¿Qué diferencia hay entre límite y valor de una función en un punto?

El límite describe a qué valor se acerca \(f(x)\) cuando \(x\) se aproxima a \(a\), mientras que \(f(a)\) es el valor en el propio punto; pueden diferir o incluso \(f(a)\) puede no existir.

¿Cuándo hay que calcular límites laterales?

Cuando hay valores absolutos, funciones definidas a trozos, raíces pares o denominadores que se anulan, porque el comportamiento a izquierda y derecha puede diferir.

¿Para qué sirve el teorema de Bolzano?

Para demostrar que una ecuación tiene al menos una solución en un intervalo sin necesidad de resolverla.

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Estos apuntes de límites y continuidad de Universidad están pensados para alumnos de 18-19 años y siguen el currículo oficial. En resumen, trabajan lo siguiente: Una variable. Antes de empezar, conviene repasar números complejos y sucesiones y series numéricas, porque estos apuntes se apoyan en ese tema.

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Apuntes de límites y continuidad Universidad: lo que vas a aprender

El límite formaliza la idea de «acercarse» a un valor y es la base de la continuidad, la derivada y la integral. En este tema trabajamos con funciones de una variable real: definición, técnicas de cálculo, continuidad y los teoremas globales que se aplican a funciones continuas en intervalos cerrados.

Actividad de introducción

Un ciclista sube un puerto de Sierra Nevada y cada minuto anota su altitud. A medida que se acerca a la cima, situada a 2 500 m, la altitud tiende a ese valor, aunque nunca haya estado exactamente allí en los instantes medidos. ¿Podemos hablar del valor al que tiende una magnitud sin llegar a alcanzarlo? Esa es la idea del límite: describir el comportamiento de una función cerca de un punto y no solo en el punto. Con esa idea construiremos la continuidad (gráficas sin saltos) y los teoremas que garantizan la existencia de soluciones de una ecuación.

Definición de límite

Definición: definición de límite

\(\lim_{x\to a}f(x)=L\) significa: para todo \(\varepsilon>0\) existe \(\delta>0\) tal que si \(0<|x-a|\lt \delta\) entonces \(|f(x)-L|\lt \varepsilon\). El valor de \(f(a)\) no interviene. El límite existe si y solo si existen los dos límites laterales \(\lim_{x\to a^-}\) y \(\lim_{x\to a^+}\) y coinciden. También se definen los límites infinitos y en el infinito; una recta \(x=a\) es asíntota vertical si algún límite lateral en \(a\) es infinito, y \(y=L\) es asíntota horizontal si \(f(x)\to L\) cuando \(x\to\pm\infty\).

Propiedad

Propiedades. El límite del suma, producto y cociente (con límite del denominador no nulo) es la suma, producto y cociente de los límites. Si \(f\) está acotada y \(g\to0\), entonces \(fg\to0\). Regla del sandwich: si \(h\le f\le g\) y \(h,g\to L\), entonces \(f\to L\).

Técnicas de cálculo

Definición: técnicas de cálculo

Para eliminar indeterminaciones \(\tfrac00\) se factoriza y se simplifica, o se multiplica por el conjugado; para \(\tfrac\infty\infty\) se divide por la mayor potencia; para \(1^\infty\) se usa \(\lim(1+u)^{1/u}=e\) con \(u\to0\). Los límites notables son: \(\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1\), \(\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12\), \(\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1\), \(\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1\) y \(\lim_{x\to0}(1+x)^{1/x}=e\). Más adelante la regla de L’Hôpital y los desarrollos de Taylor simplifican muchos casos.

Continuidad

Definición: continuidad

Una función es continua en \(a\) si \(\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\); es decir, existe \(f(a)\), existe el límite y coinciden. Las funciones elementales son continuas en su dominio y la suma, producto, cociente y composición de continuas son continuas. Tipos de discontinuidad: evitable (el límite existe pero no coincide con el valor), de salto (laterales finitos distintos) y esencial o infinita (algún lateral infinito o inexistente).

Teorema: Teoremas en un intervalo cerrado

Teoremas en un intervalo cerrado \([a,b]\) (para \(f\) continua): Bolzano: si \(f(a)f(b)<0\), existe \(c\in(a,b)\) con \(f(c)=0\). Valores intermedios: \(f\) toma todos los valores entre \(f(a)\) y \(f(b)\). Weierstrass: \(f\) alcanza un máximo y un mínimo absolutos. Estos teoremas no calculan el valor exacto, pero garantizan existencia; el método de bisección los usa para aproximar raíces.

