Patrones y sucesiones – matemáticas 3º ESO: soluciones de los ejercicios para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1

   1. Cada término es el anterior más 4 (progresión aritmética): \(19,\ 23,\ 27\).
   2. Cada término es el anterior por 3 (progresión geométrica): \(162,\ 486,\ 1\,458\).
   3. Son los cuadrados perfectos \(1^2,2^2,3^2,4^2,\dots\): \(25,\ 36,\ 49\).
   4. Cada término es la suma de los dos anteriores (sucesión de Fibonacci): \(13,\ 21,\ 34\).

2. Solución del ejercicio 2

   1. \(a_1=3\), \(a_2=8\), \(a_3=13\), \(a_4=18\), \(a_5=23\). Sustituimos \(n=1,2,3,4,5\) en la fórmula.
   2. \(a_{10}=5\cdot10-2=48\). Sustituimos \(n=10\).
   3. \(5n-2=98\), \(5n=100\), \(n=20\): sí es el término 20. \(5n-2=100\) da \(n=20{,}4\), que no es entero: no es término. Un término de la sucesión debe tener una posición \(n\) natural.
   4. Es una progresión aritmética de diferencia \(d=5\) y primer término \(a_1=3\). Cada término se obtiene sumando 5 al anterior.

3. Solución del ejercicio 3

   1. \(4,\ 7,\ 10,\ 13,\ 16\). Empezamos en 4 y sumamos 3 cada vez.
   2. \(a_{10}=4+9\cdot3=31\) y \(a_{20}=4+19\cdot3=61\). Del primero al décimo hay 9 saltos de 3, y al vigésimo 19 saltos.
   3. \(S_{10}=\dfrac{(4+31)\cdot10}{2}=175\). Aplicamos la fórmula con el primer y el último término. Comprobación: \(4+7+\dots+31\) son 10 términos cuya media es 17,5, y \(17{,}5\cdot10=175\).
   4. \(a_n=4+3(n-1)=3n+1\). Quitamos el paréntesis y agrupamos. Comprobación: \(3\cdot1+1=4\).

4. Solución del ejercicio 4

   1. \(a_7-a_3=4d\), es decir, \(12=4d\) y \(d=3\). Entre el tercer y el séptimo término hay 4 diferencias.
   2. \(a_3=a_1+2d\), así que \(11=a_1+6\) y \(a_1=5\). Del primero al tercero hay 2 saltos de 3.
   3. \(a_n=5+3(n-1)=3n+2\). Comprobación: \(a_3=3\cdot3+2=11\) y \(a_7=3\cdot7+2=23\).
   4. \(a_{10}=3\cdot10+2=32\). Sustituimos \(n=10\) en el término general. Respuesta: \(a_{10}=32\).

5. Solución del ejercicio 5

   1. \(S_{100}=\dfrac{(1+100)\cdot100}{2}=5\,050\). El primero más el último dan 101, y hay 100 términos.
   2. Hay \(\dfrac{100}{5}=20\) términos: \(S_{20}=\dfrac{(5+100)\cdot20}{2}=1\,050\). Contamos los términos dividiendo el último entre 5.
   3. Hay 25 términos: \(S_{25}=\dfrac{(2+50)\cdot25}{2}=650\). De 2 a 50 de dos en dos hay 25 números pares.
   4. \(1+100=101\), \(2+99=101\), \dots Hay 50 parejas: \(50\cdot101=5\,050\).

6. Solución del ejercicio 6

   1. \(3,\ 6,\ 12,\ 24,\ 48\). Empezamos en 3 y multiplicamos por 2 cada vez.
   2. \(a_5=3\cdot2^4=48\) y \(a_8=3\cdot2^7=384\). La razón se multiplica \(n-1\) veces: \(2^4=16\) y \(2^7=128\).
   3. \(S_6=\dfrac{3(2^6-1)}{2-1}=3\cdot63=189\). Comprobación: \(3+6+12+24+48+96=189\).
   4. Se duplica 7 veces (la razón se multiplica \(n-1=7\) veces). Respuesta: se duplica 7 veces.

