Límites y continuidad – matemáticas 1º Bachillerato CCSS: soluciones de los ejercicios para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1

   1. Es un polinomio, continuo en todo \(\mathbb{R}\): \(3\cdot2^2-5\cdot2+1=12-10+1=3\).
   2. Es una función racional y el denominador no se anula en \(x=-1\) (\(-1+4=3\neq0\)): \(\dfrac{(-1)^2+3}{-1+4}=\dfrac43\).
   3. El radicando es positivo en \(x=4\): \(\sqrt{4+5}=\sqrt9=3\).
   4. La exponencial y el polinomio son continuos: \(2^0+0=1+0=1\).

2. Solución del ejercicio 2

   1. \(x^2-9=(x-3)(x+3)\), luego \(\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3\) y el límite es \(3+3=6\).
   2. \(x^2+2x-3=(x-1)(x+3)\) y \(x^2-1=(x-1)(x+1)\). Queda \(\dfrac{x+3}{x+1}\), que en \(x=1\) vale \(\dfrac42=2\).
   3. Por Ruffini, \(x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)\). Queda \(x^2-2x+4\), que en \(x=-2\) vale \(4+4+4=12\).
   4. Factor común: \(\dfrac{x(x+5)}{3x}=\dfrac{x+5}{3}\), que en \(x=0\) vale \(\dfrac53\).

3. Solución del ejercicio 3

   1. Al sustituir se obtiene \(\tfrac30\). Si \(x\to2^-\) (por ejemplo \(x=1{,}99\)), \(x-2\) es negativo y muy pequeño: el límite es \(-\infty\). Si \(x\to2^+\) (\(x=2{,}01\)), \(x-2\) es positivo: el límite es \(+\infty\).
   2. No existe, porque los límites laterales son distintos (\(-\infty\) y \(+\infty\)).
   3. \((x+3)^2\) es siempre positivo, así que \(\dfrac{5}{(x+3)^2}\to+\infty\) por los dos lados y \(\displaystyle\lim_{x\to-3}g(x)=+\infty\).
   4. \(f\) tiene la asíntota vertical \(x=2\) y \(g\) la asíntota vertical \(x=-3\).

4. Solución del ejercicio 4

   1. Grados iguales (2 y 2): el límite es el cociente de los coeficientes principales, \(\dfrac31=3\).
   2. Grado del numerador (1) menor que el del denominador (2): el límite es \(0\).
   3. Grado del numerador (3) mayor que el del denominador (2): el límite es infinito; como los coeficientes principales son positivos, es \(+\infty\).
   4. Grados iguales: \(\dfrac{5}{-2}=-\dfrac52\). Para \(x\to-\infty\) se aplica la misma regla.

5. Solución del ejercicio 5

   1. \(x^2-4=0\) para \(x=\pm2\). \(\text{Dom}\,f=\mathbb{R}\setminus\{-2,2\}\). En los dos puntos el numerador vale \(8\neq0\): hay asíntotas verticales \(x=-2\) y \(x=2\).
   2. En \(x=2\): por la izquierda \(x^2-4\lt 0\), límite \(-\infty\); por la derecha, \(+\infty\). En \(x=-2\): por la izquierda (\(x=-2{,}01\)) \(x^2-4\gt 0\), límite \(+\infty\); por la derecha, \(-\infty\).
   3. Grados iguales: \(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\dfrac21=2\). Asíntota horizontal \(y=2\).
   4. \(f(x)-2=\dfrac{2x^2-2(x^2-4)}{x^2-4}=\dfrac{8}{x^2-4}\). Si \(|x|\gt 2\), el denominador es positivo y la diferencia también: la gráfica está por encima de \(y=2\).

6. Solución del ejercicio 6

   1. Límite por la izquierda: \(2^2+1=5\). Límite por la derecha y valor: \(2a-1\). Continua si \(2a-1=5\), es decir, \(a=3\).
   2. \(f(0)=0^2+1=1\); \(f(2)=3\cdot2-1=5\); \(f(5)=3\cdot5-1=14\).
   3. Por la izquierda: \(1+1=2\). Por la derecha: \(4-1=3\).
   4. Los dos límites laterales son finitos pero distintos: discontinuidad de salto finito, con un salto de \(3-2=1\) unidad.