Método: calcular un límite

Sustituye y detecta si hay indeterminación.
Factoriza, racionaliza o divide por la mayor potencia.
Usa límites notables si procede.
Comprueba los límites laterales si hay valores absolutos o trozos.

Ejemplo 1

\(\lim_{x\to2}\dfrac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\to2}(x+2)=4\).

Ejemplo 2

Hallar \(a\) para que \(f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}\) si \(x\ne1\), \(f(1)=a\), sea continua.

Como \(\lim_{x\to1}(x+1)=2\), basta \(a=2\).

Ejemplo 3

La ecuación \(x^3+x-1=0\) tiene solución en \((0,1)\) por Bolzano: \(f(0)=-1<0\) y \(f(1)=1>0\).

¡Atención!

Sustituir sin comprobar si hay indeterminación; confundir el valor de la función con el límite; olvidar los límites laterales en valores absolutos o funciones definidas a trozos; aplicar Bolzano sin comprobar que la función es continua en todo el intervalo; creer que \(\sin(1/x)\) tiene límite en 0.

Definición: límites laterales e infinitos

Escribimos \(\lim_{x\to a^-}f(x)\) cuando solo consideramos valores de \(x\) menores que \(a\), y \(\lim_{x\to a^+}f(x)\) cuando solo consideramos valores mayores. El límite existe únicamente si ambos laterales existen y son iguales. Los límites infinitos describen funciones que crecen o decrecen sin cota, y los límites en el infinito describen el comportamiento a largo plazo. Estas tres ideas permiten estudiar las asíntotas y el comportamiento global de cualquier función elemental.

Método: estudiar la continuidad de una función definida a trozos

Comprueba que cada trozo es continuo en su intervalo abierto (polinomios, exponenciales y senos lo son siempre; los cocientes, salvo donde se anula el denominador).
En cada punto de unión calcula los dos límites laterales y el valor de la función.
Si los tres números coinciden, la función es continua; si los laterales coinciden pero el valor es distinto, la discontinuidad es evitable; si los laterales son finitos y distintos, hay un salto; si alguno es infinito o no existe, la discontinuidad es esencial.
Si el enunciado contiene parámetros, impón las igualdades y resuelve el sistema resultante.

Ejemplo 4

Calcula \(\lim_{x\to0}\dfrac{\tan x-\sin x}{x^3}\).

Escribimos \(\tan x-\sin x=\sin x\,\dfrac{1-\cos x}{\cos x}\). Entonces el cociente es \(\dfrac{\sin x}{x}\cdot\dfrac{1-\cos x}{x^2}\cdot\dfrac1{\cos x}\to1\cdot\dfrac12\cdot1=\dfrac12\).

Ejemplo 5

Estudia la continuidad de \(f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2}\) si \(x\neq2\) y \(f(2)=3\).

El límite en 2 es \(\lim(x+2)=4\), pero \(f(2)=3\). Los dos números son distintos, así que hay una discontinuidad evitable; si redefinimos \(f(2)=4\) la función pasa a ser continua en toda la recta.

Ejemplo 6

Una población de peces en un embalse de Extremadura sigue \(N(t)=\dfrac{2000}{1+4e^{-0{,}3t}}\). ¿Qué ocurre a largo plazo?

Como \(e^{-0{,}3t}\to0\), resulta \(N(t)\to2000\). La población se estabiliza en 2 000 peces: la recta \(y=2000\) es una asíntota horizontal y representa la capacidad del embalse.

Comparación de infinitésimos y de infinitos

Para decidir rápidamente un límite conviene comparar órdenes de magnitud. Cuando \(x\to0\), las funciones \(x\), \(\sin x\), \(\tan x\), \(\ln(1+x)\) y \(e^x-1\) son equivalentes entre sí, es decir, su cociente tiende a 1. Cuando \(x\to\infty\), el orden de crecimiento es siempre el mismo: las potencias de \(\ln x\) crecen más despacio que cualquier potencia de \(x\), y esta crece más despacio que cualquier exponencial \(a^x\) con \(a>1\). Por eso, en un cociente, mandan los términos de mayor orden y podemos despreciar los demás. Esta jerarquía evita muchos cálculos largos y permite adivinar el resultado antes de justificarlo con detalle.

¡Atención!

No se puede sustituir un infinitésimo equivalente dentro de una suma o resta: \(\sin x\sim x\), pero \(\sin x-x\) no es equivalente a \(x-x=0\). Tampoco debe darse por válido un límite calculado solo con la calculadora: la función puede oscilar o tener un comportamiento distinto al evaluar con muy pocos decimales. Y recuerda que \(\infty-\infty\), \(0\cdot\infty\) y \(\frac{\infty}{\infty}\) son indeterminaciones, no resultados.

