Estadística – matemáticas 3º ESO: soluciones de los ejercicios para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1

   1. Color de ojos: cualitativa. Número de hermanos: cuantitativa discreta (toma valores enteros). Estatura: cuantitativa continua. Tiempo de estudio: cuantitativa continua.
   2. Población: los 800 alumnos del instituto. Muestra: los 120 alumnos elegidos. Tamaño de la población \(N=800\) y de la muestra \(n=120\).
   3. No: los jugadores de baloncesto son más altos y más deportistas que la media. Una muestra es representativa cuando se elige al azar y refleja a toda la población.

2. Solución del ejercicio 2

   1. Frecuencias \(f_i\): 0 hermanos 3; 1 hermano 8; 2 hermanos 6; 3 hermanos 2; 4 hermanos 1 (suman 20). Relativas \(h_i\): 0,15; 0,40; 0,30; 0,10; 0,05. Acumuladas \(F_i\): 3, 11, 17, 19, 20.
   2. Media \(=\dfrac{0\cdot3+1\cdot8+2\cdot6+3\cdot2+4\cdot1}{20}=\dfrac{30}{20}=1{,}5\). Moda: 1 (es el valor con mayor frecuencia, 8). Mediana: con \(n=20\) se promedian los lugares 10 y 11; ambos valen 1, luego la mediana es 1.
   3. \(\dfrac{6+2+1}{20}=\dfrac{9}{20}=0{,}45\), es decir, el 45 %.

3. Solución del ejercicio 3

   1. Ordenados: 4, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9, 10. Suma \(=69\). Media \(=\dfrac{69}{10}=6{,}9\).
   2. Moda: 7 (aparece tres veces). Mediana: \(n=10\), se promedian el 5.º y el 6.º dato: \(\dfrac{7+7}{2}=7\).
   3. Recorrido \(=10-4=6\).
   4. La suma pasa a \(69-4+9=74\) y la media a \(\dfrac{74}{10}=7{,}4\).

4. Solución del ejercicio 4

   1. \(f_i\): 3, 6, 6, 4, 1. \(F_i\): 3, 9, 15, 19, 20. \(x_if_i\): 0, 6, 12, 12, 4 (suma 34).
   2. Media \(=\dfrac{34}{20}=1{,}7\) goles por partido.
   3. Las modas son 1 y 2 (ambas con frecuencia 6): es bimodal. Mediana: el lugar 10 y el 11 caen en el valor 2 (porque \(F_2=15\geq11\) y \(F_1=9<10\)), así que es 2.
   4. \(\dfrac{4+1}{20}=\dfrac{5}{20}=25\ \%\).

5. Solución del ejercicio 5

   1. Marcas de clase: 152,5; 157,5; 162,5; 167,5 y 172,5 (punto medio de cada intervalo).
   2. Media \(\approx\dfrac{152{,}5\cdot4+157{,}5\cdot9+162{,}5\cdot10+167{,}5\cdot5+172{,}5\cdot2}{30}=\dfrac{4\,835}{30}\approx161{,}17\) cm.
   3. Intervalo modal: \([160,165)\) (frecuencia 10). Frecuencias acumuladas: 4, 13, 23, 28, 30. Los lugares 15 y 16 están en \([160,165)\), que es el intervalo de la mediana.

6. Solución del ejercicio 6

   1. \(n=12\): se promedian los lugares 6 y 7, \(Q_2=\dfrac{9+10}{2}=9{,}5\).
   2. Mitad inferior (3, 5, 6, 7, 8, 9): \(Q_1=\dfrac{6+7}{2}=6{,}5\). Mitad superior (10, 11, 12, 14, 15, 18): \(Q_3=\dfrac{12+14}{2}=13\).
   3. Rango intercuartílico: \(13-6{,}5=6{,}5\). Recorrido: \(18-3=15\).
   4. Entre \(Q_1\) y \(Q_3\) está el 50 % de los datos centrales.

7. Solución del ejercicio 7

   1. Máquina A: \(\dfrac{40}{5}=8\). Máquina B: \(\dfrac{40}{5}=8\). Las dos medias son iguales.
   2. Desviaciones al cuadrado: \(16,\ 4,\ 0,\ 4,\ 16\). Varianza \(=\dfrac{40}{5}=8\) y \(\sigma=\sqrt{8}\approx2{,}83\).
   3. Desviaciones al cuadrado: \(36,\ 36,\ 0,\ 36,\ 36\). Varianza \(=\dfrac{144}{5}=28{,}8\) y \(\sigma=\sqrt{28{,}8}\approx5{,}37\).
   4. La máquina A, porque su desviación típica es menor: los datos están más cerca de la media.

8. Solución del ejercicio 8

   1. Fútbol 16 (40 %), baloncesto 10 (25 %), natación 8 (20 %), tenis 4 (10 %) y otros 2 (5 %). Total: 40 alumnos y 100 %.
   2. Ángulo \(=360^\circ\cdot h_i\): fútbol \(144^\circ\), baloncesto \(90^\circ\), natación \(72^\circ\), tenis \(36^\circ\) y otros \(18^\circ\). Suman \(360^\circ\).
   3. La moda es el fútbol. No se puede calcular la media porque la variable es cualitativa.

