Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos – matemáticas 2º ESO: soluciones de los ejercicios para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1

   1. De m² a dm² y de dm² a cm² hay dos saltos de 100. \(2{,}5\cdot10\,000=25\,000\) cm² (de m² a cm² se multiplica por \(100^2\)).
   2. Un litro equivale a un decímetro cúbico, y cada dm³ son 1 000 cm³. \(3\text{ L}=3\text{ dm}^3=3\,000\) cm³.
   3. De dm³ a cm³ se multiplica por 1 000, y cada cm³ es un mililitro. \(0{,}4\cdot1\,000=400\) cm³ \(=400\) mL.
   4. Un metro cúbico son 1 000 dm³; para pasar de cm³ a dm³ dividimos entre 1 000. \(1\) m³ \(=1\,000\) dm³ \(=1\,000\) L. \(4\,500\) cm³ \(=4{,}5\) dm³ \(=4{,}5\) L.

   En superficie cada escalón vale 100 y en volumen 1 000.

2. Solución del ejercicio 2

   1. El volumen del ortoedro es largo por ancho por alto. \(V=8\cdot5\cdot3=120\) cm³.
   2. Hay tres parejas de caras iguales y sumamos sus áreas. Caras: \(8\cdot5=40\) (dos), \(8\cdot3=24\) (dos), \(5\cdot3=15\) (dos). Total: \(2(40+24+15)=158\) cm².
   3. Multiplicamos la superficie de cartón por el precio de cada cm². \(158\cdot0{,}004=0{,}632\approx0{,}63\) €.
   4. Dividimos el volumen del cubo entre el de una caja. Volumen del cubo: \(24^3=13\,824\) cm³. \(13\,824:120=115{,}2\): caben 115 cajas completas (la disposición real puede reducirlo).

   Respuesta: la caja tiene 120 cm³ y necesita 158 cm² de cartón.

3. Solución del ejercicio 3

   1. Aplicamos \(A=6a^2\) y \(V=a^3\) con \(a=6\). \(A=6\cdot36=216\) cm² y \(V=6^3=216\) cm³ (coinciden numéricamente, aunque las unidades son distintas).
   2. Buscamos el número que elevado al cubo da 125. \(a=\sqrt[3]{125}=5\) cm.
   3. Igualamos la fórmula del área a 150 y despejamos. \(6a^2=150\), \(a^2=25\), \(a=5\) cm.
   4. Las áreas dependen del cuadrado de la arista y los volúmenes, del cubo. Área: \(2^2=4\) veces; volumen: \(2^3=8\) veces.

   Recuerda: el área se mide en cm² y el volumen en cm³.

4. Solución del ejercicio 4

   1. La base es un triángulo rectángulo: la hipotenusa cumple \(c^2=a^2+b^2\). \(\sqrt{9+16}=5\) cm.
   2. El área de un triángulo es base por altura entre dos; el volumen, área de la base por altura. \(A_b=\dfrac{3\cdot4}{2}=6\) cm². \(V=6\cdot10=60\) cm³.
   3. El área lateral es el perímetro de la base por la altura del prisma. Perímetro de la base: \(3+4+5=12\) cm. \(A_l=12\cdot10=120\) cm².
   4. Al área lateral le sumamos las dos bases. \(A_t=A_l+2A_b=120+12=132\) cm².

   Respuesta: el prisma tiene 60 cm³ de volumen y 132 cm² de área total.

5. Solución del ejercicio 5

   1. Dentro de la pirámide se forma un triángulo rectángulo con la altura y la mitad del lado. La apotema forma un triángulo rectángulo con la altura (4 cm) y la mitad del lado (3 cm): \(\sqrt{16+9}=5\) cm.
   2. Cada cara lateral es un triángulo de base 6 cm y altura la apotema. Cada cara: \(\dfrac{6\cdot5}{2}=15\) cm². Cuatro caras: \(60\) cm².
   3. Sumamos el área lateral y el área de la base cuadrada. \(A_t=60+6^2=96\) cm².
   4. El volumen de una pirámide es un tercio del área de la base por la altura. \(V=\dfrac{1}{3}\cdot36\cdot4=48\) cm³.

   Respuesta: 96 cm² de área total y 48 cm³ de volumen.

