Folgen und Grenzwerte – Mathe Studium 1. Semester Arbeitsblatt zum Herunterladen als PDF

Geben Sie den Grenzwert an und bestimmen Sie, ab welchem Index \(N\) alle Glieder weniger als \(\varepsilon=0{,}01\) vom Grenzwert entfernt sind.

a) \(a_n=\frac1n\)
b) \(a_n=\frac n{n+1}\)
c) \(a_n=\frac{(-1)^n}n\)
d) \(a_n=\left(\frac12\right)^n\)

Berechnen Sie die Grenzwerte, indem Sie die höchste Potenz von \(n\) ausklammern.

a) \(a_n=\frac{3n^2+2n}{n^2+4}\)
b) \(b_n=\frac{5n+2}{2n-1}\)
c) \(c_n=\frac{n^2+1}{n^3+2}\)
d) \(d_n=\frac{2^n+1}{2^{n+1}}\)

Bestimmen Sie die Grenzwerte, indem Sie mit der konjugierten Summe erweitern (dritte binomische Formel).

a) \(a_n=\sqrt{n+1}-\sqrt n\)
b) \(b_n=\sqrt{n^2+n}-n\)
c) \(c_n=n\left(\sqrt{1+\frac1n}-1\right)\)

Beweisen Sie mit der Definition und geben Sie \(N\) für \(\varepsilon=0{,}01\) an.

a) \(\lim\frac{2n+1}{n+3}=2\)
b) \(\lim\frac1{\sqrt n}=0\)
c) \(\lim\frac{3n-1}{n+1}=3\)

Zeigen Sie, dass die Folgen divergieren. Verwenden Sie Teilfolgen oder Unbeschränktheit.

a) \(a_n=(-1)^n\)
b) \(b_n=n^2\)
c) \(c_n=\sin\frac{n\pi}2\)
d) \(d_n=(-1)^n+\frac1n\)

Untersuchen Sie Monotonie und Beschränktheit und geben Sie an, ob die Folge konvergiert.

a) \(a_n=\frac n{n+1}\)
b) \(b_n=\frac{n+1}n\)
c) \(c_n=(-1)^nn\)
d) \(d_n=\frac{2n-1}{n}\)

Ein Medikament wird im Körper stündlich um \(30\,\%\) abgebaut. Direkt nach der Einnahme beträgt die Konzentration \(c_0=80\) mg/l. Nach \(n\) Stunden ist \(c_n=80\cdot0{,}7^n\).

a) Geben Sie die Rekursionsformel \(c_{n+1}\) an.
b) Berechnen Sie \(c_1,c_2,c_3\).
c) Begründen Sie, dass \((c_n)\) monoton fällt und gegen \(0\) konvergiert.
d) Nach wie vielen vollen Stunden liegt die Konzentration unter \(1\) mg/l?

Eine Bank wirbt: „Ein Euro, 100 Prozent Zinsen pro Jahr, aber Zinsen werden \(n\)-mal im Jahr gutgeschrieben.“ Nach einem Jahr hat man \(a_n=\left(1+\frac1n\right)^n\) Euro.

a) Berechnen Sie \(a_1,a_2,a_{12}\).
b) Berechnen Sie \(a_{365}\) und \(a_{10000}\) mit dem Taschenrechner und vergleichen Sie mit \(e\approx2{,}71828\).
c) Wie lautet der Grenzwert der Folge, und was bedeutet das für die Bank?
d) Bei \(5\,\%\) Zins gilt \(b_n=\left(1+\frac{0{,}05}n\right)^n\to e^{0{,}05}\). Berechnen Sie den Endbetrag für \(1000\,€\).

Bestimmen Sie die Grenzwerte mit dem Sandwich-Lemma und geben Sie die Schranken an.

a) \(a_n=\frac{\sin n}n\)
b) \(b_n=\sqrt[n]{2^n+3^n}\)
c) \(c_n=\frac n{2^n}\) (benutzen Sie \(2^n\ge\binom n2\))
d) \(d_n=\frac{\cos n}{n^2+1}\)

Betrachten Sie \(a_1=\sqrt2\) und \(a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}\).

a) Berechnen Sie \(a_2,a_3,a_4\) auf vier Stellen.
b) Zeigen Sie durch Induktion \(a_n<2\).
c) Zeigen Sie \(a_{n+1}>a_n\).
d) Bestimmen Sie den Grenzwert.

Das Heron-Verfahren berechnet \(\sqrt5\) durch \(a_{n+1}=\frac12\left(a_n+\frac5{a_n}\right)\) mit dem Startwert \(a_1=3\). Es wird auch in Rechnern und Programmen benutzt.

a) Berechnen Sie \(a_2,a_3,a_4\).
b) Zeigen Sie \(a_n\ge\sqrt5\) für \(n\ge2\) mit der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel.
c) Zeigen Sie, dass die Folge ab \(n=2\) fällt.
d) Berechnen Sie den Grenzwert aus der Fixpunktgleichung und vergleichen Sie mit \(a_4\).

