Reihen und Konvergenzkriterien – Mathe Studium 1. Semester Arbeitsblatt zum Herunterladen als PDF

Berechnen Sie den Wert der Reihen. Geben Sie jeweils den Quotienten \(q\) und das erste Glied an.

a) \(\sum_{k=0}^\infty\left(\frac13\right)^k\)
b) \(\sum_{k=1}^\infty2\left(-\frac12\right)^k\)
c) \(\sum_{k=2}^\infty\frac5{4^k}\)
d) \(\sum_{k=0}^\infty\left(\frac32\right)^k\)

Zerlegen Sie das Glied in eine Differenz und berechnen Sie Partialsummen und Reihenwert.

a) \(\sum_{k=1}^\infty\frac1{k(k+1)}\)
b) \(\sum_{k=1}^\infty\frac1{k(k+2)}\)
c) \(\sum_{k=1}^\infty\left(\sqrt{k+1}-\sqrt k\right)\)

Untersuchen Sie, ob die Glieder eine Nullfolge bilden, und ziehen Sie, wenn möglich, eine Folgerung über die Reihe.

a) \(\sum\frac k{k+1}\)
b) \(\sum\left(1+\frac1k\right)^k\)
c) \(\sum\cos\frac1k\)
d) \(\sum\frac1k\)

Entscheiden Sie mit einer geeigneten Majorante oder Minorante. Geben Sie die Abschätzung ausdrücklich an.

a) \(\sum\frac1{k^2+1}\)
b) \(\sum\frac1{\sqrt k}\)
c) \(\sum\frac1{2^k+k}\)
d) \(\sum_{k\ge3}\frac{\ln k}k\)

Untersuchen Sie mit dem Quotientenkriterium. Berechnen Sie \(q=\lim\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|\).

a) \(\sum\frac k{2^k}\)
b) \(\sum\frac{3^k}{k!}\)
c) \(\sum\frac{k^2}{3^k}\)
d) \(\sum\frac{k!}{10^k}\)

Untersuchen Sie mit dem Wurzelkriterium. Berechnen Sie \(q=\lim\sqrt[k]{|a_k|}\).

a) \(\sum\left(\frac k{2k+1}\right)^k\)
b) \(\sum\left(1-\frac1k\right)^{k^2}\)
c) \(\sum\frac{2^k}{k^2}\)

Ein Ball fällt aus \(2\) m Höhe und springt nach jedem Aufprall auf \(60\,\%\) der vorigen Höhe zurück. Luftwiderstand wird vernachlässigt; die Fallzeit aus der Höhe \(h\) ist \(t=\sqrt{2h/g}\) mit \(g=9{,}81\,\mathrm{m/s^2}\).

a) Wie hoch springt der Ball nach dem ersten, zweiten und dritten Aufprall?
b) Welche Gesamtstrecke legt der Ball zurück? Schreiben Sie sie als Reihe.
c) Berechnen Sie die Fallzeit \(t_0\) aus \(2\) m.
d) Zeigen Sie, dass auch die Gesamtzeit endlich ist, und berechnen Sie sie. Beachten Sie, dass die Flugzeiten den Faktor \(\sqrt{0{,}6}\) haben.

Eine Patientin nimmt jeden Morgen \(100\) mg eines Wirkstoffs ein. Nach \(24\) Stunden sind noch \(40\,\%\) der vorhandenen Menge im Körper.

a) Welche Menge ist unmittelbar nach der zweiten und nach der dritten Einnahme im Körper?
b) Geben Sie die Menge unmittelbar nach der \(n\)-ten Einnahme als geometrische Summe und in geschlossener Form an.
c) Welcher Wert stellt sich langfristig ein? Wie viel Prozent davon sind nach der fünften Einnahme erreicht?
d) Wie hoch ist der Spiegel langfristig unmittelbar vor einer Einnahme?

Jede periodische Dezimalzahl ist eine geometrische Reihe und damit eine rationale Zahl.

a) Zeigen Sie \(0{,}\overline9=1\).
b) Schreiben Sie \(0{,}1\overline6\) als Bruch.
c) Schreiben Sie \(2{,}3\overline{45}\) als vollständig gekürzten Bruch.
d) Begründen Sie: Eine Zahl mit der Periodenlänge \(p\) ist ein Bruch mit dem Nenner \(10^p-1\) (eventuell mal einer Zehnerpotenz).

