Límites y continuidad – matemáticas 1º Grado (Universidad): examen para descargar en PDF

Calcula los límites siguientes razonando cada paso.

1. \(\lim_{x\to2}\dfrac{x^2-5x+6}{x^2-4}\)
2. \(\lim_{x\to0}\dfrac{\sqrt{x+1}-1}{\sin 2x}\)
3. \(\lim_{x\to\infty}\left(\dfrac{2x+1}{2x-1}\right)^{x}\)

Sea \(f(x)=\begin{cases}\dfrac{\sin(ax)}{x}&x<0\\ 2&x=0\\ \dfrac{e^{bx}-1}{x}+1&x>0\end{cases}\).

1. Calcula los límites laterales de \(f\) en 0 en función de \(a\) y \(b\).
2. Halla \(a\) y \(b\) para que \(f\) sea continua en 0.

Estudia \(f(x)=\dfrac{x^2-x-2}{x^2-1}\).

1. Dominio y clasificación de las discontinuidades.
2. Asíntotas verticales y horizontales.

Se quiere resolver \(\cos x=x\).

1. Demuestra que la ecuación tiene una solución en \([0,1]\).
2. Aplica una vez la bisección y da un intervalo de longitud \(0{,}5\) que contenga la raíz.

Un parque acuático de Tarragona cobra por persona \(P(n)=12\) € si el grupo tiene menos de 10 personas, \(P(n)=10\) € si tiene de 10 a 24 y \(P(n)=9\) € desde 25. Sea \(I(n)=n\cdot P(n)\) el ingreso total (en euros) para un grupo de \(n\) personas.

1. Calcula \(I(9)\), \(I(10)\), \(I(24)\) y \(I(25)\).
2. Un grupo de 9 pagaría más que uno de 10: explica la paradoja.
3. La dirección propone una tarifa continua \(P(x)=12-0{,}2x\) para \(0\le x\le 10\). Calcula \(\lim_{x\to10^-}P(x)\) y compáralo con 10 €.
4. Explica con límites laterales por qué la tarifa original no es continua.