Ecuaciones de primer grado – matemáticas 1º ESO: soluciones de los ejercicios para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1

   1. Sustituimos x = 5 en el primer miembro: 3 · 5 + 5 = 15 + 5 = 20, que coincide con el segundo miembro. Sí es solución.
   2. Primer miembro: 2 · 10 − 7 = 13. Segundo miembro: 10 + 3 = 13. Los dos valen 13, luego x = 10 sí es solución.
   3. Primer miembro: 4 · (4 − 2) = 4 · 2 = 8, pero el segundo es 12, y 8 ≠ 12. No es solución. Resolviendo, x − 2 = 3 y la solución es x = 5.
   4. Primer miembro: 12 : 3 + 1 = 4 + 1 = 5, igual al segundo miembro. Sí es solución.

2. Solución del ejercicio 2

   1. El 9 que suma pasa restando: x = 25 − 9 = 16. Comprobación: 16 + 9 = 25.
   2. El 14 que resta pasa sumando: x = 6 + 14 = 20. Comprobación: 20 − 14 = 6.
   3. El 5 que multiplica pasa dividiendo: x = 45 : 5 = 9. Comprobación: 5 · 9 = 45.
   4. El 4 que divide pasa multiplicando: x = 7 · 4 = 28. Comprobación: 28 : 4 = 7.
   5. Primero pasamos el 4 restando: 3x = 19 − 4 = 15; después el 3 dividiendo: x = 5. Comprobación: 3 · 5 + 4 = 19.

3. Solución del ejercicio 3

   1. Agrupamos las x a la izquierda y los números a la derecha: 5x − 2x = 12 + 3, es decir, 3x = 15, y x = 5. Comprobación: 25 − 3 = 22 y 10 + 12 = 22.
   2. 7x − 3x = −4 − 8, luego 4x = −12 y x = −3. Comprobación: −21 + 8 = −13 y −9 − 4 = −13.
   3. 4x − x = 30 − 9, luego 3x = 21 y x = 7. Comprobación: 28 + 9 = 37 y 7 + 30 = 37.
   4. Agrupamos a la derecha para que el coeficiente sea positivo: −1 + 16 = 5x − 2x, luego 15 = 3x y x = 5. Comprobación: 10 − 1 = 9 y 25 − 16 = 9.

4. Solución del ejercicio 4

   1. 3x + 6 = 21; x = 5.
   2. 6x − 2 = 4x + 8; 2x = 10; x = 5.
   3. 5x − 15 − 2x + 2 = 14; 3x − 13 = 14; x = 9.
   4. 4 − 2x + 3 = x + 1; 7 − 2x = x + 1; 6 = 3x; x = 2.

5. Solución del ejercicio 5

   1. x/2 = 4; x = 8.
   2. Multiplicando por 6: 2x + x = 54; 3x = 54; x = 18.
   3. Por 5: 2x − 5 = x + 10; x = 15.
   4. Por 6: 3(x + 1) = 2(x − 1) + 6; 3x + 3 = 2x + 4; x = 1.

6. Solución del ejercicio 6

   1. «El triple de un número» es 3x; «más 4» añade 4: 3x + 4 = 22. Entonces 3x = 18 y x = 6.
   2. «La mitad» es x/2: x/2 − 5 = 3. Pasamos el 5: x/2 = 8, y multiplicando por 2, x = 16.
   3. «Su doble» es 2x: x + 2x = 36, es decir, 3x = 36, luego x = 12.
   4. Primero se resta y luego se multiplica, así que el paréntesis es necesario: 4(x − 7) = 20. Dividimos entre 4: x − 7 = 5, luego x = 12.

7. Solución del ejercicio 7

   1. 7x es el dinero de las entradas (7 € por cada una de las x personas), 8 es el gasto fijo en refrescos y 57 es el gasto total. La ecuación dice que entradas + refrescos = gasto total.
   2. Restamos 8 en los dos miembros: 7x = 49; dividimos entre 7: x = 7. El grupo está formado por 7 personas.
   3. Sustituimos: 7 · 7 + 8 = 49 + 8 = 57 €, que coincide con el gasto total. La solución es correcta.
   4. Con 2 personas más serían 9: 9 · 7 + 8 = 63 + 8 = 71 € en total.

8. Solución del ejercicio 8

   1. Marta: 12 + x; madre: 40 + x.
   2. 40 + x = 2(12 + x).
   3. 40 + x = 24 + 2x; 16 = x. Dentro de 16 años.
   4. Marta tendrá 28 y su madre 56 = 2 · 28.

9. Solución del ejercicio 9

   1. El largo mide x + 8.
   2. 2x + 2(x + 8) = 104.
   3. 4x + 16 = 104; 4x = 88; x = 22 m de ancho y 30 m de largo.
   4. 22 · 30 = 660 m².

