Semejanza y teorema de Tales – matemáticas 2º ESO: soluciones de los ejercicios para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1

   1. \(\dfrac{10}{4}=2{,}5\) y \(\dfrac{15}{6}=2{,}5\). Lados proporcionales y ángulos rectos: son semejantes con \(k=2{,}5\).
   2. Perímetros: \(2(4+6)=20\) cm y \(2(10+15)=50\) cm. Razón: \(\dfrac{50}{20}=2{,}5=k\).
   3. Áreas: \(24\) cm² y \(150\) cm². Razón: \(\dfrac{150}{24}=6{,}25=k^2\).
   4. \(\dfrac{8}{4}=2\) pero \(\dfrac{14}{6}\approx2{,}33\). No son proporcionales: no es semejante.

2. Solución del ejercicio 2

   1. Dividimos los lados correspondientes: \(k=\dfrac{9}{3}=3\).
   2. Multiplicamos los otros lados por la razón: \(4\cdot3=12\) cm y \(5\cdot3=15\) cm.
   3. Sumamos los lados y comparamos: Pequeño: \(3+4+5=12\) cm. Grande: \(9+12+15=36\) cm. Razón: 3.
   4. Usamos los catetos como base y altura: Pequeño: \(\dfrac{3\cdot4}{2}=6\) cm². Grande: \(\dfrac{9\cdot12}{2}=54\) cm². Razón: \(\dfrac{54}{6}=9=3^2\).

   La razón de áreas es el cuadrado de la razón de semejanza.

3. Solución del ejercicio 3

   1. El tercer ángulo se obtiene restando de 180°: A tiene ángulos \(50^\circ,60^\circ,70^\circ\); B tiene \(60^\circ,70^\circ,50^\circ\). Son semejantes por el criterio AA.
   2. Comprobamos si los tres lados son proporcionales: \(\dfrac{9}{6}=\dfrac{12}{8}=\dfrac{15}{10}=1{,}5\). Son semejantes por LLL.
   3. Comprobamos dos lados proporcionales y el ángulo comprendido: \(\dfrac{6}{4}=\dfrac{9}{6}=1{,}5\) y el ángulo comprendido es igual. Son semejantes por LAL.
   4. Comparamos las tres razones: \(\dfrac{6}{3}=2\), \(\dfrac{8}{4}=2\) pero \(\dfrac{11}{6}\approx1{,}83\). No son semejantes.

4. Solución del ejercicio 4

   1. Las longitudes, áreas y volúmenes se multiplican por \(k\), \(k^2\) y \(k^3\): Perímetro \(\times3\); área \(\times9\); volumen \(\times27\).
   2. Calculamos los volúmenes y dividimos: \(V_1=2^3=8\) cm³ y \(V_2=6^3=216\) cm³. Razón: \(\dfrac{216}{8}=27=3^3\).
   3. La razón de áreas es \(k^2\); hacemos la raíz cuadrada: \(k^2=\dfrac{100}{16}=6{,}25\), luego \(k=2{,}5\) (lados de 4 y 10 cm).
   4. La razón de volúmenes es \(k^3\); hacemos la raíz cúbica: \(k^3=\dfrac{64}{8}=8\), luego \(k=2\).

5. Solución del ejercicio 5

   1. \(3\cdot10=6x\), \(x=5\).
   2. \(\dfrac{4}{6}=\dfrac{10}{y}\), \(y=\dfrac{60}{4}=15\) cm.
   3. Razón \(\dfrac{5}{12}\) y \(\dfrac{7}{12}\) del total: \(\dfrac{5}{12}\cdot18=7{,}5\) cm y \(\dfrac{7}{12}\cdot18=10{,}5\) cm.
   4. Desde un extremo se traza una semirrecta y se marcan 3 segmentos iguales de cualquier longitud; se une el último punto con el otro extremo del segmento de 15 cm y se trazan paralelas a esa recta por los otros dos puntos. Dividen el segmento en tres partes de 5 cm.

6. Solución del ejercicio 6

   1. Aplicamos el teorema de Tales a los segmentos de los dos lados: Por Tales: \(\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}\), es decir, \(\dfrac{4}{6}=\dfrac{6}{EC}\), \(EC=9\) cm.
   2. Sumamos los dos trozos de cada lado: \(AB=4+6=10\) cm y \(AC=6+9=15\) cm.
   3. Usamos la razón entre el triángulo pequeño y el grande: Los triángulos \(ADE\) y \(ABC\) son semejantes con razón \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{4}{10}=0{,}4\). Entonces \(BC=\dfrac{5}{0{,}4}=12{,}5\) cm.
   4. Elevamos la razón de semejanza al cuadrado: Razón de áreas: \(0{,}4^2=0{,}16\), es decir, \(\dfrac{4}{25}\).

