Técnicas de recuento y probabilidad – matemáticas 4º ESO: ejercicios para descargar en PDF

Se lanzan dos dados de seis caras y se anota el par de resultados.

1. ¿Cuántos resultados posibles hay? Escribe cuatro de ellos.
2. Calcula la probabilidad de que la suma sea \(7\).
3. Calcula la probabilidad de que los dos números sean pares.
4. Calcula la probabilidad de que la suma sea al menos \(10\) y la de que salga al menos un \(6\).

Una bolsa contiene \(5\) bolas rojas, \(3\) azules y \(2\) verdes. Se extrae una al azar.

1. Calcula \(P(\text{roja})\) y \(P(\text{azul})\).
2. Calcula la probabilidad de que no sea azul.
3. Calcula la probabilidad de que sea roja o verde.
4. Calcula la probabilidad de que sea amarilla y explica qué tipo de suceso es.

Para dos sucesos \(A\) y \(B\) se sabe que \(P(A)=0{,}5\), \(P(B)=0{,}4\) y \(P(A\cap B)=0{,}2\).

1. Calcula \(P(A\cup B)\) con la regla \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\).
2. Calcula \(P(\overline{A})\).
3. Calcula la probabilidad de que ocurra \(A\) pero no \(B\).
4. Calcula la probabilidad de que no ocurra ninguno de los dos.

En una clase de \(60\) alumnos de un instituto de Albacete hay \(30\) chicos y \(30\) chicas. Llevan gafas \(6\) chicos y \(9\) chicas.

1. Construye la tabla de doble entrada.
2. Calcula \(P(\text{gafas})\) y \(P(\text{chica})\).
3. Calcula \(P(\text{gafas}\mid\text{chica})\) y \(P(\text{chica}\mid\text{gafas})\).
4. ¿Son independientes «llevar gafas» y «ser chica»? Compara \(P(\text{gafas}\mid\text{chica})\) con \(P(\text{gafas})\).

Una urna contiene \(4\) bolas rojas y \(6\) negras. Se extraen dos bolas seguidas sin devolver la primera.

1. Dibuja el diagrama de árbol con las probabilidades.
2. Calcula \(P(RR)\) y \(P(NN)\).
3. Calcula la probabilidad de que las dos bolas sean de distinto color.
4. Calcula la probabilidad de que salga al menos una bola roja y comprueba que las cuatro ramas suman \(1\).

Se lanza tres veces una moneda equilibrada. Los lanzamientos son independientes.

1. Escribe el espacio muestral y su tamaño.
2. Calcula la probabilidad de obtener tres caras.
3. Calcula la probabilidad de obtener exactamente dos caras.
4. Si han salido tres caras, ¿cuál es la probabilidad de que en el cuarto lanzamiento salga cara? Calcula también la probabilidad de al menos una cara en tres lanzamientos.

La ruleta de una caseta de feria de Jaén tiene \(8\) sectores iguales: \(3\) rojos, \(2\) azules, \(2\) verdes y \(1\) amarillo. Se hacen dos giros independientes.

1. Calcula la probabilidad de cada color en un giro.
2. Calcula la probabilidad de rojo en los dos giros.
3. Calcula la probabilidad de rojo en el primero y azul en el segundo.
4. Calcula la probabilidad de que los dos giros den el mismo color.

Una baraja española tiene \(40\) cartas: cuatro palos (oros, copas, espadas y bastos) con diez cartas cada uno, de las cuales tres son figuras (sota, caballo y rey). Se saca una carta al azar.

1. Calcula la probabilidad de oros y la de figura.
2. Calcula la probabilidad de oros o figura.
3. Calcula la probabilidad de sacar el as de oros.
4. Si se sacan dos cartas sin devolución, calcula la probabilidad de que las dos sean ases.

En un grupo de \(30\) alumnos de un instituto de Girona, \(18\) practican deporte, \(12\) tocan un instrumento y \(5\) hacen las dos cosas.

1. Calcula la probabilidad de que un alumno elegido al azar practique deporte o toque un instrumento.
2. Calcula la probabilidad de que no haga ninguna de las dos cosas.
3. Calcula \(P(\text{deporte}\mid\text{instrumento})\).
4. Calcula \(P(\text{instrumento}\mid\text{deporte})\) y compara.

Se lanzan dos dados. Sea \(S\) la suma de los resultados.

1. Calcula \(P(S=8)\).
2. Calcula \(P(S\ge9)\).
3. Calcula la probabilidad de que el primer dado sea par y la suma sea \(8\).
4. Calcula \(P(S=8\mid\text{primer dado par})\).

En un test de \(5\) preguntas, cada una con \(4\) opciones y una sola correcta, un alumno responde al azar.

1. Calcula la probabilidad de acertar una pregunta concreta.
2. Calcula la probabilidad de acertar las dos primeras.
3. Calcula la probabilidad de fallar las cinco.
4. Calcula la probabilidad de acertar al menos una de las cinco y razona si compensa responder al azar.