10. Solución del ejercicio 10

    1. Cada semana Hugo añade 5 € a sus 45 € y Lara añade 8 € a sus 30 €: Hugo: 45 + 5x; Lara: 30 + 8x.
    2. Tienen lo mismo cuando las dos expresiones son iguales: 45 + 5x = 30 + 8x.
    3. Pasamos las x a la derecha y los números a la izquierda: 45 − 30 = 8x − 5x, es decir, 15 = 3x, luego x = 5 semanas.
    4. Hugo: 45 + 5 · 5 = 70 €; Lara: 30 + 8 · 5 = 70 €. Dentro de 5 semanas tendrán 70 € cada uno.

11. Solución del ejercicio 11

    1. Cada uno de los x niños toma 2 bocadillos (2x) y hay 5 de reserva: 2x + 5 = 29.
    2. Restamos 5 en los dos miembros: 2x = 24; dividimos entre 2: x = 12. Comprobación: 2 · 12 + 5 = 29.
    3. La incógnita representa el número de niños: en la merienda hay 12 niños.
    4. Se preparan 29 bocadillos en total, así que cuestan 29 · 1,20 = 34,80 €.

12. Solución del ejercicio 12

    1. Mario: 3 + 1,5x; Julia: 2 + 1,7x.
    2. 3 + 1,5x = 2 + 1,7x; 1 = 0,2x; x = 5 km.
    3. 4 km: Mario 9 €, Julia 8,80 €: Julia es más barata. 10 km: Mario 18 €, Julia 19 €: Mario es más barato.
    4. Mario 3 + 15 = 18 €; Julia 2 + 17 = 19 €.

13. Solución del ejercicio 13

    1. Si Ana tiene x, Bruno tiene el doble, 2x, y Carla 10 más que Bruno, 2x + 10.
    2. La suma de los cromos de los tres es 120: x + 2x + (2x + 10) = 120.
    3. Reducimos: 5x + 10 = 120; restamos 10: 5x = 110; dividimos entre 5: x = 22.
    4. Ana tiene 22, Bruno 2 · 22 = 44 y Carla 44 + 10 = 54. Comprobación: 22 + 44 + 54 = 120.

14. Solución del ejercicio 14

    1. Distancia = velocidad · tiempo: el primero recorre 18x km y el segundo 24x km en x horas.
    2. Como van uno hacia el otro, se cruzan cuando entre los dos han cubierto los 63 km: 18x + 24x = 63.
    3. 42x = 63, luego x = 63 : 42 = 1,5 horas, es decir, 1 hora y 30 minutos.
    4. El primer ciclista ha recorrido 18 · 1,5 = 27 km desde su pueblo; el otro, 24 · 1,5 = 36 km, y 27 + 36 = 63.

15. Solución del ejercicio 15

    1. Gasto: 480 + 12x.
    2. Recaudación: 20x.
    3. 20x + 240 = 480 + 12x; 8x = 240; x = 30 alumnos.
    4. Gasto: 480 + 360 = 840 €; recaudación 600 € + 240 € = 840 €.
    5. 20x = 480 + 12x → 8x = 480 → x = 60 alumnos.

16. Solución del ejercicio 16

    1. El largo mide 3x.
    2. Perímetro: 2x + 6x = 8x. Con 2 vueltas: 16x = 160.
    3. x = 10 m de ancho y 30 m de largo.
    4. 10 · 30 = 300 m².
    5. 160 · 0,35 = 56 €.

17. Solución del ejercicio 17

    1. Zapatillas: x + 25.
    2. 3(x + 25) + 2x = 275.
    3. 5x + 75 = 275; 5x = 200; x = 40 €.
    4. 40 + 25 = 65 €.
    5. 2 · 65 + 3 · 40 = 130 + 120 = 250 €.

18. Solución del ejercicio 18

    1. El primero lleva x + 1 horas.
    2. Primero 90(x + 1); segundo 120x.
    3. 90x + 90 = 120x; 90 = 30x; x = 3 horas.
    4. 120 · 3 = 360 km.
    5. Sí lo alcanza antes de Sevilla: 360 km < 390 km.

19. Solución del ejercicio 19

    1. Pablo x, Sara x + 8, Dani 2x.
    2. x + x + 8 + 2x = 96.
    3. 4x + 8 = 96; x = 22.
    4. Pablo 22, Sara 30, Dani 44. Suman 96.
    5. Dani 38, Pablo 28 y Sara 30: Dani sigue teniendo más.

20. Solución del ejercicio 20

    1. Con 5: 15 + 12 = 27, 27 : 3 = 9, 9 − 5 = 4. Con 11: 33 + 12 = 45; 15; 15 − 11 = 4.
    2. (3x + 12) : 3 − x.
    3. x + 4 − x = 4: la x desaparece y el resultado es siempre 4.
    4. Por ejemplo: multiplica el número por 2, suma 14, divide entre 2 y resta el número pensado: (2x + 14) : 2 − x = x + 7 − x = 7.