Polinomios – matemáticas 3º ESO: ejercicios para descargar en PDF

Para cada expresión indica el grado, el coeficiente principal, el término independiente y el número de términos.

1. \(P(x)=4x^3-2x^2+x-7\)
2. \(Q(x)=-x^4+5x^2-3\)
3. \(R(x)=7\)
4. ¿Cuál de los tres tiene mayor grado? ¿Y cuál es un polinomio constante?

Sea \(P(x)=x^3-3x^2+2x-5\). Sustituye la variable por cada valor y calcula con cuidado los signos.

1. \(P(0)\)
2. \(P(1)\)
3. \(P(-1)\)
4. \(P(3)\)

Sean \(A(x)=3x^3-2x^2+x-5\) y \(B(x)=x^3+4x^2-3x+2\). Calcula escribiendo los polinomios ordenados y agrupando los términos semejantes.

1. \(A(x)+B(x)\)
2. \(A(x)-B(x)\)
3. \(2A(x)-B(x)\)

Recuerda que al multiplicar potencias de la misma base se suman los exponentes y al dividirlas se restan.

1. \((3x^2)\cdot(-5x^4)\)
2. \(-2x\,(x^2-4x+3)\)
3. \(4x^2(3x-1)-x(2x^2+5)\)
4. \((6x^5):(2x^2)\)

Multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo y reduce los términos semejantes.

1. \((x+4)(x-6)\)
2. \((2x-3)(x^2+x-5)\)
3. \((x^2+x+1)(x-1)\)
4. Comprueba el apartado b) dando a \(x\) el valor 2 en los dos miembros.

Divide aplicando la regla de Ruffini. Escribe los coeficientes con ceros en los términos que faltan e indica cociente y resto.

1. \((x^3+2x^2-5x-6):(x-2)\)
2. \((2x^3-3x^2+x-4):(x-1)\)
3. \((x^4-16):(x+2)\)

Sea \(P(x)=x^3-4x^2+x+6\). El teorema del resto dice que el resto de dividir entre \(x-a\) es \(P(a)\).

1. Calcula el resto de dividir \(P(x)\) entre \(x-2\).
2. Calcula el resto de dividir entre \(x+1\) y entre \(x-3\).
3. ¿Qué indica que los tres restos sean cero? Factoriza \(P(x)\).
4. Calcula el resto de dividir \(P(x)\) entre \(x-1\).

Desarrolla con las identidades notables \((a+b)^2\), \((a-b)^2\) y \((a+b)(a-b)\).

1. \((x+7)^2\)
2. \((3x-2)^2\)
3. \((2x+5)(2x-5)\)
4. \((5-4x)^2\)
5. Calcula mentalmente \(98^2\) escribiendo \(98=100-2\).

Factoriza cada polinomio. Primero busca un factor común y después una identidad notable.

1. \(6x^3-9x^2+3x\)
2. \(x^2-64\)
3. \(x^2+10x+25\)
4. \(4x^2-20x+25\)

Queremos factorizar \(P(x)=x^3-6x^2+11x-6\). Las raíces enteras, si existen, son divisores del término independiente.

1. Escribe los divisores de \(-6\).
2. Comprueba que \(x=1\) es raíz.
3. Aplica Ruffini con \(a=1\) y escribe el cociente.
4. Factoriza el cociente y escribe \(P(x)\) completamente factorizado.

Un agricultor de Segovia tiene una parcela rectangular de lados \(x+8\) y \(x-2\) metros, donde \(x\) es un número mayor que 2.

1. Escribe el polinomio que da el área de la parcela.
2. Escribe el polinomio del perímetro.
3. Calcula área y perímetro para \(x=10\).
4. ¿Cuántos metros de alambre hacen falta si se cerca la parcela con dos vueltas?

Una piscina rectangular de un polideportivo de Murcia mide \(x+6\) metros de largo y \(x\) de ancho. La rodea un paseo de baldosas de 1 m de anchura por todos los lados.

1. Escribe las dimensiones de la figura formada por la piscina y el paseo.
2. Escribe el polinomio del área total y el del área de la piscina.
3. Halla el polinomio del área del paseo.
4. Calcula esas áreas para \(x=10\).

