Derivadas y desarrollo de Taylor – matemáticas 1º Grado (Universidad): apuntes y teoría para descargar en PDF

La derivada mide la variación instantánea de una función y es la herramienta central del Cálculo en una variable. En este tema repasamos su definición y reglas, los teoremas fundamentales sobre intervalos (Rolle y valor medio), la regla de L’Hôpital y la aproximación polinómica de Taylor, con control del error.

Definición y reglas

Teoremas de Rolle y del valor medio

Regla de L’Hôpital

Polinomio de Taylor

Estudio de funciones

Derivadas de orden superior y concavidad

Si la derivada de una función es a su vez derivable, podemos derivar otra vez y obtener la derivada segunda. Su signo informa de la forma de la gráfica: cuando es positiva la función es convexa (cóncava hacia arriba), la gráfica queda por encima de sus tangentes y el punto crítico, si existe, es un mínimo; cuando es negativa la función es cóncava (hacia abajo) y el punto crítico es un máximo. Los puntos donde la derivada segunda cambia de signo son los puntos de inflexión, en los que la curva pasa de un tipo de curvatura al otro. En física, la derivada segunda de la posición respecto del tiempo es la aceleración, y en economía mide si el coste marginal crece o decrece.

Aplicaciones de la derivada a otras ciencias

La derivada aparece en cualquier fenómeno en el que importe la rapidez de un cambio. En química, la velocidad de una reacción es la derivada de la concentración respecto del tiempo; en biología, la tasa de crecimiento de una población es la derivada del tamaño de la población; en medicina, la velocidad con que un fármaco se elimina de la sangre es la derivada de la concentración; en ingeniería, la pendiente de una carretera se obtiene derivando su perfil de altura. Todos estos modelos comparten la misma estructura matemática, lo que permite aplicar el mismo método de optimización o de estudio de funciones a contextos muy diversos. Por eso conviene acostumbrarse a traducir cada enunciado a una función de una variable, a identificar qué representa su derivada y a interpretar el resultado con las unidades correctas.

Teoremas fundamentales sobre derivadas

Los teoremas de Rolle y del valor medio conectan la derivada con el comportamiento global de la función: si una función derivable toma el mismo valor en los extremos de un intervalo, su derivada se anula en algún punto interior; y, en general, la pendiente de la recta que une dos puntos de la gráfica coincide con la pendiente de alguna tangente. De ellos se deducen los criterios de monotonía (derivada positiva implica función creciente), la unicidad de raíces y las acotaciones de errores. La regla de L'Hôpital, que utilizamos para resolver indeterminaciones, también se demuestra a partir de una versión generalizada del teorema del valor medio.

El polinomio de Taylor de grado \(n\) en el punto \(a\) es \(P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\) y el error se acota con el resto de Lagrange \(R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}\) para algún \(c\) entre \(a\) y \(x\). Con este resto sabemos cuántos términos necesitamos para alcanzar la precisión deseada, algo fundamental en cálculo numérico y en programación de funciones elementales en calculadoras y ordenadores.