Estadística – matemáticas 2º ESO: soluciones de los ejercicios para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1

   1. Cualitativa; por ejemplo, «castaño».
   2. Cuantitativa discreta (solo toma valores enteros); por ejemplo, 2.
   3. Cuantitativa continua (puede tomar cualquier valor de un intervalo); por ejemplo, 163,5 cm.
   4. Cuantitativa continua; por ejemplo, 7,35.
   5. Cualitativa; por ejemplo, «autobús».
   6. Cuantitativa discreta; por ejemplo, 3.

2. Solución del ejercicio 2

   1. Recuento: 0 hermanos: 3; 1: 8; 2: 6; 3: 2; 4: 1. Acumuladas: 3, 11, 17, 19, 20. La última coincide con el total (20).
   2. \(h_i=\dfrac{f_i}{20}\): \(0{,}15;\ 0{,}40;\ 0{,}30;\ 0{,}10;\ 0{,}05\). Porcentajes: 15 %, 40 %, 30 %, 10 %, 5 %.
   3. Al menos 2 hermanos: \(6+2+1=9\) alumnos, es decir, \(\dfrac{9}{20}=45\,\%\).
   4. La moda es 1 hermano, el valor con mayor frecuencia (8).

3. Solución del ejercicio 3

   1. Suma: \(5+7+6+9+4+7+8+7+10+3=66\). Media: \(66:10=6{,}6\).
   2. El 7 aparece 3 veces, más que ningún otro: moda \(=7\).
   3. Ordenados: 3, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9, 10. Hay 10 datos, la mediana es la media de los datos 5.º y 6.º: \(\dfrac{7+7}{2}=7\).
   4. Rango \(=10-3=7\). Mide la distancia entre el dato mayor y el menor.

4. Solución del ejercicio 4

   1. Suma ponderada: \(0\cdot3+1\cdot8+2\cdot6+3\cdot2+4\cdot1=0+8+12+6+4=30\). Media: \(30:20=1{,}5\).
   2. Con 20 datos, la mediana es la media de los datos 10.º y 11.º. Las frecuencias acumuladas son 3 y 11: ambos datos valen 1. Mediana \(=1\).
   3. Nueva suma: \(30+5=35\) y 21 alumnos: \(35:21\approx1{,}67\).

5. Solución del ejercicio 5

   1. Con 5 datos (impar), la mediana es el que ocupa el lugar 3.º; la media es la suma entre 5. Ordenados: 7, 9, 11, 12, 15. Mediana (dato central): 11. Media: \(\dfrac{54}{5}=10{,}8\).
   2. Con 6 datos (par), la mediana es la media de los dos centrales, 3.º y 4.º. Ordenados: 3, 5, 6, 8, 10, 12. Mediana: \(\dfrac{6+8}{2}=7\). Media: \(\dfrac{44}{6}\approx7{,}33\).

   Observa que en los dos casos media y mediana son parecidas porque no hay valores extremos.

6. Solución del ejercicio 6

   1. Sumamos las cinco edades y dividimos entre 5. Media: \(\dfrac{3+5+7+9+11}{5}=\dfrac{35}{5}=7\).
   2. Restamos la media a cada dato y elevamos al cuadrado. Desviaciones: \(-4,\ -2,\ 0,\ 2,\ 4\). Cuadrados: \(16,\ 4,\ 0,\ 4,\ 16\).
   3. La varianza es la media de los cuadrados de las desviaciones. Varianza: \(\dfrac{16+4+0+4+16}{5}=\dfrac{40}{5}=8\).
   4. La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza. Desviación típica: \(\sqrt{8}\approx2{,}83\).

   Los datos se separan de la media unos 2,83 años por término medio.

7. Solución del ejercicio 7

   1. Fresa: \(\dfrac{18}{90}=20\,\%\). Chocolate: \(\dfrac{30}{90}=33{,}3\,\%\). Vainilla: \(\dfrac{24}{90}=26{,}7\,\%\). Limón: \(\dfrac{12}{90}=13{,}3\,\%\). Otros: \(\dfrac{6}{90}=6{,}7\,\%\).
   2. Moda: chocolate (30 helados). Vende menos «otros» (6).
   3. Proporción: 12 es el 40 % de 30, luego la barra de limón mide \(0{,}4\cdot15=6\) cm.
   4. Ángulo \(=360^\circ\cdot\dfrac{f_i}{90}\): fresa \(72^\circ\), chocolate \(120^\circ\), vainilla \(96^\circ\), limón \(48^\circ\), otros \(24^\circ\). Suman \(360^\circ\).