6. Solución del ejercicio 6

   1. La base es un círculo de radio 5 cm. \(A_b=\pi r^2=3{,}14\cdot25=78{,}5\) cm².
   2. El volumen del cilindro es el área de la base por la altura. \(V=78{,}5\cdot12=942\) cm³.
   3. El área lateral, al desenrollarla, es un rectángulo de largo \(2\pi r\) y alto \(h\). \(A_l=2\pi rh=2\cdot3{,}14\cdot5\cdot12=376{,}8\) cm².
   4. El área total es el área lateral más las dos bases. \(A_t=376{,}8+2\cdot78{,}5=533{,}8\) cm².

   Respuesta: el cilindro tiene 942 cm³ y 533,8 cm² de superficie total.

7. Solución del ejercicio 7

   1. La altura, el radio y la generatriz forman un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es \(g\). \(g=\sqrt{3^2+4^2}=5\) cm.
   2. El volumen del cono es un tercio del de un cilindro con igual base y altura. \(V=\dfrac{1}{3}\pi r^2h=\dfrac{1}{3}\cdot3{,}14\cdot9\cdot4=37{,}68\) cm³.
   3. El área lateral del cono se calcula con \(\pi r g\). \(A_l=\pi rg=3{,}14\cdot3\cdot5=47{,}1\) cm².
   4. El área total añade el círculo de la base, \(\pi r^2\). \(A_t=47{,}1+3{,}14\cdot9=47{,}1+28{,}26=75{,}36\) cm².

   Respuesta: el cono tiene 37,68 cm³ de volumen y 75,36 cm² de área total.

8. Solución del ejercicio 8

   1. Sustituimos \(r=6\) en \(A=4\pi r^2\). \(A=4\cdot3{,}14\cdot36=452{,}16\) cm².
   2. Sustituimos \(r=6\) en \(V=\dfrac{4}{3}\pi r^3\), con \(6^3=216\). \(V=\dfrac{4}{3}\cdot3{,}14\cdot216=904{,}32\) cm³.
   3. Al multiplicar el radio por \(\dfrac12\), el área queda multiplicada por su cuadrado y el volumen por su cubo. Área: \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}\); volumen: \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^3=\dfrac{1}{8}\).
   4. Despejamos \(r^3\) dividiendo entre \(\dfrac43\cdot3{,}14\) y hacemos la raíz cúbica. \(\dfrac{4}{3}\cdot3{,}14\cdot r^3=113{,}04\), \(r^3=27\), \(r=3\) cm.

   Comprobación del último apartado: \(\dfrac43\cdot3{,}14\cdot27=113{,}04\) cm³.

9. Solución del ejercicio 9

   1. El depósito es un cilindro: \(V=\pi r^2 h\). \(V=3{,}14\cdot1{,}5^2\cdot4=3{,}14\cdot2{,}25\cdot4=28{,}26\) m³.
   2. Cada metro cúbico equivale a 1 000 litros. \(28{,}26\) m³ \(=28\,260\) L.
   3. El 75 % de una cantidad se obtiene multiplicando por 0,75. \(0{,}75\cdot28\,260=21\,195\) L.
   4. Dividimos la capacidad entre el caudal y pasamos los minutos a horas (1 413 = 23 · 60 + 33). \(28\,260:20=1\,413\) min \(=23\) h \(33\) min.

   Respuesta: el depósito tarda 23 h 33 min en llenarse.

10. Solución del ejercicio 10

    1. El volumen del ortoedro es largo por ancho por profundidad; 1 m³ son 1 000 L. \(V=10\cdot4\cdot1{,}8=72\) m³ \(=72\,000\) L.
    2. Se alicatan el fondo y las cuatro paredes, que son dos parejas de rectángulos iguales. Fondo: \(10\cdot4=40\) m². Paredes: \(2(10\cdot1{,}8)+2(4\cdot1{,}8)=36+14{,}4=50{,}4\) m². Total: \(90{,}4\) m².
    3. Multiplicamos la superficie por el precio del metro cuadrado. \(90{,}4\cdot25=2\,260\) €.
    4. El 90 % se calcula multiplicando por 0,9. \(0{,}9\cdot72\,000=64\,800\) L.

    Respuesta: alicatar la piscina cuesta 2 260 €.

