Differenzierbarkeit und Mittelwertsatz – Mathe Studium 1. Semester Lernzettel zum Herunterladen als PDF

Die Ableitung

Ableitungsregeln

Satz von Rolle und Mittelwertsatz

Regel von L’Hospital

Differenzierbarkeit als lineare Näherung

Die Ableitung \(f'(a)\) ist die beste lineare Näherung einer Funktion nahe \(a\). Äquivalent zur Definition über den Differenzenquotienten ist die Aussage \(f(a+h)=f(a)+f'(a)\,h+r(h)\) mit einem Rest, für den \(r(h)/h\to0\) gilt. Die Tangente ersetzt also den Graphen in einer kleinen Umgebung durch eine Gerade; der Fehler wird dabei schneller klein als \(h\) selbst. Diese Sichtweise erklärt, warum Differenzierbarkeit Stetigkeit nach sich zieht, und sie lässt sich auf Funktionen mehrerer Veränderlicher übertragen. Die einseitigen Ableitungen \(f'_-(a)=\lim_{h\to0^-}\frac{f(a+h)-f(a)}h\) und \(f'_+(a)\) sind die Grenzwerte von links beziehungsweise rechts. Genau dann ist \(f\) in \(a\) differenzierbar, wenn beide existieren und übereinstimmen. Ein „Knick“ im Graphen bedeutet daher unterschiedliche einseitige Ableitungen, eine senkrechte Tangente bedeutet einen uneigentlichen Grenzwert.

Kurvendiskussion und Extremwertaufgaben

Die Ableitung liefert ein vollständiges Werkzeug zur Untersuchung einer Funktion. Das Vorzeichen von \(f'\) gibt die Monotonie an, das Vorzeichen von \(f''\) die Krümmung: Ist \(f''>0\), liegt der Graph oberhalb seiner Tangenten (konvex), ist \(f''<0\), unterhalb (konkav). Ein Wendepunkt liegt vor, wo \(f''\) das Vorzeichen wechselt. Ist \(f'(x_0)=0\) und \(f''(x_0)>0\), liegt ein lokales Minimum vor; bei \(f''(x_0)<0\) ein lokales Maximum. Ist auch \(f''(x_0)=0\), entscheidet der Vorzeichenwechsel von \(f'\). Globale Extrema einer stetigen Funktion auf einem abgeschlossenen Intervall liegen entweder bei kritischen Punkten im Inneren oder an den Rändern, und man muss daher alle Kandidaten vergleichen.

Der Mittelwertsatz als Beweiswerkzeug

Der Mittelwertsatz ist weniger ein Rechenverfahren als ein Beweiswerkzeug. Fast alle wichtigen Folgerungen der Differentialrechnung stützen sich auf ihn: Aus \(f'=0\) folgt, dass \(f\) konstant ist; aus \(f'>0\) folgt strenge Monotonie; aus \(|f'|\le L\) folgt \(|f(x)-f(y)|\le L|x-y|\), die Lipschitz-Bedingung. Mit ihr lassen sich Funktionswerte abschätzen, ohne sie auszurechnen. Wichtig ist, die Voraussetzungen zu prüfen: Stetigkeit auf dem abgeschlossenen Intervall, Differenzierbarkeit auf dem offenen. Die Funktion \(f(x)=|x|\) auf \([-1,1]\) ist stetig, aber nicht differenzierbar in \(0\); der Mittelwertsatz liefert hier keine Aussage, und tatsächlich ist die Steigung der Sekante \(0\), während \(f'\) nie den Wert \(0\) annimmt.

L’Hospital richtig anwenden

Die Regel von L'Hospital ist ein starkes, aber leicht missbrauchtes Werkzeug. Sie gilt nur für Ausdrücke der Form \(\frac00\) oder \(\frac{\infty}{\infty}\); andere unbestimmte Formen müssen erst umgeformt werden. Aus \(0\cdot\infty\) wird durch Umschreiben ein Quotient, aus \(1^\infty\), \(0^0\) und \(\infty^0\) wird durch \(u^v=e^{v\ln u}\) ein Produkt im Exponenten. Vor der Anwendung lohnt sich immer die Frage, ob nicht eine algebraische Umformung (Kürzen, Erweitern, Standardgrenzwert) schneller zum Ziel führt. Beachten Sie auch, dass die Regel nur in einer Richtung gilt: Existiert der Grenzwert der Ableitungen nicht, sagt das nichts über den ursprünglichen Grenzwert aus.