8. Solución del ejercicio 8

   1. Autobús: \(\dfrac{45}{120}=37{,}5\,\%\). Andando: \(\dfrac{30}{120}=25\,\%\). Bicicleta: \(\dfrac{25}{120}=20{,}8\,\%\). Coche: \(\dfrac{20}{120}=16{,}7\,\%\).
   2. Autobús: \(135^\circ\). Andando: \(90^\circ\). Bicicleta: \(75^\circ\). Coche: \(60^\circ\). Suman \(360^\circ\).
   3. Andando y bicicleta: \(30+25=55\) alumnos, \(\dfrac{55}{120}=\dfrac{11}{24}\).
   4. El 20 % de 20 es 4. Irán en bicicleta \(25+4=29\) alumnos.

9. Solución del ejercicio 9

   1. Marca de clase: punto medio. \(152{,}5\); \(157{,}5\); \(162{,}5\); \(167{,}5\).
   2. Suma: \(152{,}5\cdot4+157{,}5\cdot9+162{,}5\cdot12+167{,}5\cdot5=610+1\,417{,}5+1\,950+837{,}5=4\,815\). Media: \(4\,815:30=160{,}5\) cm.
   3. El intervalo modal es el de mayor frecuencia: [160, 165) con 12 alumnos.
   4. Hay 30 datos, la mediana está entre el dato 15.º y el 16.º. Acumuladas: 4, 13, 25, 30. El dato 15.º está en [160, 165): la mediana está en ese intervalo.

10. Solución del ejercicio 10

    1. Suma: \(5+7+11+13+17+22+26+25+21+15+9+6=177\). Media: \(177:12=14{,}75\) °C.
    2. Ordenados: 5, 6, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 21, 22, 25, 26. Mediana: \(\dfrac{13+15}{2}=14\) °C.
    3. Rango: \(26-5=21\) °C.
    4. Superan 14,75 °C: 17, 22, 26, 25, 21 y 15, es decir, 6 meses.

11. Solución del ejercicio 11

    1. Clase A: \(\dfrac{30}{5}=6\). Clase B: \(\dfrac{30}{5}=6\).
    2. Clase A: desviaciones \(-2,-1,0,1,2\); cuadrados \(4,1,0,1,4\); varianza \(\dfrac{10}{5}=2\); desviación típica \(\sqrt2\approx1{,}41\). Clase B: desviaciones \(-4,-2,0,2,4\); cuadrados \(16,4,0,4,16\); varianza \(\dfrac{40}{5}=8\); desviación típica \(\sqrt8\approx2{,}83\).
    3. En la clase A, porque su desviación típica es menor.
    4. No: la media es igual, pero la clase B tiene notas mucho más dispersas. La media sola no describe un conjunto de datos.

12. Solución del ejercicio 12

    1. Suma \(=145\); media \(=14{,}5\). Moda \(=15\) (aparece 3 veces). Ordenados: 9, 11, 12, 14, 15, 15, 15, 16, 18, 20; mediana \(=\dfrac{15+15}{2}=15\).
    2. Rango \(=20-9=11\) puntos.
    3. Para media 15 con 11 partidos hace falta suma \(15\cdot11=165\), es decir, \(165-145=20\) puntos.
    4. Con 30 puntos la suma es 175 y la media \(175:11\approx15{,}9\). La mediana, con 11 datos, es el 6.º dato ordenado: 15. La mediana no cambia, la media sube.

13. Solución del ejercicio 13

    1. \(h_i=\dfrac{f_i}{40}\): fútbol \(0{,}40\) (40 %), baloncesto \(0{,}25\) (25 %), natación \(0{,}15\) (15 %), tenis \(0{,}10\) (10 %), otros \(0{,}10\) (10 %).
    2. Fútbol \(144^\circ\), baloncesto \(90^\circ\), natación \(54^\circ\), tenis \(36^\circ\), otros \(36^\circ\) (suman \(360^\circ\)).
    3. \(16+10+4=30\) alumnos: \(\dfrac{30}{40}=\dfrac{3}{4}\).
    4. Sí, es la moda (16 alumnos), pero \(40\,\%<50\,\%\), así que no supera la mitad.

14. Solución del ejercicio 14

    1. Marcas: 5, 15, 25 y 35. Acumuladas: 8, 22, 28, 30.
    2. Suma: \(5\cdot8+15\cdot14+25\cdot6+35\cdot2=40+210+150+70=470\). Media: \(470:30\approx15{,}67\) min.
    3. Intervalo modal: [10, 20). Mediana: entre el dato 15.º y el 16.º; como la acumulada llega a 22 en [10, 20), está en ese intervalo.
    4. Menos de 20 minutos: \(8+14=22\) alumnos, \(\dfrac{22}{30}\approx73{,}3\,\%\).

