Estos apuntes de estadística unidimensional de 1º Bachillerato CCSS están pensados para alumnos de 16-17 años y siguen el currículo oficial. En resumen, trabajan lo siguiente: Parámetros y gráficos. Antes de empezar, conviene repasar límites y continuidad y derivadas, porque estos apuntes se apoyan en ese tema.
Apuntes de estadística unidimensional 1º Bachillerato CCSS: lo que vas a aprender
La estadística unidimensional estudia una sola variable en una población o muestra: notas, sueldos, ventas, estaturas. Sirve para resumir datos con tablas, gráficos y números que indican dónde se centran y cuánto se dispersan.
Actividad de introducción: ¿cómo es «un día normal» en tu clase?
Pide a todos tus compañeros que anoten cuántos minutos tardan en llegar al instituto. Tendrás una lista de 25 o 30 números difíciles de interpretar. Para resumirla, quizá calcules un valor central, por ejemplo el tiempo medio, pero eso no basta: dos clases con un tiempo medio de 20 minutos pueden ser muy distintas si en una todos tardan entre 18 y 22 minutos y en la otra unos viven pegados al instituto y otros tardan una hora. La estadística unidimensional ofrece herramientas para resumir un conjunto de datos de una variable: tablas de frecuencias, gráficos, medidas de centralización (dónde está el centro), medidas de posición (cuartiles y percentiles) y medidas de dispersión (cuánto se separan los datos del centro). Con ellas se puede describir con rigor lo que pasa en una población y comparar dos poblaciones distintas.
Variables y tablas de frecuencias
Definición: tipos de variable y frecuencias
Una variable es cualitativa (modo de transporte), cuantitativa discreta (número de hijos) o cuantitativa continua (sueldo, estatura; se agrupa en intervalos). La frecuencia absoluta \(f_i\) cuenta las veces que aparece \(x_i\); la relativa es \(h_i=f_i/n\); las acumuladas \(F_i\) suman las anteriores.
Ejemplo 1
Notas de 12 alumnos: \(5,6,7,5,8,9,5,6,7,6,10,6\).
| Nota | fi | Fi | hi |
|---|---|---|---|
| 5 | 3 | 3 | 0,25 |
| 6 | 4 | 7 | 0,333 |
| 7 | 2 | 9 | 0,167 |
| 8 | 1 | 10 | 0,083 |
| 9 | 1 | 11 | 0,083 |
| 10 | 1 | 12 | 0,083 |
Medidas de centralización
Definición: media, mediana y moda
- Media \(\bar x=\dfrac{\sum f_ix_i}{n}\): usa todos los datos y es sensible a extremos.
- Mediana \(Me\): valor central de los datos ordenados (o media de los dos centrales).
- Moda \(Mo\): valor de mayor frecuencia.
Definición: cuartiles
Los cuartiles \(Q_1\), \(Q_2=Me\), \(Q_3\) dividen los datos ordenados en cuatro partes iguales. El rango intercuartílico es \(Q_3-Q_1\).
Ejemplo 2
Media, mediana y moda de las notas anteriores.
\(\bar x=\dfrac{80}{12}\approx6{,}67\). Ordenadas: \(5,5,5,6,6,6,6,7,7,8,9,10\); los centrales son 6 y 6, luego \(Me=6\). Moda: 6.
Propiedad
Con valores atípicos (un sueldo muy alto entre sueldos normales), la mediana describe mejor el caso típico que la media.
Medidas de dispersión
Definición: varianza, desviación típica y CV
La varianza es \(\sigma^2=\dfrac{\sum f_i(x_i-\bar x)^2}{n}=\dfrac{\sum f_ix_i^2}{n}-\bar x^2\) y la desviación típica \(\sigma=\sqrt{\sigma^2}\) (en las unidades de los datos). El coeficiente de variación \(CV=\dfrac{\sigma}{\bar x}\) permite comparar dispersiones de variables con distinta media o unidad: a menor CV, mayor homogeneidad.
Método: calcular la desviación típica
- Calcula la media \(\bar x\).
- Calcula \((x_i-\bar x)^2\) y multiplica por \(f_i\).
- Suma y divide entre \(n\): es la varianza.
- Toma la raíz cuadrada.
Ejemplo 3
Desviación típica de \(4,8,6,5,7\).
\(\bar x=6\); \(\sigma^2=\dfrac{4+4+0+1+1}{5}=2\); \(\sigma=\sqrt2\approx1{,}41\).
Datos agrupados en intervalos
Definición: marca de clase
La marca de clase es el punto medio de cada intervalo y lo representa en los cálculos. El intervalo modal es el de mayor frecuencia; la clase mediana es la primera cuya frecuencia acumulada supera \(n/2\).