7. Solución del ejercicio 7

   1. \(CM(100)=\dfrac{1\,500}{100}=15\) €; \(CM(400)=\dfrac{2\,400}{400}=6\) €; \(CM(1\,000)=\dfrac{4\,200}{1\,000}=4{,}20\) €.
   2. Grados iguales: \(\dfrac31=3\). Cuantas más sudaderas, más se reparte el coste fijo y el coste medio se acerca a 3 € (el coste de cada sudadera).
   3. \(\dfrac{1\,200+3x}{x}\le5\) implica \(1\,200+3x\le5x\), es decir, \(x\ge600\) sudaderas.
   4. No: \(CM(x)=3+\dfrac{1\,200}{x}\) es siempre mayor que 3 €, así que nunca baja de 3 € y mucho menos llega a 2,50 €.

8. Solución del ejercicio 8

   1. \(C(2)=\dfrac{80}{20}=4\) mg/L; \(C(4)=\dfrac{160}{32}=5\) mg/L; \(C(10)=\dfrac{400}{116}=3{,}45\) mg/L.
   2. El grado del denominador (2) es mayor que el del numerador (1): el límite es 0. Con el tiempo el organismo elimina el medicamento.
   3. \(\dfrac{40t}{t^2+16}=4\) implica \(4t^2-40t+64=0\), es decir, \(t^2-10t+16=0\), con soluciones \(t=2\) h y \(t=8\) h.
   4. La concentración vale 4 a las 2 y a las 8 horas y es mayor entre ambas (5 a las 4 h): el máximo está hacia las 4 horas, en el punto medio entre 2 y 8.

9. Solución del ejercicio 9

   1. 30 min: 2 €. 1 h: 2 € (la primera hora completa). 2,5 h: se cobran 3 horas, \(2+1{,}5\cdot2=5\) €.
   2. Por la izquierda (algo menos de 1 h) se pagan 2 €; por la derecha (algo más de 1 h) se pagan \(2+1{,}5=3{,}50\) €.
   3. No es continua: tiene discontinuidades de salto finito (salto de 1,50 €) en \(t=1,2,3,\ldots\) hasta llegar al máximo. Es una función escalonada.
   4. Hasta 7 horas se pagan \(2+1{,}5\cdot6=11\) €. Más de 7 horas costaría \(2+1{,}5\cdot7=12{,}50\) €, que supera el máximo: a partir de 7 horas se pagan 12 €.

10. Solución del ejercicio 10

    1. \(P(0)=500\) truchas. \(P(1)=\dfrac{3\,500}{2}=1\,750\); \(P(4)=\dfrac{12\,500}{5}=2\,500\); \(P(9)=\dfrac{27\,500}{10}=2\,750\).
    2. Grados iguales: \(\dfrac{3\,000}{1}=3\,000\). Es la capacidad máxima del embalse: la población se estabiliza cerca de 3 000 truchas.
    3. \(3\,000t+500=2\,900(t+1)\) implica \(100t=2\,400\), luego \(t=24\) años.
    4. \(3\,000-\dfrac{2\,500}{t+1}=\dfrac{3\,000t+3\,000-2\,500}{t+1}=\dfrac{3\,000t+500}{t+1}\). Como \(\dfrac{2\,500}{t+1}\gt 0\), \(P(t)\) es siempre menor que 3 000.

11. Solución del ejercicio 11

    1. \(F(15)=7{,}50\) €; \(F(30)=10+0{,}9\cdot10=19\) €; \(F(50)=28+1{,}5\cdot10=43\) €.
    2. En \(x=20\): por la izquierda \(0{,}5\cdot20=10\) y por la derecha \(10+0=10\); continua. En \(x=40\): por la izquierda \(10+0{,}9\cdot20=28\) y por la derecha \(28\); continua.
    3. Si hubiera un salto, consumir 1 litro más podría encarecer mucho la factura. Con una tarifa continua, un pequeño aumento de consumo produce un pequeño aumento del precio.
    4. 34 € es más de 28 €, luego está en el tercer tramo: \(28+1{,}5(x-40)=34\) implica \(x-40=4\) y \(x=44\) m³.

