Estos apuntes de sucesiones y progresiones de 1º Bachillerato CCSS están pensados para alumnos de 16-17 años y siguen el currículo oficial. En resumen, trabajan lo siguiente: Progresiones aplicadas a interés compuesto. Antes de empezar, conviene repasar funciones elementales y funciones definidas a trozos, porque estos apuntes se apoyan en ese tema.
Apuntes de sucesiones y progresiones 1º Bachillerato CCSS: lo que vas a aprender
Las sucesiones describen magnitudes que evolucionan por periodos: ahorros mensuales, pagos de un préstamo, población año a año o el valor de un bien que se deprecia. Las progresiones, aritméticas y geométricas, son las más importantes y están detrás del interés compuesto.
Actividad de introducción: el reto de los 30 días
Pablo y Sara deciden ahorrar durante un mes. Pablo mete 1 € el primer día, 2 € el segundo, 3 € el tercero, y así sucesivamente. Sara mete 1 céntimo el primer día, 2 céntimos el segundo, 4 el tercero, y cada día el doble que el anterior. ¿Quién tendrá más dinero al cabo de 30 días? Pablo reúne \(1+2+\cdots+30=465\) €. Sara, aunque empieza con céntimos, el día 30 tendría que meter más de 5 millones de euros y en total casi 10,7 millones: su reto es imposible. Las cantidades de Pablo forman una progresión aritmética y las de Sara, una geométrica. En este capítulo aprenderás a distinguirlas, a calcular cualquier término y sus sumas, y a aplicarlas al ahorro, a los préstamos, a la población y a la depreciación de los bienes.
Sucesiones
Definición: sucesión
Una sucesión es una lista ordenada de números \(a_1,a_2,a_3,\dots\), uno por cada número natural. Se define con un término general \(a_n\) (fórmula en función de \(n\)) o con una recurrencia (cada término se calcula con los anteriores).
Ejemplo 1
Escribe los primeros términos de \(a_n=3n-2\) y de \(a_1=2\), \(a_{n+1}=3a_n-1\).
Primera: \(1,4,7,10,\dots\). Segunda: \(a_2=3\cdot2-1=5\), \(a_3=14\), \(a_4=41\): \(2,5,14,41,\dots\)
Progresiones aritméticas
Definición: progresión aritmética
En una progresión aritmética cada término se obtiene sumando al anterior una constante, la diferencia \(d\). Si \(d>0\) crece y si \(d<0\) decrece. Sus términos, como puntos, están alineados.
Regla
\[ a_n=a_1+(n-1)d,\qquad S_n=a_1+\dots+a_n=\dfrac{n\,(a_1+a_n)}{2}. \]
Método: hallar los datos de una aritmética
- Con dos términos \(a_p\) y \(a_q\): \(d=\dfrac{a_q-a_p}{q-p}\).
- Calcula \(a_1=a_p-(p-1)d\).
- Escribe \(a_n=a_1+(n-1)d\).
- Para la suma, usa \(S_n=n(a_1+a_n)/2\).
Ejemplo 2
En una aritmética \(a_3=11\) y \(a_8=26\). Halla \(a_1\) y el término general.
\(5d=26-11=15\Rightarrow d=3\). \(a_1=11-2\cdot3=5\). \(a_n=5+3(n-1)=3n+2\). Comprobación: \(a_8=26\).
Ejemplo 3: ahorro
Ahorras 20 € el primer mes y cada mes 5 € más. ¿Cuánto en el mes 12 y en total?
\(a_{12}=20+11\cdot5=75\) €. \(S_{12}=\dfrac{12(20+75)}{2}=570\) €.
Progresiones geométricas
Definición: progresión geométrica
En una progresión geométrica cada término es el anterior multiplicado por una constante, la razón \(r\). Modela el interés compuesto (\(r=1+i\)), el crecimiento porcentual (\(r=1+\text{tasa}\)) y la depreciación (\(r=1-\text{tasa}\)).
Regla
\[ a_n=a_1\,r^{\,n-1},\qquad S_n=\dfrac{a_1(r^n-1)}{r-1}\ (r\neq1). \] Si \(|r|<1\), la suma de infinitos términos converge: \(S_\infty=\dfrac{a_1}{1-r}\).
Ejemplo 4
\(a_1=3\), \(r=2\): \(a_6\) y \(S_6\). Y la suma infinita de \(12+6+3+\dots\)
\(a_6=3\cdot2^5=96\); \(S_6=\dfrac{3(2^6-1)}{2-1}=189\). Con razón \(\tfrac12\): \(S_\infty=\dfrac{12}{1-\frac12}=24\).
Ejemplo 5: razón desconocida
Si \(a_2=6\) y \(a_5=162\), halla \(r\), \(a_1\) y \(S_5\).
