Integrales y aplicaciones – matemáticas 1º Grado (Universidad): apuntes y teoría para descargar en PDF

La integral de Riemann formaliza el área bajo una curva. Su teorema fundamental la une con la derivada y proporciona un método de cálculo mediante primitivas. Además de áreas, sirve para volúmenes, longitudes, valores medios y modelos de acumulación.

Integral definida y primitivas

Técnicas de integración

Aplicaciones geométricas

Integrales impropias

Aplicaciones geométricas y físicas

El área entre dos curvas se calcula integrando la diferencia entre la función superior y la inferior. Si las curvas se cruzan, se divide el intervalo en los puntos de corte. El volumen de un sólido de revolución generado al girar la región bajo \(y=f(x)\) alrededor del eje \(x\) vale \(V=\pi\int_a^b f(x)^2\,dx\), y con el método de capas se calcula respecto del eje vertical como \(V=2\pi\int_a^b x f(x)\,dx\). La longitud de un arco es \(\int_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx\). En física, la integral de la velocidad es el desplazamiento, la de la potencia es la energía y la de la fuerza respecto de la posición es el trabajo. En economía, integrando un coste marginal se obtiene el coste total, y la diferencia entre lo que los consumidores estarían dispuestos a pagar y lo que pagan se llama excedente del consumidor.

Cómo elegir la técnica de integración

Ante una integral nueva conviene seguir un orden de prueba para no perder tiempo. Primero se comprueba si es inmediata o si se reduce a una inmediata con una pequeña constante multiplicativa. Si el integrando contiene una función compuesta y, multiplicando, la derivada de la función interior, se hace un cambio de variable. Si aparece un producto de una función algebraica por una exponencial, un seno, un coseno o un logaritmo, se intenta la integración por partes, eligiendo como \(u\) la función que se simplifica al derivar. Si el integrando es un cociente de polinomios, se divide si el grado del numerador no es menor, y después se descompone el cociente en fracciones simples según las raíces del denominador. Las integrales trigonométricas con potencias pares suelen resolverse con las fórmulas del ángulo doble, y las que contienen raíces del tipo \(\sqrt{a^2-x^2}\) con la sustitución trigonométrica \(x=a\sin\theta\). Con la práctica, reconocer el patrón es cuestión de segundos, y comprobar el resultado derivando es siempre posible y recomendable. Cuando una integral definida tiene límites simétricos, conviene observar si el integrando es par o impar: en el caso impar la integral vale cero, y en el par basta calcular el doble de la integral entre cero y el límite superior. Estos atajos ahorran cálculos largos y reducen la probabilidad de cometer errores de signo, que son la principal causa de resultados incorrectos en los exámenes de integración.

Integración numérica

Muchas integrales no tienen primitiva elemental, como \(\int e^{-x^2}dx\), o se conocen solo a partir de datos tabulados. Entonces se aproximan con fórmulas numéricas. La regla de los trapecios sustituye la curva por segmentos en cada subintervalo; la regla de Simpson la sustituye por parábolas y exige un número par de subintervalos. El error de Simpson decrece como la cuarta potencia de la anchura de paso, por lo que duplicar los puntos reduce el error unas dieciséis veces. En topografía, hidrología y medicina se usan a diario estas fórmulas para calcular áreas de terrenos, caudales de ríos o volúmenes de órganos a partir de mediciones discretas.