12. Solución del ejercicio 12

    1. \(V(5)=\dfrac{1\,000}{10}=100\); \(V(15)=\dfrac{3\,000}{20}=150\); \(V(45)=\dfrac{9\,000}{50}=180\) miles de botellas.
    2. \(\displaystyle\lim_{t\to+\infty}\dfrac{200t}{t+5}=200\): las ventas se estabilizan en 200 000 botellas semanales (saturación del mercado).
    3. \(200t=190(t+5)\) implica \(10t=950\), luego \(t=95\) semanas.
    4. No con este modelo: las ventas nunca alcanzan 200 000. Para llegar a 250 000 haría falta cambiar las condiciones del mercado y, por tanto, el modelo.

13. Solución del ejercicio 13

    1. \(N(1)=\dfrac{60}{5}=12\); \(N(4)=\dfrac{240}{8}=30\); \(N(12)=\dfrac{720}{16}=45\); \(N(36)=\dfrac{2\,160}{40}=54\).
    2. Grados iguales: el límite es 60. Es la velocidad máxima a la que tiende un alumno con mucha práctica.
    3. \(60t=50(t+4)\) implica \(10t=200\), luego \(t=20\) semanas.
    4. De 4 a 12 semanas mejora \(45-30=15\) palabras; de 12 a 36, solo \(54-45=9\) en el triple de tiempo. Cada vez cuesta más mejorar, porque la función se acerca a su asíntota.

14. Solución del ejercicio 14

    1. \(x-1=0\) para \(x=1\) y el numerador vale \(2\neq0\): asíntota vertical \(x=1\). Por la izquierda \(\tfrac{2}{0^-}=-\infty\); por la derecha \(+\infty\).
    2. No: el grado del numerador (2) es mayor que el del denominador (1) y el límite en el infinito es infinito.
    3. Cociente \(x+1\) y resto \(2\): \(f(x)=x+1+\dfrac{2}{x-1}\). Como \(\dfrac{2}{x-1}\to0\) en el infinito, la gráfica se acerca a la recta \(y=x+1\).
    4. \(f(3)=\dfrac{10}{2}=5\) y la asíntota da \(3+1=4\). La gráfica está por encima (diferencia \(\tfrac22=1\)).

15. Solución del ejercicio 15

    1. \(C(50)=\dfrac{3\,000}{50}=60\); \(C(80)=\dfrac{4\,800}{20}=240\); \(C(90)=\dfrac{5\,400}{10}=540\); \(C(95)=\dfrac{5\,700}{5}=1\,140\) miles de euros.
    2. Al acercarse \(p\) a 100 por la izquierda, el numerador tiende a 6 000 y el denominador a \(0^+\): el límite es \(+\infty\). Eliminar casi todos los residuos cuesta cada vez más.
    3. \(\dfrac{60p}{100-p}=360\) implica \(60p=36\,000-360p\), \(420p=36\,000\) y \(p=85{,}71\,\%\).
    4. Sí, porque \(85{,}71\,\%\ge80\,\%\). Al eliminar el 80 % gasta 240 000 € y le sobran \(360\,000-240\,000=120\,000\) €.
    5. No: \(p=100\) anula el denominador, la función no está definida y hay una asíntota vertical. El coste crece sin límite cuando \(p\) se acerca a 100.

16. Solución del ejercicio 16

    1. Por la izquierda: \(0{,}2\cdot100=20\). Por la derecha: \(a+15\). Continua si \(a+15=20\), luego \(a=5\).
    2. Por la izquierda: \(5+0{,}15\cdot300=50\). Por la derecha: \(b+36\). Continua si \(b+36=50\), luego \(b=14\).
    3. \(F(250)=5+0{,}15\cdot250=42{,}50\) €. \(F(400)=14+0{,}12\cdot400=62\) €.
    4. \(\dfrac{62}{400}=0{,}155\) €/kWh.
    5. \(\dfrac{14+0{,}12x}{x}=0{,}12+\dfrac{14}{x}\to0{,}12\). Para consumos muy grandes, el precio medio se acerca a 0,12 €/kWh, el precio del último tramo.

