Polinomios – matemáticas 3º ESO: soluciones de los ejercicios para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1

   1. Grado 3 (el mayor exponente); coeficiente principal 4; término independiente \(-7\); 4 términos.
   2. Grado 4; coeficiente principal \(-1\); término independiente \(-3\); 3 términos (faltan los términos en \(x^3\) y en \(x\), que tienen coeficiente 0).
   3. Grado 0; coeficiente principal 7 y término independiente 7; un solo término. Es un polinomio constante.
   4. El de mayor grado es \(Q(x)\) (grado 4) y el polinomio constante es \(R(x)\).

2. Solución del ejercicio 2

   1. \(P(0)=0-0+0-5=-5\). Todos los términos con la variable valen cero, así que el valor numérico coincide con el término independiente: \(P(0)=-5\).
   2. \(P(1)=1-3+2-5=-5\). Como cualquier potencia de 1 vale 1, basta con sumar los coeficientes: \(1-3+2-5=-5\). Por tanto \(P(1)=-5\).
   3. \(P(-1)=(-1)^3-3\cdot(-1)^2+2\cdot(-1)-5=-1-3-2-5=-11\). Las potencias impares de \(-1\) son negativas y las pares positivas; por eso el cubo da \(-1\) y el cuadrado da \(+1\). El valor numérico es \(P(-1)=-11\).
   4. \(P(3)=27-3\cdot9+6-5=27-27+6-5=1\). Calculamos primero las potencias, \(3^3=27\) y \(3^2=9\), y después los productos. El resultado es \(P(3)=1\), el único valor positivo de los cuatro.

3. Solución del ejercicio 3

   1. Sumamos término a término: \((3+1)x^3+(-2+4)x^2+(1-3)x+(-5+2)=4x^3+2x^2-2x-3\). Agrupamos cada grado por separado y sumamos sus coeficientes. La suma es \(A(x)+B(x)=4x^3+2x^2-2x-3\), un polinomio de grado 3.
   2. Cambiamos el signo de todos los términos de \(B\): \(3x^3-2x^2+x-5-x^3-4x^2+3x-2=2x^3-6x^2+4x-7\). El error más frecuente es cambiar solo el signo del primer término de \(B\); aquí se cambian los cuatro. La diferencia es \(A(x)-B(x)=2x^3-6x^2+4x-7\).
   3. Primero \(2A=6x^3-4x^2+2x-10\). Después \(2A-B=6x^3-4x^2+2x-10-x^3-4x^2+3x-2=5x^3-8x^2+5x-12\). Comprobamos con \(x=1\): \(A(1)=-3\), \(B(1)=4\) y \(2\cdot(-3)-4=-10\); en el resultado, \(5-8+5-12=-10\). Por tanto \(2A(x)-B(x)=5x^3-8x^2+5x-12\).

4. Solución del ejercicio 4

   1. Coeficientes: \(3\cdot(-5)=-15\). Parte literal: \(x^{2+4}=x^6\). Resultado: \(-15x^6\). Multiplicamos los coeficientes entre sí y las partes literales entre sí, sumando exponentes. El producto es el monomio \(-15x^6\), de grado 6.
   2. Aplicamos la propiedad distributiva: \(-2x^3+8x^2-6x\). Multiplicamos \(-2x\) por cada término: \(-2x\cdot x^2=-2x^3\), \(-2x\cdot(-4x)=+8x^2\) y \(-2x\cdot3=-6x\). Fíjate en que menos por menos da más. Resultado: \(-2x^3+8x^2-6x\).
   3. Desarrollamos cada producto: \(12x^3-4x^2-2x^3-5x\). Reducimos: \(10x^3-4x^2-5x\). Los términos semejantes son \(12x^3\) y \(-2x^3\), que dan \(10x^3\); el resto no se puede agrupar. Resultado final: \(10x^3-4x^2-5x\).
   4. \(6:2=3\) y \(x^{5-2}=x^3\). Resultado: \(3x^3\). Al dividir monomios dividimos los coeficientes y restamos los exponentes de la misma base. El cociente es el monomio \(3x^3\).

