Komplexe Zahlen – Mathe Studium 1. Semester Arbeitsblatt zum Herunterladen als PDF

Berechnen Sie und geben Sie das Ergebnis in der Form \(a+bi\) an.

a) \((3+2i)+(1-4i)\) und \((3+2i)-(1-4i)\)
b) \((2+i)(3-2i)\)
c) \(i^{23}\) und \(i^{102}\)
d) \((1+i)^2\) und \((1-i)^2\)

Gegeben ist \(z=3-4i\).

a) Bestimmen Sie \(\bar z\), \(|z|\) und \(z\bar z\).
b) Bestimmen Sie \(\frac1z\) in der Form \(a+bi\).
c) Bestimmen Sie \(\operatorname{Re}(z^2)\) und \(\operatorname{Im}(z^2)\).
d) Zeigen Sie \(z+\bar z=2\operatorname{Re}z\) und \(z-\bar z=2i\operatorname{Im}z\) für dieses \(z\).

Berechnen Sie durch Erweitern mit der Konjugierten des Nenners.

a) \(\dfrac{2+3i}{1-2i}\)
b) \(\dfrac5{1+2i}\)
c) \(\dfrac{1+i}{1-i}\)
d) \(\dfrac{3-i}{1+i}\)

Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen und machen Sie die Probe.

a) \(z^2=-9\)
b) \(z^2+2z+5=0\)
c) \((1+i)z=3-i\)
d) \(z^2-4z+13=0\)

Beschreiben Sie die Menge aller \(z\in\mathbb C\), die die Bedingung erfüllen, geometrisch.

a) \(|z-(1+i)|=2\)
b) \(\operatorname{Re}z=\operatorname{Im}z\)
c) \(|z-1|=|z+1|\)
d) \(|z|\le1\) und \(\operatorname{Re}z\ge0\)

Bestimmen Sie Betrag und Hauptwert des Arguments (im Bogenmaß) und schreiben Sie \(z=re^{i\varphi}\). Beachten Sie den Quadranten.

a) \(z=1+i\)
b) \(z=-2\)
c) \(z=-1-i\)
d) \(z=\sqrt3-i\)

Geben Sie die Zahlen in der Form \(a+bi\) an.

a) \(4\left(\cos60^\circ+i\sin60^\circ\right)\)
b) \(2e^{i\pi}\)
c) \(3e^{-i\pi/2}\)
d) \(\sqrt2\,e^{i\pi/4}\)

Berechnen Sie mit der Polarform und geben Sie das Ergebnis in der Form \(a+bi\) an.

a) \((1+i)^8\)
b) \((\sqrt3+i)^6\)
c) \((1-i)^{10}\)

Bestimmen Sie alle Lösungen und skizzieren Sie ihre Lage.

a) \(z^3=-8\)
b) \(z^4=16\)
c) \(z^2=3+4i\) (Tipp: Probieren Sie \(2+i\))

Lösen Sie mit der Lösungsformel und prüfen Sie durch Einsetzen.

a) \(z^2-2iz+3=0\)
b) \(z^2+4=0\)
c) \(z^2-(3+i)z+(2+i)=0\)

Eine Reihenschaltung aus einem Widerstand \(R=30\,\Omega\), einer Spule \(L=0{,}2\) H und einem Kondensator \(C=250\,\mu\)F liegt an der Spannung \(U=230\) V bei \(\omega=100\,\mathrm s^{-1}\). Die komplexe Impedanz ist \(Z=R+i\left(\omega L-\frac1{\omega C}\right)\).

a) Berechnen Sie \(\omega L\) und \(\frac1{\omega C}\).
b) Geben Sie \(Z\) in der Form \(a+bi\) an.
c) Berechnen Sie den Betrag \(|Z|\) und die Phasenverschiebung \(\varphi=\arg Z\).
d) Berechnen Sie den Effektivwert des Stroms \(I=\frac U{|Z|}\).

Zwei Bauteile haben die Impedanzen \(Z_1=3+4i\) und \(Z_2=1-2i\) (in Ohm).

a) Berechnen Sie die Gesamtimpedanz der Reihenschaltung \(Z_1+Z_2\).
b) Berechnen Sie die Gesamtimpedanz der Parallelschaltung \(Z_p=\frac{Z_1Z_2}{Z_1+Z_2}\).
c) Zeigen Sie, dass \(\frac1{Z_p}=\frac1{Z_1}+\frac1{Z_2}\) gilt.
d) Welche der beiden Schaltungen hat den größeren Betrag der Impedanz?

