Sucesiones y progresiones – matemáticas 1º Bachillerato CCSS: soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   1. De \(a_3\) a \(a_8\) hay 5 saltos: \(5d=25-10=15\), luego \(d=3\). Retrocediendo dos saltos: \(a_1=a_3-2d=10-6=4\). Comprobación: \(a_8=4+7\cdot3=25\).
   2. Término general: \(a_n=a_1+(n-1)d=4+3(n-1)=3n+1\). Por tanto, \(a_{20}=3\cdot20+1=61\). Comprobación: \(a_3=3\cdot3+1=10\).
   3. Suma de una progresión aritmética, \(S_n=\dfrac{n\,(a_1+a_n)}{2}\): \(S_{20}=\dfrac{20\,(4+61)}{2}=10\cdot65=650\). La suma de los 20 primeros términos es 650. Interpretación: es la media del primer y el último término, 32,5, multiplicada por 20 términos. Al emparejar el primero con el último, el segundo con el penúltimo, etc., cada pareja suma 65.

2. Solución del ejercicio 2 (4 puntos)

   1. Término general \(a_n=2\cdot3^{n-1}\): \(a_5=2\cdot3^4=162\). Suma: \(S_5=\dfrac{a_1(r^5-1)}{r-1}=\dfrac{2\,(3^5-1)}{3-1}=\dfrac{2\cdot242}{2}=242\). Comprobación: \(2+6+18+54+162=242\).
   2. La razón es \(r=\dfrac{12}{24}=\dfrac12\), con \(|r|\lt 1\), así que la suma infinita existe: \(S_\infty=\dfrac{24}{1-\frac12}=48\). Las sumas parciales 24, 36, 42, 45… se acercan cada vez más a 48.
   3. No tiene suma infinita: la razón es \(\dfrac{1{,}5}{1}=1{,}5\), mayor que 1, de modo que los términos crecen y las sumas parciales aumentan sin límite. Para que exista suma infinita hace falta \(|r|\lt 1\).

3. Solución del ejercicio 3 (3 puntos)

   1. Las cantidades mensuales forman una progresión aritmética con \(a_1=50\) y \(d=5\), porque cada mes ahorra 5 € más. Entonces \(a_{12}=a_1+11d=50+11\cdot5=105\) €. El mes 12 ahorra 105 €. Se suman 11 incrementos de 5 € al primer mes.
   2. Sumamos los 12 meses con la fórmula de la suma aritmética: \(S_{12}=\dfrac{12\,(50+105)}{2}=6\cdot155=930\) €. En un año Marta ha ahorrado 930 €. Comprobación: la media de 50 y 105 es 77,5 €, y \(12\cdot77{,}5=930\).

4. Solución del ejercicio 4 (4 puntos)

   1. Con interés compuesto el capital forma una progresión geométrica de razón 1,03: \(C_n=4\,000\cdot1{,}03^n\). Para \(n=6\): \(C_6=4\,000\cdot1{,}194052=4\,776{,}21\) €. Los intereses generados son \(4\,776{,}21-4\,000=776{,}21\) €.
   2. Planteamos \(4\,000\cdot1{,}03^n\gt 5\,000\), es decir, \(1{,}03^n\gt 1{,}25\). Tomando logaritmos, \(n\gt \dfrac{\ln1{,}25}{\ln1{,}03}=7{,}55\). Comprobación: \(C_7=4\,919{,}50\) € y \(C_8=5\,067{,}08\) €. Hacen falta 8 años. Como \(n\) debe ser entero y mayor que 7,55, el primer valor válido es 8. Respuesta: al cabo de 8 años el capital supera los 5 000 €.

5. Solución del ejercicio 5 (5 puntos)

   1. Porcentual: \(P_n=40\,000\cdot0{,}98^n\), geométrica de razón 0,98. Fija: \(Q_n=40\,000-800n\), aritmética de diferencia \(-800\). En el primero se multiplica cada año por 0,98; en el segundo se resta siempre la misma cantidad.
   2. \(P_5=40\,000\cdot0{,}98^5\approx36\,157\). \(Q_5=40\,000-4\,000=36\,000\). A los 5 años la diferencia es de unos 157 habitantes.
   3. \(0{,}98^n\lt 0{,}875\) implica \(n\gt \dfrac{\ln0{,}875}{\ln0{,}98}=6{,}61\): a los 7 años. Se busca \(40\,000\cdot0{,}98^n\lt 35\,000\), y \(35\,000:40\,000=0{,}875\). Comprobación: \(P_6\approx35\,434\) y \(P_7\approx34\,725\).
   4. \(P_{10}\approx32\,683\) y \(Q_{10}=32\,000\): tendría menos habitantes con el modelo de pérdida fija, porque el 2 % se aplica cada año a una población menor.

Total : 20 puntos