Derivadas y desarrollo de Taylor – matemáticas 1º Grado (Universidad): soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (5 puntos)

   Criterios. Se valora aplicar correctamente las reglas del producto, del cociente y de la cadena y simplificar el resultado.

   1. \(f'(x)=2x\ln x+x=x(2\ln x+1)\). Regla del producto con \(u=x^2\) y \(v=\ln x\): \(u'v+uv'=2x\ln x+x^2\cdot\frac1x\). Solo tiene sentido para \(x\gt 0\).
   2. \(g'(x)=\dfrac{2e^{2x}(1+x^2)-e^{2x}\cdot2x}{(1+x^2)^2}=\dfrac{2e^{2x}(x^2-x+1)}{(1+x^2)^2}\). En el numerador se saca factor común \(2e^{2x}\): \(2e^{2x}(1+x^2-x)\). El trinomio \(x^2-x+1\) no tiene raíces reales, así que \(g'\gt 0\) y \(g\) es creciente.
   3. \(h'(x)=\dfrac{3}{1+9x^2}\). Regla de la cadena con \((\arctan u)'=\frac{u'}{1+u^2}\), \(u=3x\) y \(u'=3\).

2. Solución del ejercicio 2 (4 puntos)

   Criterios. Se valora comprobar la indeterminación antes de usar L'Hôpital o Taylor y justificar cada paso.

   1. Con Taylor, \(x-\sin x=\frac{x^3}{6}-\cdots\); el límite es \(\frac16\). (Con L'Hôpital tres veces: \(\frac{1-\cos x}{3x^2}\to\frac{\sin x}{6x}\to\frac{\cos x}{6}\to\frac16\).) Al sustituir \(x=0\) sale \(\frac00\). El desarrollo es \(\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)\), luego \(\frac{x-\sin x}{x^3}=\frac16+o(1)\).
   2. Es \(\frac00\). Derivamos: \(\frac{e^x+e^{-x}}{\cos x}\to\frac{2}{1}=2\). Con Taylor se llega a lo mismo: \(e^x-e^{-x}=2x+o(x)\) y \(\sin x=x+o(x)\), cuyo cociente tiende a 2.

3. Solución del ejercicio 3 (4 puntos)

   Criterios. Se valora el dominio, las asíntotas, el signo de la derivada y la conclusión sobre los extremos.

   1. Dominio \(\mathbb R\setminus\{1\}\). Asíntota vertical \(x=1\); como \(\frac{x^2}{x-1}=x+1+\frac1{x-1}\), la asíntota oblicua es \(y=x+1\). Para la oblicua se divide \(x^2\) entre \(x-1\). No hay asíntota horizontal porque el grado del numerador supera al del denominador.
   2. \(f'(x)=\dfrac{x(x-2)}{(x-1)^2}\). Crece en \((-\infty,0)\cup(2,\infty)\) y decrece en \((0,1)\cup(1,2)\). Máximo local \(f(0)=0\) y mínimo local \(f(2)=4\). Comprobación: \(f(2)=\frac41=4\).

4. Solución del ejercicio 4 (4 puntos)

   Criterios. Se valora plantear la función de una variable, derivar, comprobar el mínimo y dar las medidas con unidades.

   1. La altura es \(h=32/x^2\) y \(S(x)=x^2+4xh=x^2+\dfrac{128}{x}\). El material es el fondo (\(x^2\)) más las cuatro caras laterales (\(4\cdot x\cdot h\)); se usa el volumen \(x^2h=32\) para despejar la altura. El dominio es \(x\gt 0\).
   2. \(S'(x)=2x-\dfrac{128}{x^2}=0\Rightarrow x^3=64\Rightarrow x=4\) dm, \(h=2\) dm. \(S''\gt 0\), mínimo. \(S(4)=16+32=48\) dm². Comprobación: \(S''(x)=2+\frac{256}{x^3}\), positiva para \(x\gt 0\); en \(x=4\) vale 6. Respuesta: base de \(4\times4\) dm y altura de 2 dm, con 48 dm² de material.

5. Solución del ejercicio 5 (3 puntos)

   Criterios. Se valora interpretar derivadas como velocidades y responder a cada pregunta con unidades y contexto.

   1. \(h'(t)=-10t+30=0\Rightarrow t=3\) s. La velocidad es la derivada de la altura; la altura es máxima cuando la velocidad se anula, porque el cohete pasa de subir a bajar.
   2. \(h(3)=-45+90=45\) m. Es el vértice de la parábola.
   3. \(h(t)=0\iff t(-5t+30)=0\iff t=6\) s. La velocidad es \(h'(6)=-30\) m/s (30 m/s hacia abajo). El signo negativo indica que baja; por simetría llega con la misma rapidez con la que salió, \(h'(0)=30\) m/s.
   4. \(dh=h'(2)\cdot0{,}1=10\cdot0{,}1=1\) m. Exacto: \(h(2{,}1)-h(2)=(-22{,}05+63)-(-20+60)=40{,}95-40=0{,}95\) m. La diferencial sobrestima en 0,05 m porque la curva es cóncava.

Total : 20 puntos