Bestimmen Sie alle Häufungspunkte sowie Limes superior und Limes inferior.

a) \(a_n=(-1)^n\left(1+\frac1n\right)\)
b) \(b_n=\sin\frac{n\pi}2\)
c) \(c_n=n\bmod3\) (Rest bei Division durch \(3\))
d) \(d_n=\frac{1+(-1)^n}2\cdot n\)

In einer Petrischale wächst eine Kultur nach dem Modell \(p_{n+1}=p_n+0{,}2\,p_n\left(1-\frac{p_n}{100}\right)\) (in Prozent der Schalenfläche pro Tag), \(p_1=10\).

a) Berechnen Sie \(p_2\) und \(p_3\).
b) Zeigen Sie: Ist \(0<p_n<100\), so gilt \(p_n<p_{n+1}<100\).
c) Folgern Sie die Konvergenz der Folge.
d) Bestimmen Sie den Grenzwert und deuten Sie ihn.

Die Folge \(a_n=\left(1+\frac1n\right)^n\) konvergiert gegen \(e\). Untersuchen Sie sie genauer.

a) Entwickeln Sie \(a_n\) mit dem binomischen Satz und zeigen Sie \(a_n=\sum_{k=0}^n\frac1{k!}\prod_{j=0}^{k-1}\left(1-\frac jn\right)\).
b) Folgern Sie \(a_n\le\sum_{k=0}^n\frac1{k!}\).
c) Zeigen Sie \(\frac1{k!}\le\frac1{2^{k-1}}\) für \(k\ge1\) und damit \(a_n<3\).
d) Berechnen Sie \(a_{10},a_{100}\) und prüfen Sie die Schranke \(2\le a_n<3\).

Ein Basketball wird aus \(2\) m Höhe fallen gelassen und springt nach jedem Aufprall auf \(60\,\%\) der vorherigen Höhe zurück. Die Höhe nach dem \(n\)-ten Aufprall ist \(h_n=2\cdot0{,}6^n\) Meter.

a) Berechnen Sie \(h_1,\dots,h_4\).
b) Nach wie vielen Aufprällen springt der Ball weniger als \(1\) cm hoch?
c) Der Gesamtweg nach \(n\) Aufprällen ist \(s_n=2+2\sum_{k=1}^nh_k\). Zeigen Sie \(s_n=2+6(1-0{,}6^n)\).
d) Bestimmen Sie den Grenzwert von \(s_n\) und deuten Sie ihn.

Stellen Sie Ihren Taschenrechner auf Bogenmaß, tippen Sie eine beliebige Zahl, zum Beispiel \(1\), und drücken Sie immer wieder die Cosinus-Taste. Das ergibt die Folge \(a_1=1\), \(a_{n+1}=\cos a_n\).

a) Berechnen Sie \(a_2,a_3,a_4,a_5\).
b) Erklären Sie, weshalb die Glieder abwechselnd über und unter dem Grenzwert liegen (\(\cos\) ist auf \([0,1]\) fallend).
c) Der Grenzwert \(a\) erfüllt \(a=\cos a\). Begründen Sie mit dem Mittelwertsatz, dass \(|a_{n+1}-a|\le\sin(1)\,|a_n-a|\) gilt.
d) Wie viele Schritte braucht man ungefähr, um drei Stellen zu erreichen?

Ein Programm hat die Laufzeit \(T(n)\) für eine Eingabe der Größe \(n\). Ein Rechner schafft \(10^9\) Operationen pro Sekunde.

a) Zeigen Sie \(\frac{n!}{n^n}\le\frac1n\) und folgern Sie \(\frac{n!}{n^n}\to0\).
b) Zeigen Sie \(\frac{2^n}{n!}\le2\left(\frac23\right)^{n-2}\) für \(n\ge2\) und folgern Sie \(\frac{2^n}{n!}\to0\).
c) Vergleichen Sie die Laufzeit eines Algorithmus mit \(n^2\) und eines mit \(2^n\) Operationen für \(n=60\).
d) Welchen Grenzwert hat \(\frac{n^{100}}{2^n}\)? Ab welchem Index lohnt sich das Exponentialverfahren nicht mehr?

Beweisen Sie mit der Definition oder bekannten Sätzen.

a) Der Grenzwert einer konvergenten Folge ist eindeutig.
b) Jede konvergente Folge ist beschränkt.
c) Sind \((a_n)\) und \((b_n)\) Nullfolgen, so ist \((a_n+b_n)\) eine Nullfolge.
d) Ist \((a_n)\) beschränkt und \((b_n)\) eine Nullfolge, so ist \((a_nb_n)\) eine Nullfolge.

Entscheiden Sie, ob die Folgen konvergieren, und geben Sie gegebenenfalls den Grenzwert an. Begründen Sie jeweils kurz.

a) \(a_n=\frac{n^2+1}{n+1}\)
b) \(b_n=\frac{3^n}{n!}\)
c) \(c_n=\left(1+\frac2n\right)^n\)
d) \(d_n=n\sin\frac1n\)
e) \(e_n=\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]n\)

Archimedes näherte den Kreis durch regelmäßige Vielecke. Für den Einheitskreis hat das einbeschriebene \(n\)-Eck die Seitenlänge \(s_n\), das \(2n\)-Eck die Seitenlänge \(s_{2n}=\sqrt{2-\sqrt{4-s_n^2}}\). Das Sechseck hat \(s_6=1\). Der halbe Umfang \(u_n=\frac n2s_n\) ist eine Näherung für \(\pi\).

a) Berechnen Sie \(u_6\).
b) Berechnen Sie \(s_{12}\) und \(u_{12}\).
c) Berechnen Sie \(u_{24}\) und \(u_{48}\) numerisch.
d) Warum ist \((u_n)\) monoton wachsend und beschränkt? Welchen Grenzwert hat sie?