Sucesiones y series numéricas – matemáticas 1º Grado (Universidad): soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   Criterios. Se valora identificar la indeterminación y aplicar la técnica adecuada a cada límite.

   1. Dividiendo por \(n^2\): \(\frac14\). Indeterminación \(\frac\infty\infty\): \(\frac{1-3/n^2}{4+1/n}\to\frac14\).
   2. \(1^\infty\): \(\left[\left(1+\frac{1}{-n/3}\right)^{-n/3}\right]^{-6}\to e^{-6}\). Indeterminación \(1^\infty\). Se usa \(\left(1+\frac1{a_n}\right)^{a_n}\to e\) con \(a_n=-\frac n3\to-\infty\), y el exponente es \(2n=-6\cdot\left(-\frac n3\right)\). También: \(e^{\lim 2n\cdot(-3/n)}=e^{-6}\).
   3. \(\frac{3}{\sqrt{n+3}+\sqrt n}\to0\). Indeterminación \(\infty-\infty\): se multiplica y divide por el conjugado; el numerador queda \((n+3)-n=3\) y el denominador tiende a infinito.

2. Solución del ejercicio 2 (4 puntos)

   Criterios. Se valora reconocer la serie geométrica o telescópica y calcular su suma con las sumas parciales.

   1. Geométrica de razón \(-\frac12\): \(\frac{3}{1+1/2}=2\). Primer término \(3\) y razón \(r=-\frac12\), con \(|r|\lt 1\), así que la serie converge a \(\frac{3}{1-r}\).
   2. \(\frac2{n(n+2)}=\frac1n-\frac1{n+2}\); telescópica: \(S_N=1+\frac12-\frac1{N+1}-\frac1{N+2}\to\frac32\). Fracciones simples: \(\frac2{n(n+2)}=\frac An+\frac B{n+2}\) con \(A=1\) y \(B=-1\). Al sumar se cancelan todos los términos salvo \(1\), \(\frac12\) y los dos últimos negativos, que tienden a 0.

3. Solución del ejercicio 3 (4 puntos)

   Criterios. Se valora elegir y aplicar correctamente el criterio de convergencia en cada serie.

   1. Cociente: \(\frac3{n+1}\to0\): converge. \(\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{3^{n+1}n!}{(n+1)!\,3^n}\), con límite \(0\lt 1\).
   2. Comparación en el límite con \(\sum\frac1n\) (cociente \(\to1\)): diverge. \(\frac{n/(n^2+1)}{1/n}=\frac{n^2}{n^2+1}\to1\); como la serie armónica diverge, esta también.
   3. Leibniz: \(\frac1{\sqrt n}\) decrece a 0, converge; pero \(\sum\frac1{\sqrt n}\) diverge: condicionalmente convergente. Para la absoluta, es una serie \(p\) con \(p=\frac12\le1\).

4. Solución del ejercicio 4 (5 puntos)

   Criterios. Se valora la recurrencia, la suma geométrica y la interpretación del nivel de equilibrio.

   1. \(a_{n+1}=0{,}25a_n+20\). Tras cada inyección queda el 25 % de lo anterior más 20 unidades nuevas.
   2. \(a_2=25\), \(a_3=26{,}25\). \(a_2=0{,}25\cdot20+20=25\) y \(a_3=0{,}25\cdot25+20=26{,}25\).
   3. \(a_n=20(1+0{,}25+\dots+0{,}25^{n-1})=20\cdot\frac{1-0{,}25^n}{0{,}75}\). Desarrollando la recurrencia: \(a_n=20+0{,}25\cdot20+\dots+0{,}25^{n-1}\cdot20\). Comprobación con \(n=2\): \(20\cdot\frac{1-0{,}0625}{0{,}75}=25\).
   4. \(\frac{20}{0{,}75}=\frac{80}{3}\approx26{,}67\) unidades. Como \(0{,}25^n\to0\), \(a_n\to\frac{20}{0{,}75}\); también sale del punto fijo \(L=0{,}25L+20\). El nivel se estabiliza en unas 26,7 unidades.

5. Solución del ejercicio 5 (3 puntos)

   Criterios. Se valora la demostración por inducción, la monotonía y el cálculo del límite como punto fijo.

   1. \(a_1=0\lt 6\); si \(a_n\lt 6\), \(a_{n+1}\lt \frac{12}2=6\). Base: \(a_1=0\). Paso: si \(a_n\lt 6\), entonces \(a_n+6\lt 12\) y basta dividir entre 2.
   2. \(a_{n+1}-a_n=\frac{6-a_n}2\gt 0\). Por el apartado anterior, \(6-a_n\gt 0\).
   3. Monótona y acotada: \(L=\frac{L+6}2\Rightarrow L=6\). Por el teorema de la convergencia monótona existe el límite \(L\); tomando límites en la recurrencia, \(L=\frac{L+6}{2}\), es decir, \(2L=L+6\).

Total : 20 puntos