11. Solución del ejercicio 11

    1. Las cuatro paredes forman un rectángulo de base el perímetro del suelo y altura 2,5 m. \(2(5+4)\cdot2{,}5=45\) m².
    2. Restamos los huecos de la puerta y de la ventana. \(45-2-1{,}5=41{,}5\) m².
    3. Dividimos la superficie entre lo que cubre un litro y redondeamos hacia arriba al número de botes. \(41{,}5:8\approx5{,}19\) L. Se necesitan 6 L, es decir, 3 botes de 2 L.
    4. Multiplicamos los botes por su precio. \(3\cdot16{,}50=49{,}50\) €.

    Respuesta: se necesitan 3 botes y la pintura cuesta 49,50 €.

12. Solución del ejercicio 12

    1. La lata es un cilindro de radio 3,3 cm y altura 12 cm. \(V=3{,}14\cdot3{,}3^2\cdot12=3{,}14\cdot10{,}89\cdot12\approx410{,}3\) cm³.
    2. Como 1 cm³ = 1 mL, el volumen en cm³ coincide con la capacidad en mL. \(410{,}3\) mL, algo más que los 330 mL de la etiqueta: la lata no se llena del todo (hay una cámara de aire).
    3. La chapa es el área total del cilindro: \(2\pi r^2+2\pi r h=2\pi r(r+h)\). \(A_t=2\pi r(r+h)=2\cdot3{,}14\cdot3{,}3\cdot15{,}3\approx317{,}1\) cm².
    4. Multiplicamos la capacidad de la etiqueta por las 6 latas. \(6\cdot330=1\,980\) mL \(=1{,}98\) L.

13. Solución del ejercicio 13

    1. El volumen del cono es \(\dfrac13\pi r^2h\) con \(r=3\) y \(h=10\). \(V_c=\dfrac{1}{3}\cdot3{,}14\cdot9\cdot10=94{,}2\) cm³.
    2. El volumen de la esfera es \(\dfrac43\pi r^3\) con \(r=3\). \(V_e=\dfrac{4}{3}\cdot3{,}14\cdot27=113{,}04\) cm³.
    3. Comparamos los dos volúmenes. Sí se desborda: \(113{,}04>94{,}2\), la bola ocupa más que el cono.
    4. Sumamos el volumen del cono y el de media esfera. Media bola: \(\dfrac{113{,}04}{2}=56{,}52\) cm³. Total: \(94{,}2+56{,}52=150{,}72\) cm³.

    Respuesta: la bola derretida no cabe en el cucurucho.

14. Solución del ejercicio 14

    1. Una caja sin tapa tiene cinco caras: el fondo y cuatro laterales. Fondo: \(30\times20\). Cuatro laterales: dos de \(30\times15\) y dos de \(20\times15\).
    2. Sumamos las áreas de las cinco caras. \(600+2\cdot450+2\cdot300=600+900+600=2\,100\) cm².
    3. Multiplicamos la superficie por el precio del cm² y después por 1 000. Una caja: \(2\,100\cdot0{,}0004=0{,}84\) €. Mil cajas: \(840\) €.
    4. Calculamos el volumen y usamos que 1 000 cm³ = 1 L. \(30\cdot20\cdot15=9\,000\) cm³ \(=9\) L.

    Respuesta: cada caja necesita 2 100 cm² de cartón y caben 9 litros.

15. Solución del ejercicio 15

    1. El cilindro tiene radio 2 m y altura 8 m: \(V=\pi r^2h\). \(V_c=3{,}14\cdot2^2\cdot8=100{,}48\) m³.
    2. La semiesfera es la mitad de una esfera de radio 2 m. \(V_s=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{4}{3}\cdot3{,}14\cdot2^3=\dfrac{2}{3}\cdot3{,}14\cdot8\approx16{,}75\) m³.
    3. Sumamos los dos volúmenes y multiplicamos por 1 000 para obtener litros. \(V=100{,}48+16{,}75=117{,}23\) m³ \(=117\,230\) L.
    4. Multiplicamos los m³ por la masa de cada m³ y dividimos entre 1 000 para pasar a toneladas. \(117{,}23\cdot750=87\,922{,}5\) kg \(\approx87{,}9\) toneladas.

    Respuesta: el silo admite unas 87,9 toneladas de grano.