In einem Computerspiel liegt der Mittelpunkt einer Figur im Punkt \(P=3+i\) (Bildschirmkoordinaten, Ursprung im Drehzentrum). Die Figur wird durch Multiplikation mit \(e^{i\alpha}\) um den Ursprung gedreht.

a) Wohin wird \(P\) bei einer Drehung um \(90^\circ\) abgebildet?
b) Wohin bei \(60^\circ\)? Geben Sie \(a+bi\) exakt und numerisch an.
c) Zeigen Sie, dass der Abstand zum Ursprung bei jeder Drehung gleich bleibt.
d) Welche Multiplikation dreht die Figur um \(45^\circ\) und streckt sie zugleich um den Faktor \(\sqrt2\)?

Ein Fliesenleger entwirft ein Muster. Das Quadrat \(Q\) hat die Eckpunkte \(0\), \(1\), \(1+i\), \(i\). Jede Ecke wird mit \(w=1+i\) multipliziert, die neue Figur ist \(Q'\).

a) Berechnen Sie die vier Ecken von \(Q'\).
b) Um welchen Winkel ist \(Q'\) gedreht, um welchen Faktor gestreckt?
c) Wie groß ist die Fläche von \(Q'\)?
d) Wiederholt man die Abbildung dreimal: Welche Ecke geht aus \(1\) hervor?

Auf einem Zifferblatt mit Radius \(1\) entspricht die Stundenmarke \(k\) (für \(k=0,\dots,11\); \(k=0\) ist die 12-Uhr-Marke) der komplexen Zahl \(m_k=i\,e^{-i\pi k/6}\).

a) Bestätigen Sie, dass \(m_0=i\) (oben) und \(m_3=1\) (rechts, 3 Uhr) gilt.
b) Berechnen Sie die Marke \(m_2\) (2 Uhr) in der Form \(a+bi\).
c) Zeigen Sie, dass alle \(m_k\) auf dem Einheitskreis liegen und \(m_k^{12}=1\) gilt.
d) Wie groß ist die Summe aller zwölf Marken? Begründen Sie.

Bestimmen Sie alle komplexen Nullstellen und zerlegen Sie das Polynom über \(\mathbb R\) und \(\mathbb C\) in Faktoren.

a) \(p(z)=z^3-z^2+z-1\)
b) \(p(z)=z^4+4\)
c) \(p(z)=z^3-1\)

Für eine komplexe Zahl \(c\) bildet man \(z_0=0\), \(z_{n+1}=z_n^2+c\). Bleibt die Folge beschränkt, gehört \(c\) zur Mandelbrot-Menge; wird irgendwann \(|z_n|>2\), so divergiert sie.

a) Berechnen Sie die ersten Glieder für \(c=1\).
b) Berechnen Sie die ersten fünf Glieder für \(c=i\).
c) Berechnen Sie \(z_1,z_2,z_3\) für \(c=1+i\) und bestimmen Sie die Beträge.
d) Welche der drei Zahlen gehören zur Mandelbrot-Menge?

Seien \(z,w\in\mathbb C\). Beweisen Sie.

a) \(\overline{zw}=\bar z\,\bar w\).
b) \(|zw|=|z||w|\).
c) \(|z+w|^2=|z|^2+|w|^2+2\operatorname{Re}(z\bar w)\) und folgern Sie die Dreiecksungleichung \(|z+w|\le|z|+|w|\).
d) Für \(z\ne0\) gilt: \(z+\frac1z\in\mathbb R\) genau dann, wenn \(z\in\mathbb R\) oder \(|z|=1\).

Mit \((\cos\varphi+i\sin\varphi)^3=\cos3\varphi+i\sin3\varphi\) lassen sich Additionstheoreme herleiten.

a) Multiplizieren Sie die linke Seite mit dem binomischen Satz aus.
b) Vergleichen Sie die Realteile und zeigen Sie \(\cos3\varphi=4\cos^3\varphi-3\cos\varphi\).
c) Vergleichen Sie die Imaginärteile und zeigen Sie \(\sin3\varphi=3\sin\varphi-4\sin^3\varphi\).
d) Prüfen Sie beide Formeln für \(\varphi=60^\circ\).

Sei \(\omega=e^{2\pi i/n}\). Die \(n\)-ten Einheitswurzeln sind \(1,\omega,\dots,\omega^{n-1}\).

a) Zeigen Sie \(\sum_{k=0}^{n-1}\omega^k=0\) für \(n\ge2\) mit der geometrischen Summenformel.
b) Prüfen Sie die Aussage für \(n=4\) (die Wurzeln \(1,i,-1,-i\)).
c) Berechnen Sie das Produkt aller Einheitswurzeln für \(n=3\) und \(n=4\).
d) Erklären Sie mit dem Satz von Vieta für \(z^n-1\), warum das Produkt \((-1)^{n-1}\) ist.