Ejemplo 4
Intervalos \([0,10)\), \([10,20)\), \([20,30)\), \([30,40)\) con \(f_i=4,10,12,6\) (\(n=32\)).
Marcas \(5,15,25,35\): \(\bar x=\dfrac{20+150+300+210}{32}=\dfrac{680}{32}=21{,}25\). Intervalo modal \([20,30)\). Acumuladas 4, 14, 26, 32; como \(n/2=16\), la clase mediana es \([20,30)\).
Gráficos estadísticos
Propiedad: qué gráfico usar
- Diagrama de barras: variables discretas o cualitativas.
- Histograma: datos agrupados; altura proporcional a la frecuencia.
- Diagrama de sectores: ángulo \(=360^\circ\cdot h_i\).
- Diagrama de caja: mínimo, \(Q_1\), mediana, \(Q_3\) y máximo.
Método: cuartiles y diagrama de caja
- Ordena los datos y halla la mediana \(Q_2\).
- \(Q_1\) es la mediana de la mitad inferior y \(Q_3\) la de la superior (sin incluir la mediana si \(n\) es impar).
- Dibuja la caja de \(Q_1\) a \(Q_3\), marca la mediana y traza los bigotes hasta mínimo y máximo.
Ejemplo 5
Cuartiles de \(2,3,5,6,8,9,12,14,15\).
\(Q_2=8\); mitad inferior \(2,3,5,6\): \(Q_1=4\); superior \(9,12,14,15\): \(Q_3=13\). Rango intercuartílico \(9\).
Efecto de transformar los datos
Regla
Si a todos los datos se les suma \(k\), la media aumenta en \(k\) y \(\sigma\) no cambia. Si se multiplican por \(k\), la media y \(\sigma\) quedan multiplicadas por \(|k|\) y la varianza por \(k^2\).
Ejemplo 6: subida general
Los sueldos (media 1 600 €, \(\sigma=200\) €) suben un 3 %.
Se multiplica por 1,03: media \(1648\) €, \(\sigma=206\) €. El coeficiente de variación no cambia.
¡Atención!
- Ordena los datos antes de calcular la mediana.
- Con datos agrupados usa la marca de clase, no los extremos.
- En este curso la varianza se divide entre \(n\).
- Para comparar dispersiones con medias muy distintas usa el coeficiente de variación.
Observación: elegir la medida
La media es la mejor medida si los datos son simétricos y sin extremos; la mediana, si hay atípicos o asimetría (rentas, precios de viviendas); la moda, si interesa el valor más común o la variable es cualitativa. Dos conjuntos con la misma media pueden ser muy distintos: acompaña siempre la medida de posición con una de dispersión y redacta una conclusión con el contexto.
Ampliación: cuartiles, percentiles y diagrama de caja
Los cuartiles dividen un conjunto ordenado de datos en cuatro partes con la misma cantidad de observaciones: \(Q_1\) deja a su izquierda el 25 % de los datos, \(Q_2\) es la mediana (50 %) y \(Q_3\) deja a su izquierda el 75 %. Los percentiles generalizan la idea: \(P_{90}\) deja por debajo el 90 % de los datos. Los cuartiles permiten construir el diagrama de caja y bigotes, que muestra el centro (mediana), la dispersión central (la caja, de \(Q_1\) a \(Q_3\)) y las colas (los bigotes). La longitud de la caja es el recorrido intercuartílico \(RI=Q_3-Q_1\), una medida de dispersión que, a diferencia de la desviación típica, resiste a los valores extremos.
Método: cuartiles y valores atípicos
- Ordena los datos de menor a mayor y localiza la mediana \(Q_2\).
- \(Q_1\) es la mediana de la mitad inferior y \(Q_3\) la de la mitad superior (sin incluir la mediana si \(n\) es impar).
- Calcula \(RI=Q_3-Q_1\).
- Los datos fuera de \([Q_1-1{,}5\,RI,\;Q_3+1{,}5\,RI]\) se consideran atípicos y se marcan con un punto.
- Dibuja la caja de \(Q_1\) a \(Q_3\), la línea en \(Q_2\) y los bigotes hasta el menor y el mayor dato no atípico.
Ejemplo 7
Los precios (en euros) de ocho menús del día de un barrio son: 9, 10, 10, 11, 12, 13, 14, 30. Estudia la dispersión y los atípicos.
Mediana: \(\dfrac{11+12}{2}=11{,}5\). Mitad inferior (9, 10, 10, 11): \(Q_1=10\). Mitad superior (12, 13, 14, 30): \(Q_3=13{,}5\). \(RI=3{,}5\). Límite superior: \(13{,}5+1{,}5\cdot3{,}5=18{,}75\). Como \(30\gt 18{,}75\), el menú de 30 € es un dato atípico (por ejemplo, un restaurante de lujo) y se dibuja aparte. La media (13,625 €) está influida por ese precio, la mediana (11,5 €) no.