5. Solución del ejercicio 5

   1. \(x^2-6x+4x-24=x^2-2x-24\). Multiplicamos cada término del primer factor por cada término del segundo: \(x\cdot x\), \(x\cdot(-6)\), \(4\cdot x\) y \(4\cdot(-6)\). Reducimos \(-6x+4x=-2x\). El producto es \(x^2-2x-24\).
   2. \(2x^3+2x^2-10x-3x^2-3x+15=2x^3-x^2-13x+15\). Primero multiplicamos \(2x\) por los tres términos y después \(-3\) por los tres términos. Agrupamos \(2x^2-3x^2=-x^2\) y \(-10x-3x=-13x\). El producto es \(2x^3-x^2-13x+15\).
   3. \(x^3-x^2+x^2-x+x-1=x^3-1\). Los términos intermedios se anulan dos a dos: \(-x^2+x^2=0\) y \(-x+x=0\). Por eso el producto es simplemente \(x^3-1\).
   4. Producto: \((2\cdot2-3)(4+2-5)=1\cdot1=1\). Resultado: \(16-4-26+15=1\). Coinciden. Calculamos el valor de los dos factores para \(x=2\) y los multiplicamos; luego sustituimos \(x=2\) en el resultado del apartado b). Como en ambos casos obtenemos 1, el desarrollo del apartado b) es correcto.

6. Solución del ejercicio 6

   1. Coeficientes \(1,\ 2,\ -5,\ -6\) con \(a=2\): bajamos 1; \(1\cdot2=2\) y \(2+2=4\); \(4\cdot2=8\) y \(-5+8=3\); \(3\cdot2=6\) y \(-6+6=0\). Cociente \(x^2+4x+3\) y resto 0.
   2. Coeficientes \(2,\ -3,\ 1,\ -4\) con \(a=1\): 2; \(-3+2=-1\); \(1-1=0\); \(-4+0=-4\). Cociente \(2x^2-x\) y resto \(-4\).
   3. Coeficientes \(1,\ 0,\ 0,\ 0,\ -16\) con \(a=-2\): 1; \(0-2=-2\); \(0+4=4\); \(0-8=-8\); \(-16+16=0\). Cociente \(x^3-2x^2+4x-8\) y resto 0.

7. Solución del ejercicio 7

   1. \(P(2)=8-16+2+6=0\). El resto es 0. Por el teorema del resto, el resto de dividir entre \(x-2\) es \(P(2)\). Como vale cero, la división es exacta.
   2. \(P(-1)=-1-4-1+6=0\) y \(P(3)=27-36+3+6=0\). Los dos restos son cero. Para \(x+1=x-(-1)\) usamos \(a=-1\), y para \(x-3\) usamos \(a=3\). Ambas divisiones son exactas.
   3. Que \(2\), \(-1\) y \(3\) son raíces y que \(x-2\), \(x+1\) y \(x-3\) son factores. Como \(P\) tiene grado 3: \(P(x)=(x-2)(x+1)(x-3)\). Comprobación con \(x=0\): \(P(0)=6\) y \((-2)\cdot1\cdot(-3)=6\). La factorización es correcta.
   4. \(P(1)=1-4+1+6=4\). El resto es 4, así que \(x-1\) no es factor. Conclusión: de los cuatro divisores probados, solo \(x-1\) no divide a \(P(x)\).

8. Solución del ejercicio 8

   1. \(x^2+2\cdot x\cdot7+7^2=x^2+14x+49\). Usamos \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) con \(a=x\) y \(b=7\). El doble producto es \(14x\). Resultado: \(x^2+14x+49\).
   2. \((3x)^2-2\cdot3x\cdot2+2^2=9x^2-12x+4\). Ahora \(a=3x\) y \(b=2\); hay que elevar al cuadrado todo el monomio, \((3x)^2=9x^2\), no solo la \(x\). Resultado: \(9x^2-12x+4\).
   3. Suma por diferencia: \((2x)^2-5^2=4x^2-25\). La suma por diferencia da la diferencia de los cuadrados, sin término en \(x\). Resultado: \(4x^2-25\).
   4. \(5^2-2\cdot5\cdot4x+(4x)^2=25-40x+16x^2\). Aquí \(a=5\) y \(b=4x\). Ordenado de mayor a menor grado, el resultado es \(16x^2-40x+25\).
   5. \(98^2=(100-2)^2=10\,000-400+4=9\,604\). Usamos el cuadrado de una diferencia con \(a=100\) y \(b=2\): \(100^2=10\,000\), \(2\cdot100\cdot2=400\) y \(2^2=4\). Por tanto \(98^2=9\,604\).