Man beginnt mit einem gleichseitigen Dreieck der Seitenlänge \(1\) (Fläche \(A_0=\frac{\sqrt3}4\)). In jedem Schritt wird jede Strecke gedrittelt und über dem mittleren Drittel ein gleichseitiges Dreieck nach außen aufgesetzt. Im \(n\)-ten Schritt kommen \(3\cdot4^{n-1}\) neue Dreiecke mit der Fläche \(\frac{A_0}{9^n}\) hinzu.

a) Wie viele Strecken hat die Figur nach \(n\) Schritten, und wie lang ist jede? Bestimmen Sie den Umfang \(U_n\).
b) Zeigen Sie, dass \(U_n\to\infty\).
c) Berechnen Sie die Gesamtfläche als Reihe.
d) Deuten Sie das Ergebnis: Was ist an dieser Figur bemerkenswert?

Achilles läuft \(10\) m/s, die Schildkröte \(1\) m/s; sie hat \(100\) m Vorsprung. Zenon zerlegt das Rennen in Etappen: Achilles läuft zum Startpunkt der Schildkröte, dann zu ihrer neuen Position und so weiter.

a) Wie lang sind die ersten drei Etappen?
b) Welche Strecke läuft Achilles insgesamt bis zum Einholen? Berechnen Sie sie als Reihe.
c) Wie lange dauert es bis zum Einholen?
d) Bestätigen Sie das Ergebnis mit einer linearen Gleichung und erklären Sie, wo Zenons Denkfehler lag.

Eine Stiftung soll einem Preisträger ab dem nächsten Jahr jährlich \(1200\) € auszahlen, für immer. Das Kapital wird mit \(3\,\%\) pro Jahr verzinst. Der heutige Wert (Barwert) einer Zahlung in \(k\) Jahren ist \(\frac{1200}{1{,}03^k}\).

a) Schreiben Sie den Barwert aller Zahlungen als Reihe.
b) Berechnen Sie den Wert der Reihe.
c) Welches Kapital braucht man für eine auf \(30\) Jahre begrenzte Rente? Vergleichen Sie.
d) Erklären Sie anschaulich, warum die ewige Rente nicht unendlich viel kostet.

Ein fairer Würfel wird so lange geworfen, bis zum ersten Mal eine Sechs fällt. Die Wahrscheinlichkeit, dass dies genau im \(k\)-ten Wurf geschieht, ist \(p_k=\frac16\left(\frac56\right)^{k-1}\).

a) Zeigen Sie \(\sum_{k=1}^\infty p_k=1\).
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, in den ersten sechs Würfen mindestens eine Sechs zu werfen?
c) Leiten Sie aus \(\sum_{k=0}^\infty x^k=\frac1{1-x}\) durch gliedweises Ableiten die Formel \(\sum_{k=1}^\infty kx^{k-1}=\frac1{(1-x)^2}\) her (für \(|x|<1\)).
d) Berechnen Sie die erwartete Anzahl der Würfe \(\sum kp_k\).
e) Wie wahrscheinlich ist es, dass man mehr als zehn Würfe braucht?

Die alternierende harmonische Reihe \(\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k+1}}k\) hat den Wert \(\ln2\approx0{,}6931\). Die Leibniz-Reihe \(\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{2k+1}\) hat den Wert \(\frac\pi4\).

a) Begründen Sie die Konvergenz beider Reihen mit dem Leibniz-Kriterium.
b) Berechnen Sie \(s_4\) der ersten Reihe und vergleichen Sie den tatsächlichen Fehler mit der Leibniz-Schranke.
c) Wie viele Glieder garantieren einen Fehler unter \(0{,}001\)?
d) Berechnen Sie \(4\) mal die Summe der ersten zehn Glieder der Leibniz-Reihe. Warum benutzt man diese Reihe nicht, um \(\pi\) zu berechnen?

Das Cauchysche Verdichtungskriterium lautet: Ist \((a_k)\) positiv und monoton fallend, so konvergiert \(\sum a_k\) genau dann, wenn \(\sum2^ka_{2^k}\) konvergiert.

a) Wenden Sie es auf \(a_k=\frac1{k^p}\) an und zeigen Sie: Die Reihe konvergiert genau für \(p>1\).
b) Untersuchen Sie \(\sum_{k\ge2}\frac1{k\ln k}\).
c) Untersuchen Sie \(\sum_{k\ge2}\frac1{k(\ln k)^2}\).
d) Erklären Sie mit der Idee der Gruppierung (wie bei Oresme), warum das Kriterium gilt.