15. Solución del ejercicio 15

    1. Total: \(120+95+110+130+210+280+255=1\,200\). Media: \(1\,200:7\approx171{,}43\) entradas al día.
    2. Ordenados: 95, 110, 120, 130, 210, 255, 280. Mediana: 130. La media es mayor que la mediana porque los días de fin de semana tienen ventas muy altas.
    3. Viernes a domingo: \(210+280+255=745\) entradas, \(\dfrac{745}{1\,200}\approx62{,}1\,\%\).
    4. Ingresos: \(1\,200\cdot7=8\,400\) €. Ingresos medios: \(8\,400:7=1\,200\) € al día.

16. Solución del ejercicio 16

    1. Acumuladas: 2, 6, 13, 19, 23, 25. Relativas: \(0{,}08;\ 0{,}16;\ 0{,}28;\ 0{,}24;\ 0{,}16;\ 0{,}08\).
    2. Suma: \(0\cdot2+1\cdot4+2\cdot7+3\cdot6+4\cdot4+5\cdot2=0+4+14+18+16+10=62\). Media: \(62:25=2{,}48\) libros.
    3. Moda: 2 libros (7 alumnos). Con 25 datos, la mediana es el 13.º: la acumulada llega a 13 en el valor 2, luego mediana \(=2\).
    4. Al menos 3 libros: \(6+4+2=12\) alumnos, \(\dfrac{12}{25}=48\,\%\).
    5. Para media 3 hace falta suma \(3\cdot25=75\). Faltan \(75-62=13\) libros.

17. Solución del ejercicio 17

    1. Media: \(\dfrac{1\,200+1\,300+1\,250+1\,400+6\,000}{5}=\dfrac{11\,150}{5}=2\,230\) €. Ordenados: 1 200, 1 250, 1 300, 1 400, 6 000; mediana: 1 300 €.
    2. La mediana (1 300 €), porque la media está muy influida por el dato extremo de 6 000 €, que es un dato atípico.
    3. Sin el director: \(\dfrac{5\,150}{4}=1\,287{,}5\) €.
    4. Nueva media: \(\dfrac{8\,150}{5}=1\,630\) €. La mediana sigue siendo 1 300 €: no cambia.

18. Solución del ejercicio 18

    1. \(\dfrac{6+7+5+x}{4}=7\).
    2. \(18+x=28\), luego \(x=10\). Es posible, pero necesita un 10.
    3. Con 8: \(\dfrac{26}{4}=6{,}5\). Para media 7 con 5 exámenes necesita suma 35: \(35-26=9\) en el quinto.
    4. Media \(=6{,}5\). Desviaciones: \(-0{,}5;\ 0{,}5;\ -1{,}5;\ 1{,}5\). Cuadrados: \(0{,}25;\ 0{,}25;\ 2{,}25;\ 2{,}25\). Varianza \(=\dfrac{5}{4}=1{,}25\). Desviación típica \(=\sqrt{1{,}25}\approx1{,}12\).

19. Solución del ejercicio 19

    1. Total: \(1\,490\) l/m². Media: \(1\,490:12\approx124{,}17\) l/m².
    2. Ordenados: 40, 45, 60, 80, 100, 110, 130, 150, 170, 190, 200, 215. Mediana: \(\dfrac{110+130}{2}=120\).
    3. Rango: \(215-40=175\). Mes más seco: julio (40). Más lluvioso: diciembre (215).
    4. Superan 124,17: 190, 150, 130, 170, 200 y 215, es decir, 6 meses. De octubre a diciembre: \(170+200+215=585\) l/m², \(\dfrac{585}{1\,490}\approx39{,}3\,\%\).

20. Solución del ejercicio 20

    1. Sumas: \(10\cdot6=60\) y \(15\cdot7=105\). Media conjunta: \(\dfrac{165}{25}=6{,}6\).
    2. Por ejemplo, 5, 7, 7, 10 y 11: suma 40 (media 8), mediana 7, moda 7 y rango \(11-5=6\).
    3. Con 2, 4, 6: media 4 y desviación típica \(\sqrt{8/3}\approx1{,}63\). Con 7, 9, 11: media 9 y la misma desviación típica. La media aumenta 5 y la desviación típica no cambia.
    4. No: es la raíz cuadrada de la varianza, que es una suma de cuadrados dividida entre \(n\), siempre mayor o igual que 0.