Reihen und Konvergenzkriterien – Mathe Studium 1. Semester Klassenarbeit zum Herunterladen als PDF

Berechnen Sie die Werte der Reihen.

a) \(\sum_{k=1}^\infty\frac3{5^k}\)
b) \(\sum_{k=1}^\infty\frac1{k^2+3k+2}\)

Untersuchen Sie die Reihen auf Konvergenz. Nennen Sie jeweils das verwendete Kriterium.

a) \(\sum\frac{k^2}{2^k}\)
b) \(\sum\frac1{\sqrt k+1}\)
c) \(\sum_{k\ge1}\frac{(-1)^k}{\ln(k+1)}\)
d) \(\sum\left(\frac{2k}{3k+1}\right)^k\)

Ein Flummi wird aus \(3\) m Höhe fallen gelassen und springt jeweils auf die Hälfte der vorigen Höhe.

a) Wie hoch springt er nach dem vierten Aufprall?
b) Welche Gesamtstrecke legt er zurück?

Die Reihe \(\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k+1}}{k^2}\) hat den Wert \(\frac{\pi^2}{12}\).

a) Begründen Sie die Konvergenz.
b) Wie viele Glieder braucht man nach Leibniz für einen Fehler unter \(0{,}01\)?

Theorie.

a) Beweisen Sie: Konvergiert \(\sum a_k\), so gilt \(a_k\to0\).
b) Zeigen Sie an einem Beispiel, dass die Umkehrung falsch ist.