9. Solución del ejercicio 9

   1. Suma \(=6+7{,}5+5{,}5+8=27\). Media \(=\dfrac{27}{4}=6{,}75\). Respuesta: la media actual de Lucía es 6,75.
   2. Para media 7 con 5 exámenes la suma debe ser \(5\cdot7=35\). Necesita \(35-27=8\). Comprobación: \(\dfrac{27+8}{5}=7\). Respuesta: necesita sacar un 8.
   3. Ordenadas: 5,5; 6; 7,5; 8. Mediana \(=\dfrac{6+7{,}5}{2}=6{,}75\). Con un número par de datos, la mediana es la media de los dos centrales.
   4. Suma \(=37\) y media \(=\dfrac{37}{5}=7{,}4\). Respuesta: su media final sería 7,4, por encima del 7 que buscaba.

10. Solución del ejercicio 10

    1. Sevilla: \(\dfrac{303}{12}=25{,}25\) °C. Santander: \(\dfrac{214}{12}\approx17{,}83\) °C.
    2. Sevilla ordenada: 16, 17, 18, 20, 21, 23, 26, 27, 31, 32, 36, 36; mediana \(=\dfrac{23+26}{2}=24{,}5\); recorrido \(36-16=20\). Santander ordenada: 13, 13, 13, 15, 15, 16, 19, 19, 21, 22, 24, 24; mediana \(=\dfrac{16+19}{2}=17{,}5\); recorrido \(24-13=11\).
    3. En Sevilla: su recorrido (20 °C) es mayor que el de Santander (11 °C).
    4. En Sevilla \(\sigma\approx6,9\) °C, mayor que en Santander: confirma que las temperaturas de Sevilla varían más.

11. Solución del ejercicio 11

    1. Suma \(=20{,}5\); media \(=\dfrac{20{,}5}{8}\approx2{,}56\) €. Ordenados: 1,90; 2,00; 2,10; 2,20; 2,40; 2,40; 2,50; 5,00; mediana \(=\dfrac{2{,}20+2{,}40}{2}=2{,}30\) €.
    2. Moda: 2,40 € (dos veces). Recorrido: \(5{,}00-1{,}90=3{,}10\) €.
    3. Suma \(=15{,}5\) con 7 datos: media \(=\dfrac{15{,}5}{7}\approx2{,}21\) €. Mediana: 4.º dato \(=2{,}20\) €.
    4. La media baja de 2,56 a 2,21 €, mientras que la mediana solo pasa de 2,30 a 2,20 €. La mediana es menos sensible a los valores extremos y representa mejor el precio habitual.

12. Solución del ejercicio 12

    1. Ordenados: 66, 68, 70, 72, 72, 72, 74, 75, 77, 79, 80, 81, 85, 88, 90. Con \(n=15\) la mediana es el 8.º dato: 75.
    2. Suma \(=1\,149\); media \(=\dfrac{1\,149}{15}=76{,}6\). Moda: 72 (tres veces).
    3. Mitad inferior (66, 68, 70, 72, 72, 72, 74): \(Q_1=72\). Mitad superior (77, 79, 80, 81, 85, 88, 90): \(Q_3=81\).
    4. Por encima de 76,6: 77, 79, 80, 81, 85, 88 y 90, es decir, en 7 partidos.

13. Solución del ejercicio 13

    1. Marcas: 12,5; 13,5; 14,5; 15,5; 16,5. Acumuladas: 3, 11, 21, 27, 30.
    2. Media \(\approx\dfrac{12{,}5\cdot3+13{,}5\cdot8+14{,}5\cdot10+15{,}5\cdot6+16{,}5\cdot3}{30}=\dfrac{433}{30}\approx14{,}43\) s.
    3. El intervalo modal es \([14,15)\), con 10 corredores.
    4. Menos de 14 s: \(3+8=11\) corredores de 30, es decir, \(\dfrac{11}{30}\approx36{,}7\ \%\).

14. Solución del ejercicio 14

    1. \(h_i\): 0,08; 0,24; 0,36; 0,20; 0,08; 0,04. \(F_i\): 2, 8, 17, 22, 24, 25.
    2. Media \(=\dfrac{2+12+27+20+10+6}{25}=\dfrac{77}{25}=3{,}08\) h. Moda: 3 h. Mediana: el dato 13 está en el valor 3 (porque \(F=8<13\leq17\)): 3 h.
    3. \(\dfrac{5+2+1}{25}=\dfrac{8}{25}=32\ \%\).
    4. No: solo el 32 % usa el móvil más de 3 horas. La mayoría (68 %) lo usa 3 horas o menos.