9. Solución del ejercicio 9

   1. El factor común es \(3x\): \(6x^3-9x^2+3x=3x(2x^2-3x+1)\). Sacamos el máximo común divisor de los coeficientes (3) y la menor potencia de \(x\) (\(x\)). El paréntesis aún se puede factorizar: \(2x^2-3x+1=(2x-1)(x-1)\), así que \(6x^3-9x^2+3x=3x(2x-1)(x-1)\).
   2. Es una diferencia de cuadrados: \(x^2-8^2=(x+8)(x-8)\). Comprobamos multiplicando: \((x+8)(x-8)=x^2-64\). Resultado: \((x+8)(x-8)\).
   3. Es el cuadrado de una suma, porque \(2\cdot x\cdot5=10x\): \((x+5)^2\). Los extremos son cuadrados, \(x^2\) y \(5^2\), y el término central es el doble producto con signo más. Resultado: \(x^2+10x+25=(x+5)^2\).
   4. \((2x)^2=4x^2\), \(5^2=25\) y \(2\cdot2x\cdot5=20x\): \((2x-5)^2\). Como el término central es negativo, es el cuadrado de una diferencia. Resultado: \(4x^2-20x+25=(2x-5)^2\).

10. Solución del ejercicio 10

    1. Los divisores son \(\pm1,\ \pm2,\ \pm3,\ \pm6\). Si \(P\) tiene una raíz entera, debe dividir a \(-6\), así que solo hay ocho candidatos que probar.
    2. \(P(1)=1-6+11-6=0\). Por tanto \(x=1\) es raíz. El valor numérico es cero, de modo que \(x-1\) es un factor de \(P(x)\).
    3. Coeficientes \(1,\ -6,\ 11,\ -6\): 1; \(-6+1=-5\); \(11-5=6\); \(-6+6=0\). Cociente \(x^2-5x+6\). El último número es el resto, que vale 0, y los anteriores son los coeficientes del cociente, de grado una unidad menor: \(P(x)=(x-1)(x^2-5x+6)\).
    4. \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\), porque \(2+3=5\) y \(2\cdot3=6\). Entonces \(P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)\), con raíces 1, 2 y 3. Comprobamos con \(x=0\): \(P(0)=-6\) y \((-1)(-2)(-3)=-6\). La factorización es correcta.

11. Solución del ejercicio 11

    1. Área \(=(x+8)(x-2)=x^2-2x+8x-16=x^2+6x-16\). Multiplicamos los dos lados y reducimos \(-2x+8x=6x\). El área es \(A(x)=x^2+6x-16\) metros cuadrados.
    2. Perímetro \(=2(x+8)+2(x-2)=4x+12\). El perímetro es la suma de los cuatro lados: \(2x+16+2x-4=4x+12\) metros.
    3. Con \(x=10\) los lados miden 18 y 8 m. Área: \(18\cdot8=144\) m\(^2\); con el polinomio, \(100+60-16=144\) m\(^2\). Perímetro: \(40+12=52\) m. Los dos métodos coinciden, lo que confirma el polinomio del área. La parcela tiene \(144\) m\(^2\) y \(52\) m de perímetro.
    4. Dos vueltas: \(2\cdot52=104\) m de alambre. Cada vuelta recorre el perímetro completo, por eso se multiplica por 2. Hacen falta \(104\) metros de alambre.

12. Solución del ejercicio 12

    1. Al añadir 1 m a cada lado, el largo aumenta 2 m y el ancho también: \((x+8)\) por \((x+2)\). El paseo añade 1 m por la izquierda y 1 m por la derecha, y lo mismo arriba y abajo. La figura completa mide \(x+8\) m de largo y \(x+2\) m de ancho.
    2. Total: \((x+8)(x+2)=x^2+10x+16\). Piscina: \(x(x+6)=x^2+6x\). Para el total desarrollamos \(x^2+2x+8x+16\) y reducimos. Las áreas son \(x^2+10x+16\) (total) y \(x^2+6x\) (piscina).
    3. Paseo \(=(x^2+10x+16)-(x^2+6x)=4x+16\). El área del paseo es la del rectángulo grande menos la de la piscina; los términos en \(x^2\) se anulan. El paseo mide \(4x+16\) m\(^2\).
    4. Con \(x=10\): total \(=18\cdot12=216\) m\(^2\); piscina \(=10\cdot16=160\) m\(^2\); paseo \(=216-160=56\) m\(^2\), que coincide con \(4\cdot10+16=56\). Conclusión: para \(x=10\), el paseo ocupa \(56\) m\(^2\), y el cálculo con medidas y con el polinomio da lo mismo.

