Produktregel, Kettenregel und weitere Ableitungsregeln – Mathe Abitur (Klasse 12-13) Klassenarbeit zum Herunterladen als PDF

Leiten Sie die Funktionen ab und vereinfachen Sie.

a) \(f(x)=x^2\,\mathrm{e}^{3x}\) (2 BE)
b) \(g(x)=\dfrac{\ln x}{x^2}\) für \(x>0\) (2 BE)
c) \(h(x)=\sqrt{1+\mathrm{e}^{x}}\) (2 BE)

Zeigen Sie, dass \(F(x)=(x^2-2x+2)\mathrm{e}^x\) eine Stammfunktion von \(f(x)=x^2\mathrm{e}^x\) ist und berechnen Sie damit \(\int_0^1x^2\mathrm{e}^x\,dx\). (3 BE)

Lösen Sie die Aufgabe.

Gegeben ist \(f(x)=\ln(x^2+1)\). Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente im Punkt \(P(1|f(1))\). (4 BE)

Lösen Sie die Aufgabe.

Gegeben ist \(f(x)=x^2\mathrm{e}^{-x}\).

a) Bestimmen Sie \(f'(x)\) und die Nullstellen von \(f'\). (2 BE)
b) Bestimmen Sie die Art der Extrema mit dem Vorzeichenwechsel von \(f'\) und geben Sie die Extrempunkte an. (3 BE)

Die Temperatur eines Kaffees ist \(T(t)=20+70\,\mathrm{e}^{-0{,}05t}\) (in \({}^\circ\mathrm{C}\), \(t\) in Minuten). Bestimmen Sie die Abkühlungsgeschwindigkeit nach \(20\) Minuten. (2 BE)

Lösen Sie die Aufgabe.