\(a_5/a_2=r^3=27\Rightarrow r=3\). \(a_1=6/3=2\). \(S_5=\dfrac{2(3^5-1)}{3-1}=242\).
Aplicaciones financieras
Propiedad: modelos
- Interés compuesto: los capitales \(C_0,\ C_0(1+i),\ C_0(1+i)^2,\dots\) forman una geométrica de razón \(1+i\).
- Ahorro periódico (\(a\) al final de cada año): \(S=a\,\dfrac{(1+i)^n-1}{i}\).
- Depreciación: \(V_n=V_0(1-r)^n\).
- Población: \(P_n=P_0(1+p)^n\).
Método: reconocer el tipo de progresión
- Escribe los primeros términos.
- Calcula las diferencias entre consecutivos y los cocientes.
- Si las diferencias son constantes, es aritmética; si lo son los cocientes, geométrica.
- Escribe el término general y úsalo.
Ejemplo 6: ahorro con interés
500 € al final de cada año al 2 % durante 6 años.
\(500\cdot\dfrac{1{,}02^6-1}{0{,}02}=500\cdot6{,}308121=3\,154{,}06\) €.
Ejemplo 7: ¿cuántos años?
80 000 habitantes crecen un 2 % anual. ¿Cuándo superan los 100 000?
\(1{,}02^n>1{,}25\Rightarrow n>\dfrac{\log1{,}25}{\log1{,}02}\approx11{,}27\). Hacen falta 12 años (\(1{,}02^{11}\approx1{,}243\), \(1{,}02^{12}\approx1{,}268\)).
Ejemplo 8: depreciación
Una máquina de 20 000 € pierde un 15 % de su valor cada año. ¿Cuánto vale tras 4 años y cuánto ha perdido?
La razón es \(1-0{,}15=0{,}85\), así que \(V_4=20000\cdot0{,}85^4=20000\cdot0{,}522006\approx10\,440\) €. Ha perdido unos \(9\,560\) € en total, casi la mitad de su valor. Observa que la pérdida de cada año es menor que la del anterior, porque el 15 % se aplica a un valor cada vez menor.
Ejemplo 9: sueldo con subidas fijas
Un sueldo empieza en 22 000 € y sube 1 500 € cada año. ¿Cuánto cobra el año 10 y cuánto ha cobrado en total en esos 10 años?
Es aritmética con \(d=1500\): \(a_{10}=22000+9\cdot1500=35\,500\) €. La suma es \(S_{10}=\dfrac{10(22000+35500)}{2}=287\,500\) €. Si en lugar de una subida fija fuera una subida del 5 % anual, sería una progresión geométrica de razón 1,05 y el sueldo crecería cada vez más deprisa.
¡Atención!
- El término general es \(a_1+(n-1)d\) y \(a_1r^{n-1}\), no \(a_1+nd\) ni \(a_1r^n\).
- La razón es \(1{,}04\), no 4.
- La suma infinita solo existe si \(|r|<1\).
Observación
La fórmula de la suma aritmética se recuerda con la idea de Gauss: el primer término con el último, el segundo con el penúltimo, etc., dan todos lo mismo. Con \(1+2+\dots+100\) hay 50 parejas de 101 y la suma es 5 050. En la geométrica, al multiplicar \(S_n\) por \(r\) y restar, casi todos los términos se cancelan y queda \(S_n(r-1)=a_1(r^n-1)\).
Ampliación: técnicas y aplicaciones
Definición: sucesiones crecientes, decrecientes y acotadas
Una sucesión es creciente si cada término es mayor o igual que el anterior, y decreciente si cada término es menor o igual. Una progresión aritmética es creciente si \(d\gt 0\) y decreciente si \(d\lt 0\). Una progresión geométrica de términos positivos es creciente si \(r\gt 1\) y decreciente si \(0\lt r\lt 1\); si \(r\) es negativa, los signos se alternan. Una sucesión está acotada si todos sus términos están entre dos números fijos, como ocurre con el valor de un coche que se deprecia, que siempre está entre 0 y el precio de compra.
Propiedad: términos equidistantes
En una progresión aritmética, la suma de dos términos que están a la misma distancia de los extremos es constante: \(a_1+a_n=a_2+a_{n-1}=a_3+a_{n-2}=\cdots\). Por eso la suma de \(n\) términos es \(n\) veces la media del primero y del último. En una progresión geométrica ocurre lo mismo con el producto: \(a_1\cdot a_n=a_2\cdot a_{n-1}=\cdots\). Además, en tres términos consecutivos de una aritmética el central es la media aritmética de los otros dos, y en una geométrica de términos positivos es su media geométrica.
Ejemplo 10
Calcula la suma de los múltiplos de 3 comprendidos entre 10 y 200.