Warum der Mittelwertsatz gilt

Der Beweis des Mittelwertsatzes führt ihn auf den Satz von Rolle zurück, und dieser stützt sich auf den Extremwertsatz von Weierstraß. Man betrachtet die Hilfsfunktion \(h(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\). Sie beschreibt den senkrechten Abstand des Graphen von der Sekante, ist stetig auf \([a,b]\), differenzierbar auf \((a,b)\) und hat an beiden Rändern den Wert \(0\). Nach Rolle gibt es ein \(\xi\) mit \(h'(\xi)=0\), das heißt \(f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\). Die geometrische Idee ist einfach: Man verschiebt die Sekante parallel, bis sie den Graphen gerade noch berührt. An diesem Berührpunkt ist die Tangente parallel zur Sekante. Ein Beweis, der diese Idee sauber umsetzt, gehört zu den Standardaufgaben im ersten Semester.

Höhere Ableitungen und Krümmung

Ist \(f'\) selbst differenzierbar, erhält man die zweite Ableitung \(f''\), die die Änderung der Steigung beschreibt. In der Physik ist \(s'\) die Geschwindigkeit und \(s''\) die Beschleunigung. Geometrisch beschreibt \(f''\) die Krümmung des Graphen: Bei \(f''>0\) biegt sich der Graph nach oben (Linkskurve, konvex), bei \(f''<0\) nach unten. Die Funktion \(f\) heißt konvex, wenn die Sekante zwischen je zwei Punkten oberhalb des Graphen liegt. Für zweimal differenzierbare Funktionen ist das gleichbedeutend mit \(f''\ge0\). Daraus ergeben sich nützliche Ungleichungen wie \(e^x\ge1+x\): Die Exponentialfunktion ist konvex und liegt daher über ihrer Tangente im Punkt \(x=0\). Wer höhere Ableitungen berechnet, sollte nach jeder Stufe vereinfachen, sonst wachsen die Terme schnell an.

Ableitung als Änderungsrate

In den Anwendungen liest man \(f'(x)\) als momentane Änderungsrate: Geschwindigkeit als Ableitung des Wegs, Stromstärke als Ableitung der Ladung, Wachstumsgeschwindigkeit einer Bakterienkultur als Ableitung der Populationsgröße, Grenzkosten als Ableitung der Kostenfunktion. Eine wichtige Größe ist die relative Änderungsrate \(f'(x)/f(x)\), die angibt, wie viel Prozent der aktuellen Größe pro Zeiteinheit hinzukommen. Für Exponentialfunktionen \(f(t)=Ae^{kt}\) ist sie konstant gleich \(k\); das erklärt, warum exponentielles Wachstum durch die Gleichung \(f'=kf\) beschrieben wird. Bei Sachaufgaben sollten Sie immer die Einheit der Ableitung angeben: Ist \(s\) in Metern und \(t\) in Sekunden gemessen, hat \(s'\) die Einheit Meter pro Sekunde.

Ableitungen in Naturwissenschaft und Technik

Ohne Differentialrechnung gäbe es keine Mechanik, keine Elektrotechnik und keine moderne Wirtschaftstheorie. Bewegungsgleichungen sind Gleichungen für Ableitungen, Optimierungsprobleme in der Logistik und im Maschinenbau werden mit Ableitungen gelöst, und Lernverfahren der künstlichen Intelligenz beruhen darauf, dass man die Steigung einer Fehlerfunktion berechnen und in Richtung des stärksten Abfalls gehen kann. Der Computer kann Ableitungen näherungsweise durch Differenzenquotienten bestimmen, doch bei zu kleinem \(h\) entstehen Rundungsfehler, bei zu großem \(h\) ein Verfahrensfehler. Wer die Ableitung exakt kennt, vermeidet beides. Deshalb lohnt es sich, die Regeln dieses Kapitels sicher zu beherrschen.