7. Solución del ejercicio 7

   1. Razonamos con los ángulos: Los rayos del sol son paralelos y los objetos son verticales: los ángulos coinciden (AA).
   2. Planteamos la proporción altura/sombra: \(\dfrac{h}{6}=\dfrac{1{,}5}{1{,}2}\), \(h=\dfrac{6\cdot1{,}5}{1{,}2}=7{,}5\) m.
   3. Usamos la misma proporción con el edificio: \(\dfrac{30}{s}=\dfrac{1{,}5}{1{,}2}\), \(s=\dfrac{30\cdot1{,}2}{1{,}5}=24\) m.
   4. La altura y la sombra son los catetos de un triángulo rectángulo: \(\sqrt{7{,}5^2+6^2}=\sqrt{56{,}25+36}=\sqrt{92{,}25}\approx9{,}6\) m.

8. Solución del ejercicio 8

   1. Altura y sombra son proporcionales a la misma hora: \(\dfrac{h}{24}=\dfrac{2}{3}\), \(h=16\) m.
   2. Dividimos la altura entre lo que mide cada planta: \(16:2{,}8\approx5{,}7\): unas 5 plantas completas.
   3. Planteamos la nueva proporción: La razón es \(\dfrac{16}{s}=\dfrac{2}{4}\), \(s=32\) m.
   4. Razonamos sobre el ángulo del sol: Porque el ángulo del sol cambia durante el día y los triángulos dejarían de ser semejantes.

9. Solución del ejercicio 9

   1. Multiplicamos por 150 y pasamos a metros: \(40\cdot150=6\,000\) cm \(=60\) m.
   2. Multiplicamos cada dimensión por 150: \(20\cdot150=3\,000\) cm \(=30\) m y \(12\cdot150=1\,800\) cm \(=18\) m.
   3. Calculamos las dos áreas: Maqueta: \(20\cdot12=240\) cm². Realidad: \(30\cdot18=540\) m².
   4. Las áreas se multiplican por el cuadrado de la escala: Por \(150^2=22\,500\): \(240\cdot22\,500=5\,400\,000\) cm² \(=540\) m².
   5. Los volúmenes se multiplican por el cubo de la escala: Por \(150^3=3\,375\,000\): \(9\,600\cdot3\,375\,000=3{,}24\cdot10^{10}\) cm³ \(=32\,400\) m³.

10. Solución del ejercicio 10

    1. Dividimos el lado mayor ampliado entre el original: \(k=\dfrac{39}{13}=3\).
    2. Multiplicamos el lado menor por 3: \(9\cdot3=27\) cm. La ampliación mide \(27\times39\) cm.
    3. Multiplicamos los lados de cada foto: Original: \(9\cdot13=117\) cm². Ampliación: \(27\cdot39=1\,053\) cm² \(=117\cdot9\).
    4. Multiplicamos el área por el precio del cm²: \(1\,053\cdot0{,}004=4{,}212\approx4{,}21\) €.

    El área de la ampliación es \(3^2=9\) veces la original.

11. Solución del ejercicio 11

    1. Dividimos los diámetros: \(k=\dfrac{30}{20}=1{,}5\).
    2. La razón de áreas es \(k^2\): \(k^2=2{,}25\) veces.
    3. Calculamos el área de cada pizza con su radio y dividimos el precio entre el área: Pequeña: \(A=3{,}14\cdot10^2=314\) cm², \(\dfrac{6}{314}\approx0{,}0191\) €/cm². Grande: \(A=3{,}14\cdot15^2=706{,}5\) cm², \(\dfrac{12}{706{,}5}\approx0{,}0170\) €/cm².
    4. Comparamos el precio por cm²: La grande, porque cuesta menos por cm²: 12 € por 2,25 veces el área es más barato que \(2{,}25\cdot6=13{,}5\) €.

12. Solución del ejercicio 12

    1. Pasamos 12 km a cm y comparamos con 3 cm: \(12\) km \(=1\,200\,000\) cm. Escala: \(3:1\,200\,000=1:400\,000\).
    2. Dividimos cada distancia real entre 400 000: \(16\) km \(\to4\) cm y \(20\) km \(\to5\) cm.
    3. Comprobamos si se cumple Pitágoras: \(12^2+16^2=144+256=400=20^2\). Es rectángulo.
    4. Calculamos el área real y la del mapa: Real: \(\dfrac{12\cdot16}{2}=96\) km². Mapa: \(\dfrac{3\cdot4}{2}=6\) cm². Comprobación: \(6\cdot400\,000^2\) cm² \(=96\) km².

13. Solución del ejercicio 13

    1. La proporción es \(\dfrac{x}{20}=\dfrac{15}{10}=1{,}5\).
    2. \(x=20\cdot1{,}5=30\) m.
    3. \(30:0{,}75=40\) pasos.
    4. Un error en la cuerda se multiplica por la razón 1,5: un error de 1 m en la cuerda daría 1,5 m de error en la anchura.