7. Solución del ejercicio 7

   1. \(80,\ 40,\ 20,\ 10\). Cada término es la mitad del anterior. Respuesta: 80, 40, 20 y 10.
   2. \(a_4=80\cdot\dfrac{1}{8}=10\) y \(a_6=80\cdot\dfrac{1}{32}=2{,}5\). Aplicamos \(a_n=a_1\cdot r^{n-1}\): \(r^3=\dfrac{1}{8}\) y \(r^5=\dfrac{1}{32}\). Respuesta: \(a_4=10\) y \(a_6=2{,}5\).
   3. \(S_4=\dfrac{80\left(1-\frac{1}{16}\right)}{\frac{1}{2}}=\dfrac{80\cdot\frac{15}{16}}{\frac{1}{2}}=150\). Como la razón es menor que 1, usamos la fórmula con \(1-r^n\) para trabajar con números positivos. Respuesta: \(S_4=150\).
   4. \(80+40+20+10=150\). La suma directa coincide con la fórmula, así que el resultado es correcto.

8. Solución del ejercicio 8

   1. Aritmética con \(a_1=5\) y \(d=3\): \(a_n=3n+2\). \(a_{10}=32\). La diferencia entre términos consecutivos es constante, 3.
   2. Geométrica con \(a_1=2\) y \(r=2\): \(a_n=2^n\). \(a_{10}=1\,024\). Cada término es el doble del anterior.
   3. Los números impares: \(a_n=2n-1\). \(a_{10}=19\). Cada impar es un par menos uno.
   4. Aritmética con \(a_1=6\) y \(d=5\): \(a_n=5n+1\). \(a_{10}=51\). Comprobación: \(a_1=6\).

9. Solución del ejercicio 9

   1. Con 4 cuadrados: \(4+3+3+3=13\) palillos. Cada cuadrado nuevo comparte un lado con el anterior, por eso solo añade 3 palillos.
   2. Cada cuadrado nuevo añade 3 palillos: \(a_n=4+3(n-1)=3n+1\). Es una progresión aritmética con \(a_1=4\) y \(d=3\).
   3. \(a_{10}=3\cdot10+1=31\) palillos. Sustituimos \(n=10\) en el término general. Respuesta: 31 palillos.
   4. \(3n+1=100\), \(n=33\) cuadrados (usa exactamente 100 palillos). Igualamos el término general a 100 y despejamos. Respuesta: 33 cuadrados.

10. Solución del ejercicio 10

    1. \(a_n=10+5(n-1)=5n+5\). Es una progresión aritmética con \(a_1=10\) y \(d=5\).
    2. \(a_{12}=5\cdot12+5=65\) €. Sustituimos \(n=12\).
    3. \(S_{12}=\dfrac{(10+65)\cdot12}{2}=450\) €. Usamos la fórmula de la suma con el primer y el último término.
    4. \(5n+5>100\), \(n>19\): en la semana 20 ahorra 105 €. Comprobación: en la semana 19 ahorra exactamente 100 €. Respuesta: en la semana 20.

11. Solución del ejercicio 11

    1. \(a_{20}=12+19\cdot2=50\) butacas. Es aritmética con \(a_1=12\) y \(d=2\); del primero al vigésimo hay 19 saltos.
    2. \(S_{20}=\dfrac{(12+50)\cdot20}{2}=620\) butacas. Sumamos las 20 filas con la fórmula de Gauss.
    3. \(620\cdot15=9\,300\) €. Multiplicamos el número de butacas por el precio.
    4. \(S_n=\dfrac{(2\cdot12+(n-1)2)\,n}{2}=n(11+n)=900\), es decir, \(n^2+11n-900=0\); \(n=\dfrac{-11+\sqrt{3\,721}}{2}=\dfrac{-11+61}{2}=25\) filas. Comprobación: \(25\cdot36=900\). Respuesta: 25 filas.

12. Solución del ejercicio 12

    1. \(a_n=500\cdot2^n\). Cada hora se multiplica por 2.
    2. \(a_6=500\cdot64=32\,000\). \(2^6=64\).
    3. \(500\cdot2^4=8\,000\) y \(500\cdot2^5=16\,000\). Superan las 10 000 a las 5 horas. Probamos valores de \(n\) hasta superar 10 000.
    4. Geométrica de razón \(r=2\). El cociente entre términos consecutivos es constante, 2.

13. Solución del ejercicio 13

    1. Por \(1-0{,}20=0{,}8\). Perder el 20 % es conservar el 80 %.
    2. \(V_n=600\cdot0{,}8^n\). Cada año se multiplica por 0,8.
    3. \(V_3=600\cdot0{,}512=307{,}20\) €. \(0{,}8^3=0{,}512\).
    4. \(V_4\approx245{,}76\) €, \(V_5\approx196{,}61\) €. Valdrá menos de 200 € al cabo de 5 años. Calculamos los valores año a año hasta bajar de 200 €.