13. Solución del ejercicio 13

    1. Altura \(x\) y base cuadrada de lado \(20-2x\) (se quitan dos recortes por lado). Al doblar, el lado del recorte se convierte en la altura. Dimensiones: base de \((20-2x)\times(20-2x)\) cm y altura \(x\) cm.
    2. \(V=x(20-2x)^2=x(400-80x+4x^2)=4x^3-80x^2+400x\). Es un polinomio de grado 3. El volumen de un prisma es área de la base por altura. Desarrollamos \((20-2x)^2\) con el cuadrado de una diferencia y multiplicamos por \(x\). El volumen es un polinomio de grado 3.
    3. \(V(3)=3\cdot14^2=588\) cm\(^3\) y \(V(5)=5\cdot10^2=500\) cm\(^3\). Con \(x=3\) la base mide \(14\) cm y con \(x=5\) mide \(10\) cm. La primera caja tiene más volumen: \(588\) cm\(^3\) frente a \(500\) cm\(^3\).
    4. No: con \(x=10\) la base mediría \(20-20=0\) y no habría caja. Debe cumplirse \(0\lt x<10\). Además \(x\) tiene que ser positivo, porque es una longitud. Por tanto \(x=10\) no es posible.

14. Solución del ejercicio 14

    1. \(I(x)=100x-2x^2\) y \(C(x)=1\,000-20x\). Aplicamos la propiedad distributiva en cada producto. Así \(I(x)=-2x^2+100x\) y \(C(x)=-20x+1\,000\).
    2. \(B(x)=100x-2x^2-1\,000+20x=-2x^2+120x-1\,000\). Al restar \(C(x)\) cambiamos el signo de sus dos términos y agrupamos \(100x+20x=120x\). El beneficio es \(B(x)=-2x^2+120x-1\,000\).
    3. \(B(20)=-800+2\,400-1\,000=600\) €. Con \(I(20)=20\cdot60=1\,200\) y \(C(20)=10\cdot60=600\) se obtiene \(1\,200-600=600\) €. Con el precio de 20 € vende \(100-40=60\) piezas. Los dos métodos dan el mismo resultado: el beneficio es de \(600\) €.
    4. \(B(10)=-200+1\,200-1\,000=0\) y \(B(50)=-5\,000+6\,000-1\,000=0\). En ambos casos el beneficio es nulo: ni gana ni pierde (son las raíces de \(B\)). Con un precio de 10 € cubre justo el coste del material, y con 50 € no vende ninguna pieza. En los dos casos el beneficio es \(0\) €.

15. Solución del ejercicio 15

    1. Lados \(x+3\) y \(x-2\). Área \(=x^2-2x+3x-6=x^2+x-6\). Un lado crece 3 m y el otro disminuye 2 m. El área del nuevo huerto es \(x^2+x-6\) m\(^2\).
    2. \((x^2+x-6)-x^2=x-6\). Restamos el área del cuadrado, \(x^2\), al área del rectángulo. La diferencia es \(x-6\) m\(^2\).
    3. Con \(x=15\): antiguo \(225\) m\(^2\) y nuevo \(18\cdot13=234\) m\(^2\). Ha aumentado \(9\) m\(^2\), igual que \(15-6=9\). El aumento calculado con medidas coincide con el polinomio. El huerto pasa de \(225\) m\(^2\) a \(234\) m\(^2\): gana \(9\) m\(^2\).
    4. Es mayor si \(x-6>0\), es decir, si \(x>6\). Con \(x=6\) las dos áreas son iguales. Si \(x<6\), el nuevo huerto sería más pequeño. Respuesta: el huerto nuevo es mayor solo cuando \(x>6\).

16. Solución del ejercicio 16

    1. Patio: \((x+4)^2=x^2+8x+16\). Macetas: \(x^2\). Usamos \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) con \(a=x\) y \(b=4\); el doble producto es \(8x\). El patio mide \(x^2+8x+16\) m\(^2\) y las macetas \(x^2\) m\(^2\).
    2. Pavimentada \(=x^2+8x+16-x^2=8x+16\). Restamos las dos áreas; los términos en \(x^2\) se anulan. El área pavimentada es \(8x+16\) m\(^2\).
    3. \(8\cdot6+16=64\) m\(^2\). Comprobación: \(10^2-6^2=100-36=64\) m\(^2\). Con \(x=6\) el patio tiene 10 m de lado y la zona de macetas 6 m. Los dos cálculos coinciden: se pavimentan \(64\) m\(^2\).
    4. \(64\cdot25=1\,600\) €. El coste es el área pavimentada por el precio de cada metro cuadrado. Pavimentar cuesta \(1\,600\) €.

