Folgen und Grenzwerte – Mathe Studium 1. Semester Lösungen zur Klassenarbeit zum Herunterladen als PDF

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1. Lösung zu Aufgabe 1 (6 BE/Punkte)

   a) Höchste Potenz ausklammern: \(\frac{4-1/n}{2+3/n^2}\to2\) (2 P.).
   b) Erweitern: \(\frac{3n}{\sqrt{n^2+3n}+n}=\frac3{\sqrt{1+3/n}+1}\to\frac32\) (2 P.).
   c) \(\left|\frac{3n-1}{n+1}-3\right|=\frac4{n+1}<\varepsilon\) für \(n>\frac4\varepsilon-1\); für \(\varepsilon=0{,}01\) genügt \(N=400\) (2 P.).

   Bei a) haben Zähler und Nenner den gleichen Grad; der Grenzwert ist das Verhältnis der Leitkoeffizienten \(\frac42\). Bei b) liegt die Form \(\infty-\infty\) vor, deshalb erweitert man mit der Summe. In c) muss \(N\) nur von \(\varepsilon\) abhängen; Kontrolle: \(\frac4{401}\approx0{,}00998\) liegt unter \(0{,}01\), \(\frac4{400}\) dagegen nicht.

2. Lösung zu Aufgabe 2 (4 BE/Punkte)

   a) \(a_1<3\); aus \(a_n<3\) folgt \(a_{n+1}<\sqrt9=3\). \(a_{n+1}^2-a_n^2=6+a_n-a_n^2=(3-a_n)(2+a_n)>0\) (3 P.).
   b) Konvergenz nach dem Monotoniekriterium; \(a^2=6+a\) liefert \(a=3\) (1 P.).

   Beide Eigenschaften werden durch vollständige Induktion bewiesen: Die Schranke benutzt die Monotonie der Wurzelfunktion, die Monotonie die Faktorisierung von \(6+a-a^2\). Erst danach darf man in der Rekursion zum Grenzwert übergehen. Die Gleichung \(a^2=a+6\) hat die Lösungen \(3\) und \(-2\); die negative scheidet aus, weil alle Glieder positiv sind.

3. Lösung zu Aufgabe 3 (4 BE/Punkte)

   a) \(c_n=1{,}0\cdot0{,}85^n\) (1 P.).
   b) \(0{,}85^n\to0\), Grenzwert \(0\) (1 P.).
   c) \(0{,}85^n<0{,}2\iff n>\frac{\ln5}{\ln(1/0{,}85)}\approx9{,}9\). Nach \(10\) Stunden (\(0{,}85^{10}\approx0{,}197\)) (2 P.).

   Ein Abbau um fünfzehn Prozent bedeutet, dass jede Stunde \(85\,\%\) des Wertes übrig bleiben; die Folge ist geometrisch. Wegen \(0<0{,}85<1\) strebt sie gegen null. Für c) logarithmiert man und rundet auf die nächste volle Stunde auf, denn nach neun Stunden liegt der Wert mit etwa \(0{,}232\) Promille noch über der Grenze.

4. Lösung zu Aufgabe 4 (3 BE/Punkte)

   a) \(a_{2k}=1+\frac1{2k}\to1\) und \(a_{2k+1}=-1+\frac1{2k+1}\to-1\): Häufungspunkte \(1\) und \(-1\) (2 P.).
   b) Eine konvergente Folge hat genau einen Häufungspunkt, hier gibt es zwei: divergent (1 P.).

   Gerade und ungerade Indizes bilden zwei Teilfolgen, deren Grenzwerte man getrennt berechnet; der Summand \(\frac1n\) strebt in beiden gegen null. Da eine konvergente Folge nur einen einzigen Häufungspunkt besitzen kann, beweisen die zwei verschiedenen Werte die Divergenz. Die Folge ist trotzdem beschränkt: Alle Glieder liegen zwischen \(-1\) und \(\frac32\).

5. Lösung zu Aufgabe 5 (3 BE/Punkte)

   a) \(|\cos n|\le1\), also \(|a_n|\le\frac1{n^2+1}\to0\) (1 P.).
   b) Wegen \(2^n\ge\frac{n(n-1)}2\) gilt \(0\le\frac n{2^n}\le\frac2{n-1}\to0\) (2 P.).

   Beim Einschließungskriterium sucht man eine einfache obere Schranke, die gegen null strebt; die untere ist hier \(0\) beziehungsweise \(-\) dieselbe Schranke. In b) folgt die Ungleichung \(2^n\ge\binom n2\) aus dem binomischen Satz für \((1+1)^n\). Damit wird sichtbar, dass die Exponentialfunktion schneller wächst als jede lineare Funktion.

Gesamt : 20 Punkte