Números racionales y raíces – matemáticas 3º ESO: soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   1. mcm\(=12\): \(\dfrac{10}{12}-\dfrac{3}{12}+\dfrac{8}{12}=\dfrac{15}{12}=\dfrac{5}{4}\). Reducimos a común denominador, operamos los numeradores y simplificamos entre 3.
   2. \(\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{10}{9}=\dfrac{30}{45}=\dfrac{2}{3}\). Multiplicamos por la inversa del divisor y simplificamos entre 15.
   3. Común denominador 28: \(\dfrac{21}{28}\) y \(\dfrac{20}{28}\). Es mayor \(\dfrac{3}{4}\). Al tener el mismo denominador basta con comparar los numeradores: \(21>20\).

   Criterios de corrección: en a) 1 punto por el común denominador 12 y 1 punto por simplificar \(\dfrac{15}{12}\) a \(\dfrac{5}{4}\). En b) 1 punto por multiplicar por la inversa \(\dfrac{10}{9}\). En c) 1 punto si se compara correctamente con 28 como denominador.

2. Solución del ejercicio 2 (3 puntos)

   1. \(\dfrac{35}{100}=\dfrac{7}{20}\). Es un decimal exacto con dos cifras decimales.
   2. \(x=1{,}333\ldots\), \(10x=13{,}333\ldots\); \(9x=12\), \(x=\dfrac{12}{9}=\dfrac{4}{3}\). Restamos para eliminar el período. Comprobación: \(4:3=1{,}333\ldots\).
   3. \(x=0{,}1666\ldots\); \(100x=16{,}666\ldots\) y \(10x=1{,}666\ldots\); \(90x=15\), \(x=\dfrac{15}{90}=\dfrac{1}{6}\). Es periódico mixto: multiplicamos por 100 y por 10 para igualar las partes periódicas. Comprobación: \(1:6=0{,}1666\ldots\).

   Criterios de corrección: un punto por decimal. Se exige el procedimiento de restar \(10x-x\) o \(100x-10x\), no solo el resultado; comprobación con la calculadora: \(7:20=0{,}35\), \(4:3=1{,}333\ldots\) y \(1:6=0{,}1666\ldots\).

3. Solución del ejercicio 3 (3 puntos)

   1. \(\sqrt{0{,}49}=0{,}7\), porque \(0{,}7^2=0{,}49\). Respuesta: 0,7.
   2. \(\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot3}=4\sqrt{3}\). Descomponemos 48 como un cuadrado perfecto, 16, por 3. Respuesta: \(4\sqrt{3}\).
   3. \(64<70<81\): entre 8 y 9. \(\sqrt{70}\approx8{,}4\). Como \(8{,}4^2=70{,}56\) y \(8{,}3^2=68{,}89\), la mejor aproximación con una cifra decimal es 8,4.

   Criterios de corrección: un punto por cada raíz trabajada. En a) se acepta la comprobación \(0{,}7\cdot0{,}7=0{,}49\). En b) se exige descomponer \(48=16\cdot3\) y sacar el 4 fuera de la raíz; \(2\sqrt{12}\) solo vale medio punto porque no está simplificado. En c) medio punto por acotar entre 8 y 9 y medio por la aproximación 8,4.

4. Solución del ejercicio 4 (4 puntos)

   1. \(0{,}000047=4{,}7\cdot10^{-5}\). Movemos la coma 5 lugares a la derecha, por eso el exponente es \(-5\).
   2. \(6\cdot5=30\) y \(10^{4+3}=10^7\): \(30\cdot10^7=3\cdot10^8\). La mantisa 30 no está entre 1 y 10, así que la escribimos como \(3\cdot10\) y sumamos 1 al exponente.
   3. \(3{,}2\cdot10^5+0{,}4\cdot10^5=3{,}6\cdot10^5\). Para sumar, escribimos los dos números con la misma potencia de 10.

   Criterios de corrección: en a) 1 punto por desplazar la coma cinco lugares y obtener el exponente \(-5\). En b) 1,5 puntos, de los que 0,5 son por ajustar 30 a \(3\cdot10\) y sumar 1 al exponente. En c) 1,5 puntos por pasar \(4\cdot10^4\) a \(0{,}4\cdot10^5\) antes de sumar las mantisas.

5. Solución del ejercicio 5 (6 puntos)

   1. \(240\cdot\dfrac{3}{8}=90\) alumnos.
   2. \(240\cdot\dfrac{1}{4}=60\) alumnos.
   3. \(1-\dfrac{3}{8}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{8}\) de los alumnos: \(240\cdot\dfrac{3}{8}=90\) alumnos. Restamos a la unidad las fracciones de tren y autobús.
   4. \(90\cdot\dfrac{2}{3}=60\) chicas.
   5. \(90\cdot12+60\cdot8=1\,080+480=1\,560\) €. Respuesta: el transporte en tren y autobús cuesta 1 560 €.

   Criterios de corrección: tren 1,5 puntos (90 alumnos), autobús 1 punto (60 alumnos), coche 1,5 puntos (fracción \(\dfrac{3}{8}\) y 90 alumnos), chicas 1 punto (60) y coste 1 punto (1 560 €). Comprobación global: \(90+60+90=240\) alumnos.

Total : 20 puntos