Komplexe Zahlen – Mathe Studium 1. Semester Lernzettel zum Herunterladen als PDF

Algebraische Form und Rechnen

Polarform und Eulersche Formel

Wurzeln komplexer Zahlen

Rechnen in der Gaußschen Zahlenebene

Jede komplexe Zahl \(z=a+bi\) entspricht dem Punkt \((a|b)\) der Gaußschen Zahlenebene. Die Addition geschieht komponentenweise wie bei Vektoren, die Multiplikation mit der Regel \(i^2=-1\). Die Konjugierte \(\bar z=a-bi\) ist die Spiegelung an der reellen Achse. Das Produkt \(z\bar z=a^2+b^2=|z|^2\) ist stets reell und nicht negativ; deshalb dividiert man durch \(w\), indem man Zähler und Nenner mit \(\bar w\) erweitert. Der Betrag \(|z|\) ist der Abstand zum Ursprung, und \(|z-w|\) ist der Abstand zweier Punkte. Mengen wie \(|z-z_0|=r\) sind daher Kreise, \(|z-p|=|z-q|\) ist die Mittelsenkrechte von \(p\) und \(q\), und \(\operatorname{Re}z=c\) beschreibt eine senkrechte Gerade. Die Potenzen von \(i\) wiederholen sich mit der Periode \(4\): \(i,-1,-i,1\).

Polarform und die Eulersche Formel

Mit dem Betrag \(r=|z|\) und dem Argument \(\varphi\) (dem Winkel zur positiven reellen Achse) schreibt man \(z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)=re^{i\varphi}\). Die Eulersche Formel \(e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi\) verbindet die Exponentialfunktion mit den trigonometrischen Funktionen; für \(\varphi=\pi\) liefert sie die berühmte Identität \(e^{i\pi}+1=0\). Beim Umrechnen berechnet man \(r=\sqrt{a^2+b^2}\) und bestimmt \(\varphi\) aus \(\tan\varphi=\frac ba\) unter Beachtung des Quadranten: Der Taschenrechner liefert \(\arctan\) nur im Bereich \((-\frac\pi2,\frac\pi2)\), für \(a<0\) muss man \(\pi\) addieren oder subtrahieren. Das Argument ist nur bis auf Vielfache von \(2\pi\) eindeutig; üblich ist der Hauptwert in \((-\pi,\pi]\). In Polarform ist die Multiplikation besonders einfach: Beträge multiplizieren, Argumente addieren; bei der Division Beträge dividieren, Argumente subtrahieren.

Potenzen und Wurzeln

Aus der Rechenregel für Polarformen folgt die Formel von de Moivre: \((re^{i\varphi})^n=r^ne^{in\varphi}\). Damit lassen sich hohe Potenzen sofort berechnen, ohne \((a+bi)^n\) auszumultiplizieren. Umgekehrt hat die Gleichung \(z^n=w\) mit \(w=\rho e^{i\theta}\ne0\) genau \(n\) Lösungen \(z_k=\sqrt[n]\rho\,e^{i(\theta+2\pi k)/n}\) für \(k=0,\dots,n-1\). Sie liegen auf einem Kreis mit Radius \(\sqrt[n]\rho\) und bilden die Ecken eines regelmäßigen \(n\)-Ecks. Besonders wichtig sind die Einheitswurzeln \(\omega_k=e^{2\pi ik/n}\) mit \(\omega^n=1\). Ihre Summe ist \(0\) für \(n\ge2\) (geometrische Summe), und sie liefern in der Fouriertransformation die Basis zur Zerlegung von Signalen.

Quadratische Gleichungen und der Fundamentalsatz der Algebra

Über den komplexen Zahlen hat jede quadratische Gleichung \(z^2+pz+q=0\) zwei Lösungen \(z=-\frac p2\pm\sqrt{\frac{p^2}4-q}\), wobei die Wurzel aus einer negativen Zahl als \(\pm i\sqrt{|\cdot|}\) zu lesen ist. Allgemeiner besagt der Fundamentalsatz der Algebra: Jedes Polynom vom Grad \(n\ge1\) mit komplexen Koeffizienten zerfällt über \(\mathbb C\) in \(n\) Linearfaktoren, besitzt also (mit Vielfachheit gezählt) genau \(n\) Nullstellen. Für Polynome mit reellen Koeffizienten treten nichtreelle Nullstellen paarweise konjugiert auf: Ist \(z_0\) Nullstelle, dann auch \(\bar z_0\). Deshalb zerfällt jedes reelle Polynom in lineare und quadratische reelle Faktoren, was bei der Partialbruchzerlegung gebraucht wird.

Geometrie mit komplexen Zahlen

Viele geometrische Abbildungen der Ebene werden mit komplexen Zahlen zu einfachen Rechenoperationen. Die Addition einer festen Zahl \(b\) ist eine Verschiebung um den Vektor \(b\). Die Multiplikation mit \(e^{i\alpha}\) ist eine Drehung um den Ursprung um den Winkel \(\alpha\), die Multiplikation mit einer positiven reellen Zahl \(r\) eine Streckung. Eine allgemeine Multiplikation mit \(a=re^{i\alpha}\) ist deshalb eine Drehstreckung. Die Konjugation \(z\mapsto\bar z\) spiegelt an der reellen Achse. Will man um einen anderen Punkt \(z_0\) drehen, verschiebt man zuerst \(z_0\) in den Ursprung, dreht und verschiebt zurück: \(z\mapsto z_0+e^{i\alpha}(z-z_0)\).

Diese Sichtweise erklärt auch, warum die Lösungen von \(z^n=1\) ein regelmäßiges Vieleck bilden: Jede Lösung entsteht aus der vorigen durch eine Drehung um \(\frac{2\pi}n\). In der Physik und Technik nutzt man genau diese Eigenschaft, um Schwingungen als rotierende Zeiger darzustellen.

Mit dieser Methode lassen sich in der Klausur viele Aufgaben aus der Elementargeometrie ohne Koordinatenrechnung und ohne Trigonometrie lösen: gleichseitige Dreiecke, Quadrate, regelmäßige Sechsecke und Spiegelungen an Geraden durch den Ursprung.