Stapelt man \(n\) Bücher der Länge \(1\) optimal, so ragt das oberste um \(\frac12H_n\) über die Tischkante, wobei \(H_n=1+\frac12+\dots+\frac1n\) die \(n\)-te harmonische Zahl ist.

a) Ab wie vielen Büchern ragt das oberste Buch vollständig über die Tischkante (Überhang größer als \(1\))?
b) Wie viele Bücher braucht man für einen Überhang von mehr als \(2\) Buchlängen? Benutzen Sie \(H_{30}\approx3{,}995\) und \(H_{31}\approx4{,}027\).
c) Schätzen Sie mit \(H_n\approx\ln n+0{,}5772\) ab, wie viele Bücher man für einen Überhang von \(5\) Buchlängen bräuchte.
d) Beweisen Sie mit Oresmes Gruppierung, dass der Überhang beliebig groß werden kann.
e) Was spricht in der Praxis gegen einen beliebig großen Überhang?

Die alternierende harmonische Reihe \(1-\frac12+\frac13-\frac14+\dots\) konvergiert gegen \(\ln2\). Wir ordnen sie so um, dass auf jedes positive Glied zwei negative folgen: \(1-\frac12-\frac14+\frac13-\frac16-\frac18+\frac15-\frac1{10}-\frac1{12}+\dots\)

a) Zeigen Sie, dass in der Umordnung jedes Glied der ursprünglichen Reihe genau einmal vorkommt.
b) Fassen Sie jeweils das positive Glied mit dem direkt folgenden negativen zusammen: \(\left(1-\frac12\right)-\frac14+\left(\frac13-\frac16\right)-\frac18+\dots\) Zeigen Sie \(\frac1{2k-1}-\frac1{4k-2}=\frac1{4k-2}\).
c) Folgern Sie, dass die umgeordnete Reihe den Wert \(\frac12\ln2\) hat.
d) Warum ist das kein Widerspruch zum Kommutativgesetz der Addition?
e) Warum kann so etwas bei \(\sum\frac{(-1)^{k+1}}{k^2}\) nicht passieren?

Entscheiden Sie, ob die Reihe absolut konvergiert, bedingt konvergiert oder divergiert.

a) \(\sum\frac{(-1)^k}{k^2}\)
b) \(\sum\frac{(-1)^k}{\sqrt k}\)
c) \(\sum\frac{\sin k}{k^2}\)
d) \(\sum(-1)^k\frac k{k^2+1}\)
e) \(\sum(-1)^k\frac{k}{k+1}\)

Für absolut konvergente Reihen gilt das Cauchy-Produkt \(\left(\sum_{k=0}^\infty a_k\right)\left(\sum_{k=0}^\infty b_k\right)=\sum_{n=0}^\infty c_n\) mit \(c_n=\sum_{k=0}^na_kb_{n-k}\).

a) Berechnen Sie das Cauchy-Produkt von \(\sum x^k\) mit sich selbst (\(|x|<1\)) und folgern Sie \(\sum_{n=0}^\infty(n+1)x^n=\frac1{(1-x)^2}\).
b) Berechnen Sie \(\sum_{n=0}^\infty\frac{n+1}{2^n}\) und \(\sum_{n=1}^\infty\frac n{2^n}\).
c) Zeigen Sie mit dem binomischen Satz, dass das Cauchy-Produkt der Exponentialreihen \(\sum\frac{x^k}{k!}\) und \(\sum\frac{y^k}{k!}\) die Reihe \(\sum\frac{(x+y)^n}{n!}\) ergibt.
d) Welche Funktionalgleichung der Exponentialfunktion ist damit bewiesen?

Euler fand \(\sum_{k=1}^\infty\frac1{k^2}=\frac{\pi^2}6\). Ohne diese Formel kann man den Wert mit Teleskopsummen erstaunlich gut eingrenzen.

a) Zeigen Sie \(\frac1{k(k+1)}<\frac1{k^2}<\frac1{k(k-1)}\) für \(k\ge2\).
b) Folgern Sie \(\sum_{k=n+1}^\infty\frac1{k^2}<\frac1n\) und \(\sum_{k=n+1}^\infty\frac1{k^2}>\frac1{n+1}\).
c) Zeigen Sie damit \(\sum_{k=1}^\infty\frac1{k^2}<2\).
d) Berechnen Sie \(s_{10}\) und geben Sie ein Intervall der Länge kleiner als \(0{,}01\) an, in dem der Reihenwert liegt. Liegt \(\frac{\pi^2}6\) darin?