Lógica, conjuntos y demostraciones – matemáticas 1º Grado (Universidad): apuntes y teoría para descargar en PDF

Definición: proposiciones y conectivos

Una proposición es un enunciado que es verdadero (V) o falso (F), pero no ambas cosas. «\(7\) es primo» es una proposición; «\(x>2\)» no lo es hasta que se da valor a \(x\). A partir de proposiciones \(p,q\) se construyen otras con los conectivos: negación \(\neg p\), conjunción \(p\wedge q\), disyunción inclusiva \(p\vee q\), implicación \(p\Rightarrow q\) y doble implicación \(p\Leftrightarrow q\).

Definición: proposiciones y conectivos

La implicación \(p\Rightarrow q\) solo es falsa cuando \(p\) es verdadera y \(q\) falsa; es equivalente a \(\neg p\vee q\). Sus formas relacionadas son la recíproca \(q\Rightarrow p\), la contraria \(\neg p\Rightarrow\neg q\) y la contrarrecíproca \(\neg q\Rightarrow\neg p\). Solo la contrarrecíproca es equivalente a la implicación original. Es el error más repetido en los exámenes: creer que, si vale una implicación, también vale su recíproca.

Definición: proposiciones y conectivos

Una tautología es una proposición siempre verdadera y una contradicción es siempre falsa. Las leyes de De Morgan dicen que \(\neg(p\wedge q)\equiv\neg p\vee\neg q\) y \(\neg(p\vee q)\equiv\neg p\wedge\neg q\). Dos proposiciones son equivalentes si tienen la misma tabla de verdad.

Definición: cuantificadores

Un predicado \(P(x)\) depende de una variable. Escribimos \(\forall x\,P(x)\) («para todo \(x\)») y \(\exists x\,P(x)\) («existe algún \(x\)»). La negación intercambia los cuantificadores: \(\neg(\forall x\,P(x))\equiv\exists x\,\neg P(x)\) y \(\neg(\exists x\,P(x))\equiv\forall x\,\neg P(x)\). El orden importa: «\(\forall x\,\exists y:\ y>x\)» es verdadera en \(\mathbb{R}\), pero «\(\exists y\,\forall x:\ y>x\)» es falsa, porque ningún real es mayor que todos los reales.

Definición: conjuntos

Un conjunto se define por extensión (\(A=\{1,2,3\}\)) o por comprensión (\(A=\{x\in\mathbb{N}: x\le 3\}\)). Las operaciones básicas son la unión \(A\cup B\), la intersección \(A\cap B\), la diferencia \(A\setminus B\), el complementario \(A^c\) y la diferencia simétrica \(A\triangle B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A)\). Se tiene \(A\subseteq B\) si todo elemento de \(A\) está en \(B\); para probar \(A=B\) se demuestran las dos inclusiones.

Definición: razonamiento válido

Un razonamiento está formado por unas premisas y una conclusión. Es válido cuando es imposible que todas las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa; es decir, cuando la implicación «premisas \(\Rightarrow\) conclusión» es una tautología. La validez depende solo de la forma, no del contenido: un razonamiento válido con una premisa falsa puede llevar a una conclusión falsa, y un razonamiento no válido puede llegar por casualidad a una conclusión verdadera.