungsvorschrift feststehen.
Wusstest du? Hilberts Hotel
David Hilbert erzählte gern von einem Hotel mit unendlich vielen Zimmern, die alle belegt sind. Kommt ein neuer Gast, zieht jeder Gast von Zimmer \(n\) in Zimmer \(n+1\), und Zimmer \(1\) wird frei. Kommen unendlich viele neue Gäste, zieht jeder in Zimmer \(2n\), und alle ungeraden Zimmer werden frei. Die Geschichte zeigt, dass eine unendliche Menge zu einer echten Teilmenge gleichmächtig sein kann. Georg Cantor, der die Mengenlehre ab 1874 entwickelte, bewies außerdem, dass es verschieden große Unendlichkeiten gibt.
Hinweis: Beweise sauber aufschreiben
Beginnen Sie einen Elementbeweis immer mit „Sei \(x\in\dots\) beliebig.“ und schließen Sie mit „Also gilt \(x\in\dots\).“ Bei Äquivalenzrelationen prüfen Sie die drei Eigenschaften einzeln und in dieser Reihenfolge. Bei Abbildungen gehört zum Beweis der Bijektivität auch der Nachweis, dass die gefundene Umkehrformel wirklich in der Definitionsmenge landet. Eine kurze Probe mit einem konkreten Zahlenwert deckt viele Rechenfehler auf, bevor sie in den Beweis wandern.
Merke: Das Wichtigste auf einen Blick
- Mengengleichheit \(M=N\) zeigt man über \(M\subseteq N\) und \(N\subseteq M\) (Elementbeweis); De Morgan: \(\overline{A\cup B}=\bar A\cap\bar B\), \(\overline{A\cap B}=\bar A\cup\bar B\).
- \(|\mathcal P(M)|=2^{|M|}\), \(|A\times B|=|A|\cdot|B|\), \(|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|\) (Inklusion und Exklusion).
- Relation auf \(M\): Teilmenge von \(M\times M\); Eigenschaften reflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch, transitiv.
- Äquivalenzrelation = reflexiv, symmetrisch, transitiv; ihre Klassen zerlegen \(M\) in disjunkte, nichtleere Teile (z. B. Restklassen modulo \(n\)).
- Ordnungsrelation = reflexiv, antisymmetrisch, transitiv; Teilbarkeit ist eine Halbordnung, \(\le\) eine Totalordnung.
- Injektiv: \(f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2\); surjektiv: \(f(x)=y\) für jedes \(y\) lösbar; bijektiv \(\iff\) Umkehrabbildung existiert.
- Urbilder vertragen alle Mengenoperationen, Bilder nur Vereinigungen: \(f(U_1\cap U_2)\subseteq f(U_1)\cap f(U_2)\).
- Gleichmächtig = es gibt eine Bijektion; \(\mathbb N,\mathbb Z,\mathbb Q\) sind abzählbar, \(\mathbb R\) und \(\mathcal P(\mathbb N)\) nicht (Cantor).
Achtung
Verwechseln Sie nicht das Urbild \(f^{-1}(B')\), das für jede Abbildung existiert, mit der Umkehrabbildung, die Bijektivität verlangt. Die Eigenschaften injektiv und surjektiv hängen von Definitions- und Zielmenge ab: \(x\mapsto x^2\) ist auf \(\mathbb R\) nicht injektiv, auf \([0;\infty)\) schon. Bei Äquivalenzrelationen alle drei Eigenschaften einzeln prüfen.
Ottos Tipp
Für „injektiv“ immer mit \(f(x)=f(y)\) starten und auf \(x=y\) umformen; für „surjektiv“ die Gleichung \(f(x)=y\) nach \(x\) auflösen und prüfen, ob die Lösung im Definitionsbereich liegt.
So nutzt du den Lernzettel Mengen, Relationen und Abbildungen (Studium)
Lies zuerst das Wichtigste oben, damit du weißt, worum es geht. Danach arbeitest du jede Definition und jedes Beispiel durch und deckst die Lösung zuerst ab. Anschließend übst du mit dem Arbeitsblatt zu Mengen, Relationen und Abbildungen und vergleichst mit den Lösungen. Sobald du dich sicher fühlst, testest du dich mit dem Online-Test oder dem Quiz. Schließlich schreibst du die Klassenarbeit zu Mengen, Relationen und Abbildungen und korrigierst sie mit den Lösungen zur Klassenarbeit.
Außerdem eignet sich das Kopfrechnen zum Aufwärmen, damit das Wissen frisch bleibt. Außerdem gehören alle Seiten dieses Kapitels zusammen, sodass du jederzeit wechseln kannst. Zum Beispiel lesen viele Schüler montags den Lernzettel, üben mittwochs und testen sich freitags. Kurz gesagt enthält dieser Lernzettel zu Mengen, Relationen und Abbildungen (Studium) alles, was du für das Thema brauchst.
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