15. Solución del ejercicio 15

    1. Clase A: \(\dfrac{70}{10}=7\). Clase B: \(\dfrac{70}{10}=7\).
    2. A: mediana 7, moda 7, recorrido \(9-5=4\). B: mediana \(\dfrac{7+7}{2}=7\), moda 7, recorrido \(11-3=8\).
    3. A: desviaciones al cuadrado \(4,\ 1,\ 1,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 1,\ 1,\ 4\), suma 12, varianza \(1{,}2\) y \(\sigma\approx1{,}10\). B: desviaciones al cuadrado \(16,\ 9,\ 4,\ 1,\ 0,\ 0,\ 1,\ 4,\ 9,\ 16\), suma 60, varianza 6 y \(\sigma\approx2{,}45\).
    4. A: \(\dfrac{1{,}10}{7}\approx0{,}157\) (15,7 %). B: \(\dfrac{2{,}45}{7}=0{,}350\) (35 %). La clase A es más homogénea porque sus notas están más agrupadas alrededor de la media.

16. Solución del ejercicio 16

    1. Marcas: 15, 25, 35, 45, 55. Acumuladas: 12, 42, 70, 90, 100. \(h_i\): 0,12; 0,30; 0,28; 0,20; 0,10.
    2. Media \(=\dfrac{15\cdot12+25\cdot30+35\cdot28+45\cdot20+55\cdot10}{100}=\dfrac{3\,360}{100}=33{,}6\) años.
    3. Intervalo modal: \([20,30)\) (frecuencia 30). Mediana: lugares 50 y 51; como \(F=42<50\leq70\), está en \([30,40)\).
    4. Varianza \(\approx\dfrac{12\cdot18{,}6^2+30\cdot8{,}6^2+28\cdot1{,}4^2+20\cdot11{,}4^2+10\cdot21{,}4^2}{100}\approx136{,}0\), y \(\sigma\approx11{,}7\) años. La mayoría tiene entre \(33{,}6-11{,}7\approx21{,}9\) y \(33{,}6+11{,}7\approx45{,}3\) años.

17. Solución del ejercicio 17

    1. Suma \(=15\,300\); media \(=\dfrac{15\,300}{8}=1\,912{,}50\) €. Mediana: \(\dfrac{1\,300+1\,350}{2}=1\,325\) €. Moda: 1 300 €.
    2. Sí: siete de los ocho empleados cobran como máximo 1 500 €, bastante menos que la media. La media está muy elevada por un solo dato extremo.
    3. Suma \(=9\,300\) con 7 datos: media \(=\dfrac{9\,300}{7}\approx1\,328{,}57\) €, casi igual que la mediana.
    4. La mediana (1 325 €) o la moda (1 300 €), porque no se ven afectadas por el valor extremo. La media sí.

18. Solución del ejercicio 18

    1. \(f_i\): 2, 3, 6, 7, 6, 4, 2. \(F_i\): 2, 5, 11, 18, 24, 28, 30.
    2. Media \(=\dfrac{6+12+30+42+42+32+18}{30}=\dfrac{182}{30}\approx6{,}07\). Moda: 6. Mediana: los lugares 15 y 16 están en el valor 6 (porque \(F=11<15\) y \(18\geq16\)), así que la mediana es 6.
    3. Aprueban \(30-5=25\) alumnos: \(\dfrac{25}{30}\approx83{,}3\ \%\).
    4. Varianza \(=\dfrac{\sum f_i(x_i-\bar{x})^2}{30}\approx2{,}53\) y \(\sigma\approx1{,}59\). Es una dispersión moderada: la mayoría de las notas están entre \(6{,}07-1{,}59=4{,}5\) y \(6{,}07+1{,}59=7{,}7\).

19. Solución del ejercicio 19

    1. Población: los 600 vecinos. Muestra: los 60 vecinos encuestados. Variable: usar o no la bicicleta (cualitativa).
    2. \(\dfrac{21}{60}=0{,}35\), el 35 %.
    3. Si la muestra es representativa: \(0{,}35\cdot600=210\) vecinos.
    4. No sería fiable, porque esa muestra tendría un sesgo: sus miembros usan más la bicicleta. Hay que elegir la muestra al azar, entre todos los vecinos, y que sea suficientemente grande.

20. Solución del ejercicio 20

    1. Sean \(a\le b\le c\le d\le e\). Mediana \(c=7\); moda 5, luego \(a=b=5\). Suma \(=40\), así que \(d+e=40-5-5-7=23\). Recorrido \(e-a=9\), luego \(e=14\) y \(d=9\). Datos: 5, 5, 7, 9, 14.
    2. Suma \(=60\) con 6 datos: media \(=10\). Mediana: \(\dfrac{7+9}{2}=8\).
    3. Suma de los primeros: \(10\cdot6=60\); de los segundos: \(15\cdot8=120\). Media conjunta \(=\dfrac{180}{25}=7{,}2\).
    4. No puede ser negativa, porque es una raíz cuadrada de una suma de cuadrados. Vale 0 si todos los datos son iguales.