Observación

La continuidad de una función en un punto exige tres condiciones: que exista \(f(a)\), que exista el límite en \(a\) y que ambos coincidan. Si falla la primera, el punto no está en el dominio; si falla la segunda, hay un salto o una asíntota; si falla la tercera, la discontinuidad es evitable. Esta lista sirve como guion en cualquier problema de continuidad.

¿Sabías que?

La definición con épsilon y delta se debe a Augustin-Louis Cauchy y a Karl Weierstrass, en el siglo XIX. Hasta entonces, el cálculo se apoyaba en cantidades infinitamente pequeñas sin una base rigurosa. El teorema de Bolzano se publicó en 1817 y hoy se usa en ordenadores para encontrar ceros de funciones: la calculadora científica resuelve ecuaciones aplicando versiones sofisticadas del método de bisección.

Teorema: valores intermedios y bisección

Si \(f\) es continua en \([a,b]\) y \(k\) es un número comprendido entre \(f(a)\) y \(f(b)\), existe al menos un \(c\in[a,b]\) con \(f(c)=k\). El método de bisección convierte este teorema en un algoritmo: se toma el punto medio del intervalo, se evalúa la función y se conserva la mitad en la que sigue habiendo un cambio de signo. Tras \(n\) pasos, la raíz queda atrapada en un intervalo de longitud \((b-a)/2^n\). Por ejemplo, partiendo de un intervalo de longitud 1, diez pasos garantizan tres cifras decimales exactas. Aunque existan métodos más rápidos, la bisección nunca falla mientras la función sea continua, y esa fiabilidad la hace imprescindible como primer paso en cálculo numérico, en ingeniería y en programación de calculadoras.

Observación: continuidad de las funciones elementales

Los polinomios, las funciones racionales (en su dominio), las raíces, las exponenciales, los logaritmos y las funciones trigonométricas son continuas en todos los puntos donde están definidas. Además, la suma, el producto, el cociente (con denominador no nulo) y la composición de funciones continuas son continuas. Gracias a ello, la mayoría de los límites de funciones elementales se calculan por simple sustitución, y solo hay que trabajar cuando la sustitución produce una indeterminación o cuando la función cambia de expresión, como ocurre con los valores absolutos, las partes enteras y las funciones definidas a trozos.

Cómo estudiar este tema

Conviene repasar los límites notables hasta recordarlos de memoria, resolver varios ejercicios por semana y comprobar los resultados con un programa de cálculo simbólico. Así se desarrolla la intuición necesaria para los capítulos siguientes, donde el límite aparecerá como definición de derivada, de integral definida y de suma de una serie. En los exámenes universitarios de primer curso, los errores más habituales no vienen de la teoría, sino de simplificar mal, olvidar un signo al racionalizar o dejar un límite lateral sin calcular. Por eso es útil escribir cada paso, indicar la técnica empleada y comprobar el resultado con un valor numérico cercano al punto. Una buena práctica consiste en construir una tabla con valores de \(x\) próximos al punto, por ejemplo \(0{,}1\), \(0{,}01\) y \(0{,}001\), y comparar la tendencia con el límite calculado. Si la tabla y el cálculo no coinciden, hay un error en alguna de las dos partes y merece la pena revisar los pasos con calma antes de continuar.

El consejo de Otto

si al sustituir sale \(\tfrac00\), hay algo que simplificar. Factoriza, racionaliza o usa un límite notable.

Cómo usar los apuntes de límites y continuidad de Universidad

Primero, lee lo esencial para saber de qué trata el tema. Después, trabaja cada definición y cada ejemplo, y tapa la solución antes de leerla. A continuación, practica con los ejercicios de límites y continuidad y comprueba cada uno con las soluciones. Cuando te sientas preparado, ponte a prueba con el test o el quiz. Finalmente, haz el examen de límites y continuidad y corrígelo con las soluciones del examen.

Además, el cálculo mental sirve como calentamiento, así que repasas lo esencial cada día. Además, todas las páginas de este tema están conectadas, así que puedes pasar de una a otra cuando quieras. Por ejemplo, muchos alumnos leen los apuntes el lunes, practican el miércoles y se ponen a prueba el viernes. En definitiva, estos apuntes de límites y continuidad de Universidad reúnen todo lo necesario para el tema.

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Apuntes de límites y continuidad Universidad: lo que vas a aprender

Definición de límite

Técnicas de cálculo

Continuidad

Comparación de infinitésimos y de infinitos

¡Atención!

Observación

¿Sabías que?

Teorema: valores intermedios y bisección

Observación: continuidad de las funciones elementales

Cómo estudiar este tema

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