Una fábrica de embalajes de Zaragoza construye cajas sin tapa a partir de láminas cuadradas de 20 cm de lado. Se recorta un cuadrado de lado \(x\) en cada esquina y se doblan los lados.

1. Expresa las dimensiones de la base y la altura de la caja.
2. Escribe el volumen como un polinomio en \(x\) y di su grado.
3. Calcula el volumen para \(x=3\) y para \(x=5\).
4. ¿Puede ser \(x=10\)? Razona la respuesta.

En un mercadillo de Valencia, un vendedor de artesanía comprueba que si vende cada pieza a \(x\) euros consigue vender \(100-2x\) piezas. Cada pieza le cuesta 10 € de material.

1. Escribe el polinomio de ingresos \(I(x)=x(100-2x)\) y el de costes \(C(x)=10(100-2x)\).
2. Halla el polinomio de beneficio \(B(x)=I(x)-C(x)\).
3. Calcula \(B(20)\) y comprueba el resultado con \(I\) y \(C\).
4. Calcula \(B(10)\) y \(B(50)\). ¿Qué significan?

Un huerto escolar cuadrado tiene \(x\) metros de lado. El centro decide ampliarlo 3 m en una dirección y reducirlo 2 m en la otra para dejar sitio a un camino, de modo que queda un rectángulo.

1. Escribe los lados del nuevo rectángulo y su área como polinomio.
2. Calcula la diferencia entre el área nueva y la antigua.
3. Si \(x=15\), ¿cuánto vale cada área y cuánto ha cambiado?
4. ¿Para qué valores de \(x\) el huerto nuevo es mayor que el antiguo?

En el patio de un colegio de Bilbao se pavimenta un cuadrado de \(x+4\) metros de lado. En el centro hay una zona cuadrada de macetas de \(x\) metros de lado que no se pavimenta.

1. Escribe el área del patio y el área de la zona de macetas desarrollando con una identidad notable.
2. Calcula el polinomio del área pavimentada.
3. Calcula esa área para \(x=6\) y comprueba restando.
4. Si el metro cuadrado de pavimento cuesta 25 €, ¿cuánto cuesta pavimentar con \(x=6\)?

El volumen de un depósito con forma de prisma recto viene dado por \(V(x)=x^3+2x^2-5x-6\) (en m\(^3\)). Sus tres aristas se expresan con polinomios de primer grado.

1. Comprueba que \(x=2\) es raíz de \(V(x)\).
2. Aplica Ruffini y factoriza completamente \(V(x)\).
3. Escribe las tres aristas del depósito. ¿Qué condición debe cumplir \(x\) para que todas sean positivas?
4. Calcula el volumen para \(x=5\) de dos formas diferentes.

El proyecto de una plaza cuadrada de una ciudad andaluza indica que su área es \(A(x)=x^2-14x+49\) metros cuadrados. Junto a ella hay un jardín rectangular de área \(J(x)=x^2-49\).

1. Factoriza \(A(x)\) reconociendo una identidad notable. ¿Cuánto mide el lado de la plaza?
2. Factoriza \(J(x)\). ¿Qué dimensiones puede tener el jardín?
3. Calcula el lado de la plaza y las dimensiones del jardín para \(x=19\).
4. Calcula las dos áreas con \(x=19\) y comprueba que coinciden con los polinomios.

Sea \(P(x)=x^4-5x^2+4\). Se trata de un polinomio sin términos de grado impar.

1. Calcula \(P(1)\), \(P(-1)\), \(P(2)\) y \(P(-2)\).
2. Escribe \(P(x)\) como producto de dos factores usando \(z=x^2\) (es decir, factoriza \(z^2-5z+4\)).
3. Factoriza completamente \(P(x)\) con diferencias de cuadrados.
4. Escribe las cuatro raíces y razona por qué coinciden con los resultados de a).

Resuelve estos retos sobre divisibilidad de polinomios.

1. Halla \(k\) para que \(x-2\) divida a \(x^3-kx+6\).
2. Escribe un polinomio de grado 3 con raíces \(1\), \(-2\) y \(3\) tal que \(P(0)=12\).
3. Calcula, sin dividir, el resto de \(x^5+1\) entre \(x+1\).
4. Calcula, sin dividir, el resto de \(x^{50}-2\) entre \(x+1\).