El primero es 12 y el último 198: forman una aritmética de diferencia 3. Número de términos: \(198=12+3(n-1)\), de donde \(n=63\). La suma es \(S_{63}=\dfrac{63\,(12+198)}{2}=6\,615\).
Método: resolver problemas con progresiones
- Escribe los tres o cuatro primeros términos de la situación.
- Decide si se suma una cantidad fija (aritmética) o se multiplica por un factor fijo (geométrica). Un porcentaje de aumento \(p\) da la razón \(1+p\) y uno de disminución, \(1-p\).
- Identifica qué se pide: un término concreto, la suma de varios términos o el número de términos.
- Si la incógnita está en el exponente, toma logaritmos: \(r^n=k\) implica \(n=\dfrac{\ln k}{\ln r}\), y redondea según el contexto.
- Responde con las unidades y comprueba que el resultado es razonable.
Ejemplo 11
Un club de lectura de Palencia tenía 40 socios en 2024 y espera aumentar un 15 % cada año. ¿Cuántos socios tendrá en 2030? ¿En qué año superará los 150?
Es geométrica de razón 1,15: \(S_n=40\cdot1{,}15^n\), con \(n\) los años desde 2024. En 2030, \(n=6\): \(40\cdot1{,}15^6\approx92{,}5\), unos 92 socios. Para superar 150: \(1{,}15^n\gt 3{,}75\), \(n\gt \dfrac{\ln3{,}75}{\ln1{,}15}\approx9{,}46\), así que en 2034 (\(n=10\)).
Regla: capitalización y ahorro periódico
Si un capital \(C_0\) se deposita al tipo anual \(i\) con capitalización \(k\) veces al año, al cabo de \(t\) años se obtiene \(C=C_0\left(1+\dfrac ik\right)^{kt}\). Cuanto más frecuente es la capitalización, algo mayor es el capital final, porque los intereses empiezan antes a producir intereses. Para comparar ofertas se usa la tasa anual equivalente (TAE): el tipo anual que daría el mismo resultado con una sola capitalización al año. Si se ingresa una cuota \(a\) al final de cada periodo a un tipo \(i\) por periodo, el capital tras \(n\) periodos es la suma de una progresión geométrica: \(a\,\dfrac{(1+i)^n-1}{i}\).
Ejemplo 12
Calcula la TAE de un depósito al 3 % anual con capitalización mensual.
En un año, cada euro se convierte en \(\left(1+\dfrac{0{,}03}{12}\right)^{12}=1{,}0025^{12}\approx1{,}030416\). La TAE es aproximadamente \(3{,}04\,\%\), algo mayor que el 3 % nominal.
Errores frecuentes
- Usar \(a_1+nd\) o \(a_1r^n\) en lugar de \(a_1+(n-1)d\) y \(a_1r^{n-1}\): el primer término no ha sumado ni multiplicado nada.
- Confundir el número de términos con el valor del último término.
- Escribir la razón como el porcentaje (3) en lugar de 1,03.
- Aplicar la suma infinita cuando la razón no cumple \(|r|\lt 1\).
- Redondear mal los años: si \(n\gt 15{,}9\), hacen falta 16 años, no 15.
¿Sabías que?
Cuenta la leyenda que el inventor del ajedrez pidió al rey de la India un grano de trigo por la primera casilla del tablero, dos por la segunda, cuatro por la tercera, y así hasta la casilla 64. El rey aceptó pensando que era poco, pero la suma es \(2^{64}-1\), unos 18 trillones de granos: más trigo del que se ha cosechado en toda la historia. Es el mismo crecimiento que hace que una deuda con intereses altos se dispare si no se paga a tiempo.
El consejo de Otto
Escribe siempre los tres o cuatro primeros términos: te ayudará a ver si hay una diferencia o una razón constante antes de usar fórmulas.
Cómo usar los apuntes de sucesiones y progresiones de 1º Bachillerato CCSS
Primero, lee lo esencial para saber de qué trata el tema. Después, trabaja cada definición y cada ejemplo, y tapa la solución antes de leerla. A continuación, practica con los ejercicios de sucesiones y progresiones y comprueba cada uno con las soluciones. Cuando te sientas preparado, ponte a prueba con el test o el quiz. Finalmente, haz el examen de sucesiones y progresiones y corrígelo con las soluciones del examen.
Además, el cálculo mental sirve como calentamiento, así que repasas lo esencial cada día. Además, todas las páginas de este tema están conectadas, así que puedes pasar de una a otra cuando quieras. Por ejemplo, muchos alumnos leen los apuntes el lunes, practican el miércoles y se ponen a prueba el viernes. En definitiva, estos apuntes de sucesiones y progresiones de 1º Bachillerato CCSS reúnen todo lo necesario para el tema.
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