17. Solución del ejercicio 17

    1. \(V(2)=8+8-10-6=0\), así que \(x-2\) es un factor. Por el teorema del resto, la división de \(V(x)\) entre \(x-2\) es exacta.
    2. Ruffini con \(a=2\) sobre \(1,\ 2,\ -5,\ -6\): 1; 4; 3; 0. Cociente \(x^2+4x+3=(x+1)(x+3)\). Entonces \(V(x)=(x-2)(x+1)(x+3)\). Comprobación con \(x=0\): \(V(0)=-6\) y \((-2)\cdot1\cdot3=-6\).
    3. Aristas: \(x-2\), \(x+1\) y \(x+3\). Deben ser positivas: la más restrictiva es \(x-2>0\), es decir, \(x>2\). Las otras dos aristas son positivas en cuanto \(x>2\).
    4. Con el polinomio: \(125+50-25-6=144\). Con las aristas: \(3\cdot6\cdot8=144\). El volumen es \(144\) m\(^3\). Que las dos formas coincidan confirma la factorización.

18. Solución del ejercicio 18

    1. \(x^2-14x+49=(x-7)^2\), ya que \(2\cdot x\cdot7=14x\) y \(7^2=49\). El lado mide \(x-7\) metros. Comprobamos desarrollando \((x-7)^2=x^2-14x+49\).
    2. \(x^2-49=(x+7)(x-7)\). Puede medir \(x+7\) de largo y \(x-7\) de ancho. Es la suma por diferencia, que siempre da la diferencia de cuadrados.
    3. Con \(x=19\): lado de la plaza \(=12\) m; jardín de \(26\) m por \(12\) m. Basta sustituir \(x=19\) en cada factor.
    4. Plaza: \(12^2=144\) m\(^2\) y con el polinomio \(361-266+49=144\). Jardín: \(26\cdot12=312\) m\(^2\) y \(361-49=312\). Las dos comprobaciones coinciden, así que las factorizaciones son correctas.

19. Solución del ejercicio 19

    1. \(P(1)=1-5+4=0\); \(P(-1)=0\); \(P(2)=16-20+4=0\); \(P(-2)=0\). Como \(P\) solo tiene potencias pares, \(P(-a)=P(a)\); por eso los valores en \(-1\) y \(-2\) coinciden con los de \(1\) y \(2\). Los cuatro valores son cero.
    2. \(z^2-5z+4=(z-1)(z-4)\), porque \(1+4=5\) y \(1\cdot4=4\). Entonces \(P(x)=(x^2-1)(x^2-4)\). El cambio \(z=x^2\) convierte \(P\) en un polinomio de segundo grado más fácil de factorizar.
    3. \(x^2-1=(x+1)(x-1)\) y \(x^2-4=(x+2)(x-2)\). Por tanto \(P(x)=(x+1)(x-1)(x+2)(x-2)\). Cada factor de segundo grado es una diferencia de cuadrados.
    4. Las raíces son \(-2,\ -1,\ 1\) y \(2\). Coinciden porque cada una anula uno de los factores y, por tanto, el producto. Respuesta: las raíces son \(\pm1\) y \(\pm2\), y por eso \(P\) se anula en los cuatro valores de a).

20. Solución del ejercicio 20

    1. Debe cumplirse \(P(2)=0\): \(8-2k+6=0\), \(2k=14\), \(k=7\). Por el teorema del resto, \(x-2\) divide al polinomio si y solo si el valor en 2 es cero. Comprobación: \(8-14+6=0\). Respuesta: \(k=7\).
    2. \(P(x)=a(x-1)(x+2)(x-3)\) y \(P(0)=a\cdot(-1)\cdot2\cdot(-3)=6a=12\), así que \(a=2\). Entonces \(P(x)=2(x-1)(x+2)(x-3)=2x^3-4x^2-10x+12\). Un polinomio con esas raíces debe tener los factores \(x-1\), \(x+2\) y \(x-3\); el número \(a\) se ajusta con la condición \(P(0)=12\). Comprobación: el término independiente del desarrollo es 12.
    3. Por el teorema del resto: \((-1)^5+1=-1+1=0\). El resto es 0. El resto de dividir entre \(x+1=x-(-1)\) es el valor del polinomio en \(-1\). Respuesta: \(x+1\) divide exactamente a \(x^5+1\).
    4. \((-1)^{50}-2=1-2=-1\). El resto es \(-1\). Una potencia par de \(-1\) vale 1, así que no hace falta hacer la división larga. Respuesta: el resto es \(-1\).