17. Solución del ejercicio 17

    1. \(S(0)=8\,000-7\,000=1\,000\). \(S(3)=8\,000-7\,000\cdot0{,}512=4\,416\); \(S(6)=8\,000-7\,000\cdot0{,}262144\approx6\,165\); \(S(12)=8\,000-7\,000\cdot0{,}068719\approx7\,519\).
    2. Como \(0\lt 0{,}8\lt 1\), \(0{,}8^t\to0\) cuando \(t\to+\infty\), y por tanto \(S(t)\to8\,000\) suscriptores.
    3. \(8\,000-7\,000\cdot0{,}8^t\gt 7\,000\) implica \(0{,}8^t\lt \dfrac17\). Tomando logaritmos: \(t\gt \dfrac{\ln7}{\ln1{,}25}=8{,}72\). Se superan a partir del mes 9.
    4. A largo plazo: \(8\,000\cdot9=72\,000\) € mensuales como máximo.
    5. No: el modelo tiene la asíntota horizontal \(S=8\,000\) y nunca la supera. Para llegar a 10 000 haría falta otra campaña o un modelo distinto.

18. Solución del ejercicio 18

    1. \(P(x)=4\) si \(0\lt x\le1\); \(6{,}5\) si \(1\lt x\le2\); \(9\) si \(2\lt x\le5\); \(9+1{,}2(x-5)\) si \(x\gt 5\).
    2. \(P(0{,}8)=4\) €; \(P(1{,}5)=6{,}50\) €; \(P(4)=9\) €; \(P(7{,}5)=9+1{,}2\cdot2{,}5=12\) €.
    3. En \(x=1\): 4 por la izquierda y 6,5 por la derecha. En \(x=2\): 6,5 y 9. En \(x=5\): 9 por la izquierda y \(9+1{,}2\cdot0=9\) por la derecha.
    4. Es discontinua en \(x=1\) y \(x=2\) (saltos finitos de 2,50 €). En \(x=5\) es continua, porque los límites laterales coinciden con \(P(5)=9\).
    5. Por separado: \(4+6{,}50=10{,}50\) €. Juntos pesan 2,2 kg: 9 €. Le conviene enviarlos juntos y ahorra 1,50 €.

19. Solución del ejercicio 19

    1. \(T(5)=20+70\cdot0{,}59049=61{,}33\) °C. \(T(10)=20+70\cdot0{,}348678=44{,}41\) °C.
    2. \(0{,}9^t\to0\), así que \(T(t)\to20\) °C: el café acaba a la temperatura de la sala.
    3. \(70\cdot0{,}9^t=30\) implica \(0{,}9^t=\dfrac37\) y \(t=\dfrac{\ln(3/7)}{\ln0{,}9}=8{,}04\) minutos.
    4. \(70\cdot0{,}9^t=15\) implica \(t=\dfrac{\ln(15/70)}{\ln0{,}9}=14{,}62\) minutos. Lo tomará a gusto durante unos \(14{,}62-8{,}04=6{,}58\) minutos.
    5. No: \(70\cdot0{,}9^t\) es siempre positivo, luego \(T(t)\gt 20\) °C. La recta \(T=20\) es una asíntota horizontal que la gráfica nunca cruza.

20. Solución del ejercicio 20

    1. Si el numerador no se anulara, al acercarse a 2 resultaría \(\tfrac{k}{0}\) con \(k\neq0\), es decir, un límite infinito y nunca 5. Debe ser \(4+2a+b=0\).
    2. \(\displaystyle\lim_{x\to2}\dfrac{(x-2)(x-c)}{x-2}=\lim_{x\to2}(x-c)=2-c\).
    3. \(2-c=5\) da \(c=-3\). El numerador es \((x-2)(x+3)=x^2+x-6\), luego \(a=1\) y \(b=-6\) (y se cumple \(4+2-6=0\)).
    4. \(f(3)=\dfrac{9+3-6}{1}=6\). En realidad \(f(x)=x+3\) para todo \(x\): es una recta, sin asíntotas.