Polinomios – matemáticas 3º ESO: soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   1. \(2x^3+x^2+(-1+3)x+(4-1)=2x^3+x^2+2x+3\). Sumamos los coeficientes de los términos semejantes; los términos sin pareja se copian igual. Resultado: \(2x^3+x^2+2x+3\).
   2. \(2x^3-x+4-x^2-3x+1=2x^3-x^2-4x+5\). Al restar \(B\) cambiamos el signo de sus tres términos y luego agrupamos \(-x-3x=-4x\) y \(4+1=5\). Resultado: \(2x^3-x^2-4x+5\).
   3. \(2x^3\cdot(x^2+3x-1)=2x^5+6x^4-2x^3\); \(-x\cdot(\dots)=-x^3-3x^2+x\); \(4\cdot(\dots)=4x^2+12x-4\). Sumando: \(2x^5+6x^4-3x^3+x^2+13x-4\). Agrupamos los términos semejantes: \(-2x^3-x^3=-3x^3\), \(-3x^2+4x^2=x^2\) y \(x+12x=13x\). Comprobación con \(x=1\): \(A(1)=5\), \(B(1)=3\) y \(5\cdot3=15=2+6-3+1+13-4\). (2 puntos: 1 por los productos parciales y 1 por la reducción.)

2. Solución del ejercicio 2 (3 puntos)

   1. \((2x)^2-2\cdot2x\cdot3+3^2=4x^2-12x+9\). Hemos aplicado el cuadrado de una diferencia con \(a=2x\) y \(b=3\); el error típico sería escribir \(4x^2+9\) olvidando el doble producto. Resultado: \(4x^2-12x+9\).
   2. Suma por diferencia: \(x^2-25\). Los términos \(-5x\) y \(+5x\) se anulan al multiplicar \((x+5)(x-5)=x^2-5x+5x-25\). Resultado: \(x^2-25\).
   3. \((3x)^2=9x^2\), \(4^2=16\) y \(2\cdot3x\cdot4=24x\): \((3x-4)^2\). Comprobamos desarrollando: \((3x-4)^2=9x^2-24x+16\). Resultado: \(9x^2-24x+16=(3x-4)^2\).

   Criterios de corrección: 1 punto por apartado; en a) se penaliza escribir \(4x^2+9\) sin el doble producto \(-12x\).

3. Solución del ejercicio 3 (4 puntos)

   1. Coeficientes \(1,\ -2,\ -5,\ 6\) con \(a=3\): 1; \(-2+3=1\); \(-5+3=-2\); \(6-6=0\). Cociente \(x^2+x-2\) y resto 0. El cociente tiene grado 2, uno menos que el dividendo; el resto 0 indica que \(x-3\) es factor (2 puntos: 1 por la tabla, 1 por cociente y resto).
   2. \(P(2)=8-8-10+6=-4\). Es el resto de dividir entre \(x-2\); como no es cero, \(x-2\) no es factor. Por el teorema del resto, el valor numérico en 2 es el resto de la división entre \(x-2\).
   3. \(x^2+x-2=(x+2)(x-1)\). Entonces \(P(x)=(x-3)(x+2)(x-1)\). Comprobación con \(x=0\): \(P(0)=6\) y \((-3)\cdot2\cdot(-1)=6\). Respuesta: \(P(x)=(x-3)(x+2)(x-1)\), con raíces 3, \(-2\) y 1.

4. Solución del ejercicio 4 (3 puntos)

   1. Factor común \(6x^2\): \(6x^2(2x-3)\). El MCD de 12 y 18 es 6 y la menor potencia de \(x\) es \(x^2\). Comprobación: \(6x^2\cdot2x=12x^3\) y \(6x^2\cdot(-3)=-18x^2\). Resultado: \(6x^2(2x-3)\).
   2. Diferencia de cuadrados: \((x+9)(x-9)\). Porque \(x^2-81=x^2-9^2\), y una diferencia de cuadrados es suma por diferencia. Resultado: \((x+9)(x-9)\).
   3. Cuadrado de una diferencia: \((x-4)^2\), porque \(2\cdot4=8\) y \(4^2=16\). El signo menos del término central indica que es el cuadrado de una diferencia; comprobación: \((x-4)^2=x^2-8x+16\). Resultado: \((x-4)^2\).

5. Solución del ejercicio 5 (6 puntos)

   1. \((x+8)(x+3)=x^2+3x+8x+24=x^2+11x+24\). Multiplicamos los dos lados de la plaza y reducimos \(3x+8x=11x\). El área de la plaza es \(x^2+11x+24\) m\(^2\).
   2. \(x(x+2)=x^2+2x\). El césped es un rectángulo de lados \(x\) y \(x+2\). Su área es \(x^2+2x\) m\(^2\).
   3. \(x^2+11x+24-(x^2+2x)=9x+24\). El área pavimentada es la de la plaza menos la del césped; al restar, los términos en \(x^2\) se anulan. Resultado: \(9x+24\) m\(^2\).
   4. \(9\cdot12+24=132\) m\(^2\) y \(132\cdot15=1\,980\) €. Comprobación: la plaza mide \(20\cdot15=300\) m\(^2\) y el césped \(12\cdot14=168\) m\(^2\), y \(300-168=132\). El coste es de \(1\,980\) €.
   5. \(9x+24=105\), \(9x=81\), \(x=9\). Planteamos la ecuación de primer grado y despejamos \(x\). Comprobación: \(9\cdot9+24=105\). Respuesta: \(x=9\).

Total : 20 puntos