Teorema de Pitágoras – matemáticas 2º ESO: soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   1. Hipotenusa de catetos 6 y 8: 36 + 64 = 100 y su raíz es 10 cm (1 punto).
   2. Cateto que falta: 13² − 5² = 169 − 25 = 144, luego 12 cm (1 punto).
   3. Con catetos 3 y 5: 9 + 25 = 34 y \(\sqrt{34}\approx\) 5,83 cm, que es mayor que 5, como debe ser (1 punto).
   4. El lado mayor al cuadrado, 225, coincide con 81 + 144: por el recíproco del teorema el triángulo sí es rectángulo (1 punto).

2. Solución del ejercicio 2 (4 puntos)

   1. La diagonal del rectángulo de 12 × 5 cumple d² = 144 + 25 = 169: 13 cm (1 punto).
   2. En el cuadrado de 8 cm, d² = 64 + 64 = 128 y d ≈ 11,31 cm, que es 8 · √2 (1 punto).
   3. Si la diagonal mide 10, el lado cumple 2l² = 100, l² = 50 y l ≈ 7,07 cm (1 punto).
   4. El lado desconocido es \(\sqrt{289-64}=15\) cm y el área 8 · 15 = 120 cm² (1 punto).

3. Solución del ejercicio 3 (3 puntos)

   1. Con lados 7, 8 y 11: 49 + 64 = 113 es menor que 121; el ángulo opuesto al lado mayor supera los 90°: obtusángulo (1 punto).
   2. Con lados 20, 21 y 29: 400 + 441 = 841 = 29², la igualdad de Pitágoras se cumple: rectángulo (1 punto).
   3. Con lados 5, 6 y 7: 25 + 36 = 61 es mayor que 49; todos los ángulos son agudos: acutángulo. En cada caso se compara el cuadrado del lado mayor con la suma de los otros dos (1 punto).

4. Solución del ejercicio 4 (4 puntos)

   1. La altura parte la base de 12 cm en dos tramos de 6 cm y forma un triángulo rectángulo con el lado de 10 cm: h² = 100 − 36 = 64, h = 8 cm (1 punto).
   2. Área del isósceles: 12 · 8 : 2 = 48 cm² (1 punto).
   3. Perímetro: 10 + 10 + 12 = 32 cm (1 punto).
   4. En el equilátero de 10 cm la altura cae en el punto medio de un lado: h² = 100 − 25 = 75 y h ≈ 8,66 cm (1 punto).

5. Solución del ejercicio 5 (5 puntos)

   1. La escalera de 6,5 m es la hipotenusa y la distancia de 2,5 m un cateto: h² = 42,25 − 6,25 = 36, h = 6 m (1,25 puntos).
   2. Con el pie a 1,5 m: h² = 42,25 − 2,25 = 40 y h ≈ 6,32 m; al acercar el pie, la escalera sube (1,25 puntos).
   3. La pendiente es 6 : 2,5 = 2,4: por cada metro horizontal se suben 2,4 m (1,25 puntos).
   4. Para llegar a 6,2 m, d² = 42,25 − 38,44 = 3,81 y d ≈ 1,95 m de la pared (1,25 puntos).

Total : 20 puntos