14. Solución del ejercicio 14

    1. La fila \(n\) tiene \(n\) latas: la décima, 10. Es la progresión aritmética de los números naturales.
    2. \(S_{10}=\dfrac{(1+10)\cdot10}{2}=55\) latas. Sumamos los números del 1 al 10 con la fórmula de Gauss.
    3. \(S_{21}=\dfrac{(1+21)\cdot21}{2}=231\) latas. Aplicamos la misma fórmula con 21 términos.
    4. \(S_{15}=120\): 15 filas, justo con 120 latas. Comprobación: \(\dfrac{16\cdot15}{2}=120\). Respuesta: 15 filas completas.

15. Solución del ejercicio 15

    1. Opción 1 (aritmética): \(a_n=1\,200+50(n-1)\). Opción 2 (geométrica): \(b_n=1\,200\cdot1{,}03^{n-1}\).
    2. \(a_{10}=1\,200+450=1\,650\) €. \(b_{10}=1\,200\cdot1{,}03^9\approx1\,565{,}73\) €.
    3. \(S=\dfrac{(1\,200+1\,650)\cdot10}{2}=14\,250\) € (suma de los sueldos mensuales de cada año).
    4. \(S=\dfrac{1\,200(1{,}03^{10}-1)}{0{,}03}\approx13\,756{,}65\) €. La subida de 50 € da \(493{,}35\) € más en 10 años; con muchos más años ganaría la subida del 3 %.

16. Solución del ejercicio 16

    1. \(2\cdot0{,}75=1{,}5\) m; \(1{,}5\cdot0{,}75=1{,}125\) m; \(1{,}125\cdot0{,}75=0{,}84375\) m. Cada altura es los tres cuartos de la anterior.
    2. Geométrica de razón \(0{,}75\): \(h_n=2\cdot0{,}75^{n}\). La altura del bote \(n\) es la inicial multiplicada \(n\) veces por 0,75.
    3. \(h_5=2\cdot0{,}75^5\approx0{,}475\) m. \(0{,}75^5\approx0{,}237\).
    4. \(1{,}5+1{,}125+0{,}84375=3{,}46875\) m. Respuesta: unos 3,47 m.

17. Solución del ejercicio 17

    1. Ronda 1: 32 partidos; ronda 2: 16; ronda 3: 8; ronda 4: 4; ronda 5: 2; ronda 6: 1 (la final). Es geométrica de razón \(\dfrac{1}{2}\).
    2. 6 rondas (porque \(2^6=64\)).
    3. \(32+16+8+4+2+1=63\) partidos.
    4. Cada partido elimina a un jugador y hay que eliminar a 63 para que quede el campeón: 63 partidos.

18. Solución del ejercicio 18

    1. El marco de un cuadrado \(2\times2\) es de \(4\times4=16\) menos \(4=12\) baldosas. Contamos el cuadrado grande de \(4\times4\) y quitamos las 4 blancas del centro.
    2. Cada aumento de 1 en el lado añade 4 baldosas: \(a_n=8+4(n-1)=4n+4\). Es una progresión aritmética de diferencia 4.
    3. \(a_{10}=4\cdot10+4=44\) baldosas. Sustituimos \(n=10\).
    4. \(4n+4=100\), \(n=24\): un cuadrado de \(24\times24\). Respuesta: un cuadrado de 24 baldosas de lado.

19. Solución del ejercicio 19

    1. \(1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ 55\).
    2. \(1{,}6;\ 1{,}625;\ 1{,}615;\ 1{,}619;\ \dots\) Las razones se acercan a un mismo valor.
    3. \(\dfrac{55}{34}\approx1{,}618\), casi el número áureo \(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\approx1{,}618\).
    4. Ni una ni otra: las diferencias (0, 1, 1, 2, 3, \dots) no son constantes y las razones tampoco.

20. Solución del ejercicio 20

    1. Sean \(x-d\), \(x\) y \(x+d\): la suma es \(3x=21\), \(x=7\). Producto: \(7(49-d^2)=315\), \(49-d^2=45\), \(d=\pm2\). Los números son \(5,\ 7,\ 9\) (o \(9,\ 7,\ 5\)).
    2. Si \(x\) es el término medio, \(\dfrac{x}{2}=\dfrac{18}{x}\), \(x^2=36\), \(x=6\) (razón 3) o \(x=-6\) (razón \(-3\)).
    3. \(102=7+5(n-1)\), \(95=5(n-1)\), \(n=20\) términos.
    4. \(a_1=1\), \(r=\dfrac{1}{2}\): \(S=\dfrac{1}{1-\frac{1}{2}}=2\).