Semejanza y teorema de Tales – matemáticas 2º ESO: soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   1. Los lados homólogos están en proporción 10/4 = 15/6 = 2,5, y los ángulos son rectos en ambos (1 punto).
   2. Perímetros: 2 · (4 + 6) = 20 cm y 2 · (10 + 15) = 50 cm; su cociente vuelve a ser 2,5 (1 punto).
   3. Áreas: 24 cm² y 150 cm²; 150 : 24 = 6,25, el cuadrado de 2,5 (1 punto).
   4. En el rectángulo de 8 × 14 las razones con el de 4 × 6 son 2 y 2,33…, distintas: no es semejante (1 punto).

2. Solución del ejercicio 2 (4 puntos)

   1. Como DE es paralela a BC, el teorema de Tales da AD/DB = AE/EC: 4/6 = 6/EC, y EC = 9 cm (1 punto).
   2. Sumando trozos, AB = 4 + 6 = 10 cm y AC = 6 + 9 = 15 cm (1 punto).
   3. El triángulo ADE es una reducción de ABC de razón AD/AB = 0,4; por tanto BC = DE : 0,4 = 12,5 cm (1 punto).
   4. Las áreas están en razón 0,4² = 0,16: el triángulo pequeño ocupa el 16 % del grande (1 punto).

3. Solución del ejercicio 3 (3 puntos)

   1. A la misma hora los rayos del sol llegan paralelos y tanto la niña como el árbol son verticales; los dos triángulos comparten un ángulo recto y el ángulo de los rayos, así que son semejantes por el criterio AA (1 punto).
   2. Altura y sombra son proporcionales: h/6 = 1,5/1,2, de donde h = 6 · 1,25 = 7,5 m (1 punto).
   3. Para el edificio de 30 m, s = 30 : 1,25 = 24 m de sombra (1 punto).

4. Solución del ejercicio 4 (4 puntos)

   1. La ampliación de razón 3 convierte la arista de 2 cm en 6 cm (1 punto).
   2. Superficies: el cubo original tiene 6 · 4 = 24 cm² y el ampliado 6 · 36 = 216 cm² (1 punto).
   3. Volúmenes: 2³ = 8 cm³ y 6³ = 216 cm³ (1 punto).
   4. 216 : 24 = 9 = 3² y 216 : 8 = 27 = 3³: el área se multiplica por el cuadrado de la razón y el volumen por su cubo (1 punto).

5. Solución del ejercicio 5 (5 puntos)

   1. Cada centímetro de la maqueta son 150 cm reales: 40 · 150 = 6 000 cm, es decir, 60 m de altura (1,5 puntos).
   2. La planta de 20 × 12 cm corresponde a 3 000 × 1 800 cm: 30 m por 18 m (1 punto).
   3. En la maqueta la planta ocupa 240 cm² y en la realidad 30 · 18 = 540 m² (1,5 puntos).
   4. Las superficies se multiplican por 150² = 22 500: 240 · 22 500 = 5 400 000 cm², que son los mismos 540 m² (1 punto).

Total : 20 puntos