16. Solución del ejercicio 16

    1. El volumen del prisma es el área del triángulo de la base por el largo. \(V=\dfrac{2\cdot1{,}5}{2}\cdot3=4{,}5\) m³.
    2. La altura divide la base en dos mitades de 1 m; el lado inclinado es la hipotenusa. Mitad de la base: 1 m. \(l=\sqrt{1+2{,}25}=\sqrt{3{,}25}\approx1{,}80\) m.
    3. La lona cubre dos rectángulos inclinados de 1,80 m por 3 m y los dos triángulos de los extremos. Laterales: \(2\cdot(1{,}80\cdot3)=10{,}82\) m². Triangulares: \(2\cdot\dfrac{2\cdot1{,}5}{2}=3\) m². Total: \(13{,}82\) m².
    4. Multiplicamos la superficie total por el precio del m². \(13{,}82\cdot6\approx82{,}92\) €.

    Respuesta: la lona cuesta unos 82,92 €.

17. Solución del ejercicio 17

    1. El volumen de la pirámide es un tercio del área de la base por la altura. \(V=\dfrac{1}{3}\cdot230^2\cdot138=\dfrac{1}{3}\cdot52\,900\cdot138=2\,433\,400\) m³.
    2. La apotema es la hipotenusa del triángulo formado por la altura y la mitad del lado. Mitad del lado: 115 m. \(a=\sqrt{138^2+115^2}=\sqrt{19\,044+13\,225}=\sqrt{32\,269}\approx179{,}64\) m.
    3. Cada cara lateral es un triángulo de base 230 m y altura la apotema; hay cuatro. \(A_l=4\cdot\dfrac{230\cdot179{,}64}{2}=82\,634{,}4\) m² aprox.
    4. En una semejanza de razón \(k\), los volúmenes se multiplican por \(k^3\). Razón \(1:100\): volumen \(\dfrac{1}{100^3}\) del real: \(\dfrac{2\,433\,400}{1\,000\,000}=2{,}4334\) m³.

18. Solución del ejercicio 18

    1. Usamos \(V=a^3\) para el cubo y \(V=\pi r^2h\) para el cilindro. Cubo: \(10^3=1\,000\) cm³. Cilindro: \(3{,}14\cdot25\cdot12=942\) cm³.
    2. Cubo: seis caras cuadradas; cilindro: \(2\pi r(r+h)\). Cubo: \(6\cdot100=600\) cm². Cilindro: \(2\cdot3{,}14\cdot5\cdot17=533{,}8\) cm².
    3. Comparamos volúmenes y áreas. El cubo tiene más capacidad (\(1\,000>942\)); el cilindro gasta menos material (\(533{,}8<600\)).
    4. Dividimos el área entre el volumen de cada envase. Cubo: \(\dfrac{600}{1\,000}=0{,}6\). Cilindro: \(\dfrac{533{,}8}{942}\approx0{,}567\). El cilindro es algo más eficiente por cm³.

19. Solución del ejercicio 19

    1. Calculamos el volumen del ortoedro y lo pasamos a litros (1 000 cm³ = 1 L). \(60\cdot30\cdot40=72\,000\) cm³ \(=72\) L.
    2. El 80 % de 72 L se obtiene multiplicando por 0,8; en altura, el 80 % de 40 cm son 32 cm. \(0{,}8\cdot72=57{,}6\) L (el agua llega a 32 cm).
    3. El agua desplazada forma un ortoedro con la misma base que la pecera; su altura es volumen entre base. Superficie del fondo: \(60\cdot30=1\,800\) cm². \(3{,}2\) L \(=3\,200\) cm³. Sube \(\dfrac{3\,200}{1\,800}\approx1{,}78\) cm.
    4. Sumamos la subida al nivel inicial y comparamos con 40 cm. El nivel final es \(32+1{,}78=33{,}78\) cm, menor que 40 cm: no se desborda.

20. Solución del ejercicio 20

    1. El cilindro que contiene la esfera tiene radio 3 cm y altura igual al diámetro, 6 cm. \(V_c=3{,}14\cdot9\cdot6=169{,}56\) cm³.
    2. Aplicamos \(V=\dfrac43\pi r^3\). \(V_e=\dfrac{4}{3}\cdot3{,}14\cdot27=113{,}04\) cm³.
    3. Dividimos los dos volúmenes. \(\dfrac{113{,}04}{169{,}56}=\dfrac{2}{3}\) (la esfera ocupa los dos tercios del cilindro, el descubrimiento de Arquímedes).
    4. En \(V=\pi r^2h\), el radio aparece al cuadrado. El volumen depende de \(r^2\): se multiplica por \(2^2=4\).