Ampliación: datos agrupados, mediana y moda por interpolación
Con datos agrupados en intervalos se pierde información: ya no sabemos el valor exacto de cada observación. Se hace la hipótesis de que los datos de cada intervalo se reparten de forma uniforme, y se sustituye cada intervalo por su marca de clase. La media y la desviación típica se calculan con las marcas, igual que con una tabla discreta. Para la mediana y los cuartiles se localiza primero el intervalo que contiene la posición buscada, usando las frecuencias acumuladas, y se interpola dentro de él.
Regla: mediana y moda en datos agrupados
Si la clase mediana es \([L,U)\) con amplitud \(a\), frecuencia \(f\) y frecuencia acumulada anterior \(F_{\text{ant}}\), entonces \[ Me=L+\dfrac{n/2-F_{\text{ant}}}{f}\cdot a. \] Los cuartiles y percentiles se calculan igual, cambiando \(n/2\) por \(n/4\), \(3n/4\) o \(kn/100\). La clase modal es la de mayor frecuencia (si las amplitudes son iguales); de forma aproximada, la moda es el punto medio de esa clase.
Ejemplo 8
En una tabla con intervalos de amplitud 10, \(n=60\) y la clase \([20,30)\) tiene \(f=18\) y frecuencia acumulada anterior 21. Calcula la mediana.
\(n/2=30\). La mediana está en \([20,30)\) porque la acumulada anterior (21) es menor que 30 y la acumulada hasta esa clase es \(21+18=39\ge30\). Entonces \(Me=20+\dfrac{30-21}{18}\cdot10=20+5=25\).
Ampliación: elegir la medida adecuada
La media es la medida más usada y la única que tiene en cuenta todos los datos, pero se ve muy influida por valores extremos; por eso, para variables como los salarios o los precios de las viviendas, se prefiere la mediana. La moda es la única posible para variables cualitativas. En cuanto a la dispersión, el recorrido es muy sensible a los extremos, el recorrido intercuartílico no lo es, y la desviación típica es la medida que se combina de forma natural con la media. Para comparar dos variables expresadas en unidades diferentes se emplea el coeficiente de variación \(CV=\sigma/ar x\), que se suele expresar como porcentaje. Un CV menor del 10 % indica datos muy homogéneos y un CV alto, por encima del 50 %, que la media representa mal al conjunto.
Errores muy comunes en estadística unidimensional
- Calcular la media de una tabla sin multiplicar por las frecuencias: \(\bar x\neq(\sum x_i)/k\) si hay frecuencias distintas.
- Olvidar ordenar los datos antes de calcular la mediana o los cuartiles.
- Confundir varianza y desviación típica: la varianza está en unidades al cuadrado.
- Usar la marca de clase como si fuera el dato exacto, sin recordar que es una aproximación.
- Calcular el CV con la varianza en lugar de con la desviación típica.
- Dibujar un histograma con barras de distinta amplitud usando la frecuencia como altura.
¿Sabías que?
La palabra «estadística» procede de «Estado»: los primeros censos se hacían para saber cuántos habitantes y cuántas riquezas tenía un reino. El primer gran estudio estadístico moderno fue el de John Graunt en 1662, que analizó las listas de defunciones de Londres. En España, el primer censo general moderno es el Censo de Floridablanca de 1787, y hoy el Instituto Nacional de Estadística (INE) publica datos de población, empleo y precios que se resumen con las medidas que has estudiado en este tema.
El consejo de Otto
Si la media y la mediana son muy diferentes, sospecha de valores atípicos y dibuja un diagrama de caja.
Cómo usar los apuntes de estadística unidimensional de 1º Bachillerato CCSS
Primero, lee lo esencial para saber de qué trata el tema. Después, trabaja cada definición y cada ejemplo, y tapa la solución antes de leerla. A continuación, practica con los ejercicios de estadística unidimensional y comprueba cada uno con las soluciones. Cuando te sientas preparado, ponte a prueba con el test o el quiz. Finalmente, haz el examen de estadística unidimensional y corrígelo con las soluciones del examen.
Además, el cálculo mental sirve como calentamiento, así que repasas lo esencial cada día. Además, todas las páginas de este tema están conectadas, así que puedes pasar de una a otra cuando quieras. Por ejemplo, muchos alumnos leen los apuntes el lunes, practican el miércoles y se ponen a prueba el viernes. En definitiva, estos apuntes de estadística unidimensional de 1º Bachillerato CCSS reúnen todo lo necesario para el tema.
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