14. Solución del ejercicio 14

    1. Por el teorema de Tales los segmentos son proporcionales: \(\dfrac{4}{6}=\dfrac{x}{9}\).
    2. Despejamos \(x\): \(x=\dfrac{4\cdot9}{6}=6\) cm.
    3. Sumamos los segmentos de cada transversal: Primera: \(4+6=10\) cm. Segunda: \(6+9=15\) cm. Razón: \(1{,}5\).
    4. Multiplicamos por la razón 1,5: \(3\cdot1{,}5=4{,}5\) cm más.

    Las paralelas cortan a las transversales en segmentos proporcionales.

15. Solución del ejercicio 15

    1. Los triángulos son: el grande (farola, suelo hasta el extremo de la sombra) y el pequeño (Daniel, su sombra). Tienen un ángulo común y son rectángulos: semejantes por AA.
    2. \(\dfrac{s}{s+9}=\dfrac{1{,}5}{6}\).
    3. \(6s=1{,}5s+13{,}5\), \(4{,}5s=13{,}5\), \(s=3\) m.
    4. \(\dfrac{s}{s+3}=\dfrac{1}{4}\), \(4s=s+3\), \(s=1\) m.

16. Solución del ejercicio 16

    1. Dividimos los lados mayores: \(k=\dfrac{90}{60}=1{,}5\).
    2. Multiplicamos el lado menor por la razón: \(40\cdot1{,}5=60\) cm.
    3. Superficie del cuadro y del póster: Cuadro: \(60\cdot40=2\,400\) cm². Póster: \(90\cdot60=5\,400\) cm² \(=2\,400\cdot2{,}25\).
    4. El lienzo del póster se paga por centímetro cuadrado: \(5\,400\cdot0{,}012=64{,}80\) €.
    5. Comparamos los dos costes: El cuadro cuesta \(2\,400\cdot0{,}012=28{,}80\) €. El póster cuesta \(2{,}25\) veces más: \(64{,}80-28{,}80=36\) € de diferencia.

17. Solución del ejercicio 17

    1. Dividimos las aristas: \(k=2\).
    2. Cinco caras cuadradas en cada pecera: Pequeña: \(5\cdot30^2=4\,500\) cm². Grande: \(5\cdot60^2=18\,000\) cm².
    3. Calculamos los volúmenes y pasamos a litros: Pequeña: \(30^3=27\,000\) cm³ \(=27\) L. Grande: \(60^3=216\,000\) cm³ \(=216\) L.
    4. Dividimos superficies y capacidades: Superficie: \(\dfrac{18\,000}{4\,500}=4=k^2\). Capacidad: \(\dfrac{216}{27}=8=k^3\).

    Al duplicar la arista, el vidrio se multiplica por 4 y la capacidad por 8.

18. Solución del ejercicio 18

    1. La capacidad es un volumen: se multiplica por \(k^3\). \(500\cdot2^3=4\,000\) litros.
    2. La chapa es una superficie: se multiplica por \(k^2\). \(6\cdot2^2=24\) m².
    3. Multiplicamos la chapa por el precio del m²: Pequeño: \(6\cdot18=108\) €. Grande: \(24\cdot18=432\) €.
    4. Dividimos el coste entre los litros: Pequeño: \(\dfrac{108}{500}=0{,}216\) €/L. Grande: \(\dfrac{432}{4\,000}=0{,}108\) €/L. El grande es la mitad de caro por litro.

19. Solución del ejercicio 19

    1. Dividimos la altura real entre 20: \(180:20=9\) cm.
    2. Las áreas se reducen con el cuadrado de la escala: Las áreas se dividen entre \(20^2=400\).
    3. Volúmenes y masas se reducen con el cubo de la escala: Los volúmenes (y masas) se dividen entre \(20^3=8\,000\). Masa: \(72:8\,000=0{,}009\) kg \(=9\) g.
    4. Con el doble de densidad, la masa se duplica: Con doble densidad, el doble: 18 g.

20. Solución del ejercicio 20

    1. Los dos triángulos son rectángulos y tienen en común el ángulo agudo del vértice del cateto 6: semejantes por AA.
    2. \(\dfrac{h}{8}=\dfrac{6}{10}\), \(h=4{,}8\) cm.
    3. Con la proporción del cateto 6: \(6^2=10\cdot m\), \(m=3{,}6\) cm; \(n=10-3{,}6=6{,}4\) cm. \(m\cdot n=3{,}6\cdot6{,}4=23{,}04=4{,}8^2\).
    4. Con los catetos: \(\dfrac{6\cdot8}{2}=24\) cm². Con hipotenusa y altura: \(\dfrac{10\cdot4{,}8}{2}=24\) cm².