En una localidad de Galicia la probabilidad de que llueva el sábado es \(0{,}3\). Si llueve el sábado, la probabilidad de que llueva el domingo es \(0{,}6\); si no llueve el sábado, es \(0{,}2\).

1. Dibuja el diagrama de árbol.
2. Calcula la probabilidad de que llueva los dos días.
3. Calcula la probabilidad de que llueva el domingo (probabilidad total).
4. Calcula la probabilidad de que no llueva ningún día y la de que llueva al menos un día.

Una fábrica de Navarra produce piezas con dos máquinas. La máquina A fabrica el \(60\ \%\) de las piezas y la B el \(40\ \%\). El \(2\ \%\) de las piezas de A y el \(5\ \%\) de las de B son defectuosas.

1. Dibuja el diagrama de árbol.
2. Calcula la probabilidad de que una pieza elegida al azar sea defectuosa.
3. Si una pieza es defectuosa, calcula la probabilidad de que venga de A.
4. Calcula la probabilidad de que venga de B y comprueba que suma \(1\) con el apartado anterior.

Para un viaje de fin de curso a Santiago de Compostela, Marta lleva \(4\) camisetas, \(3\) pantalones y \(2\) pares de zapatillas.

1. ¿Cuántos conjuntos distintos puede formar con una camiseta, un pantalón y unas zapatillas?
2. Si quiere elegir solo \(2\) de las \(4\) camisetas sin importar el orden, ¿de cuántas formas puede hacerlo?
3. ¿De cuántas formas puede ordenar sus \(4\) camisetas en la maleta, de una en una?
4. Si elige un conjunto al azar, ¿qué probabilidad hay de que lleve su camiseta favorita y sus zapatillas favoritas?

Un PIN de un móvil tiene \(4\) cifras, cada una de \(0\) a \(9\).

1. ¿Cuántos PIN distintos hay si se permiten cifras repetidas?
2. ¿Cuántos hay si todas las cifras son distintas?
3. Si alguien intenta adivinar un PIN al azar, ¿cuál es la probabilidad de acertar en el primer intento? ¿Y en tres intentos distintos?
4. Si el PIN se elige al azar, ¿qué probabilidad hay de que tenga todas las cifras distintas?

En una clase de \(10\) alumnos de un colegio de Cáceres hay que elegir una comisión de \(3\) personas para organizar la fiesta. Juan y Ana son dos de los alumnos.

1. ¿Cuántas comisiones distintas de \(3\) personas hay?
2. ¿Cuántas incluyen a Juan?
3. Calcula la probabilidad de que Juan esté en la comisión.
4. Calcula la probabilidad de que estén Juan y Ana a la vez. Si los cargos (presidente, secretario, tesorero) importan, ¿cuántas comisiones ordenadas hay?

En una carrera popular de Valencia participan \(8\) corredores, entre ellos Ana y Berta. Se premia a los tres primeros.

1. ¿Cuántos podios distintos (primero, segundo, tercero) pueden darse?
2. ¿Cuál es la probabilidad de acertar el podio completo al azar?
3. Calcula la probabilidad de que Ana sea la primera y la de que Ana esté en el podio.
4. Calcula la probabilidad de que Ana y Berta estén las dos en el podio.

Una enfermedad afecta al \(2\ \%\) de la población de una región. Una prueba da positivo en el \(90\ \%\) de los enfermos (sensibilidad) y también en el \(5\ \%\) de los sanos (falsos positivos).

1. Dibuja el diagrama de árbol.
2. Calcula la probabilidad de que una persona elegida al azar dé positivo.
3. Si una persona da positivo, calcula la probabilidad de que esté realmente enferma.
4. Interpreta el resultado: ¿por qué es tan baja a pesar de que la prueba parece buena?

Un jugador de baloncesto de Estudiantes encesta el \(70\ \%\) de sus tiros libres. Lanza tres tiros independientes.

1. Calcula la probabilidad de encestar los tres.
2. Calcula la probabilidad de encestar exactamente dos.
3. Calcula la probabilidad de encestar al menos dos.
4. Calcula la probabilidad de fallar los tres y comprueba que las cuatro probabilidades (0, 1, 2 y 3 aciertos) suman \(1\).

En un grupo de \(n\) personas, ¿cuál es la probabilidad de que al menos dos cumplan años el mismo día? (Se ignoran los años bisiestos.)

1. Calcula la probabilidad de que en un grupo de \(3\) personas todas cumplan en días distintos y la de que alguna pareja coincida.
2. Escribe la fórmula general \(P(\text{alguna coincidencia})=1-\dfrac{365\cdot364\cdots(365-n+1)}{365^n}\).
3. Con ayuda de una calculadora, la probabilidad para \(n=23\) es aproximadamente \(0{,}507\) y para \(n=10\) es aproximadamente \(0{,}117\). Interpreta el valor de \(n=23\).
4. ¿Cuántas personas hacen falta, como mínimo, para que la probabilidad supere el \(50\ \%\)?