Zahlbereiche, Gleichungen und Ungleichungen – Mathe Studium 1. Semester Lösungen zur Klassenarbeit zum Herunterladen als PDF

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1. Lösung zu Aufgabe 1 (3 BE/Punkte)

   a) \(2x-4=6\) oder \(2x-4=-6\): \(x=5\) oder \(x=-1\) (1 P.).
   b) \(-6\le2x-4\le6\iff-1\le x\le5\), \(L=[-1,5]\) (2 P.).

   Ein Betrag gleich sechs bedeutet, dass der Inhalt sechs oder minus sechs ist; das führt auf zwei lineare Gleichungen. Bei der Ungleichung schreibt man die Doppelungleichung \(-6\le2x-4\le6\) und formt alle drei Teile gleichzeitig um. Geometrisch liegt \(x\) höchstens drei Einheiten von zwei entfernt; die Randpunkte sind genau die Lösungen der Gleichung.

2. Lösung zu Aufgabe 2 (4 BE/Punkte)

   a) \(x+5=x^2-2x+1\), \(x^2-3x-4=0\), \(x=4\) oder \(x=-1\) (2 P.).
   b) \(\sqrt9=3=4-1\) stimmt; \(\sqrt4=2\ne-2\). \(L=\{4\}\) (2 P.).

   Vor dem Quadrieren steht die Bedingung, dass die rechte Seite nicht negativ sein darf, also \(x\ge1\). Das Quadrieren führt auf eine quadratische Gleichung mit zwei Lösungen. Die Probe zeigt, dass \(x=-1\) eine Scheinlösung ist, die erst durch das Quadrieren entstanden ist. Ohne Probe gibt es keinen vollen Punktwert.

3. Lösung zu Aufgabe 3 (5 BE/Punkte)

   a) \(x\ne-3\); \(\frac{2x-1-(x+3)}{x+3}=\frac{x-4}{x+3}\ge0\) (2 P.).
   b) Positiv für \(x<-3\) und \(x>4\), null bei \(4\): \(L=(-\infty,-3)\cup[4,\infty)\) (3 P.).

   Man darf nicht mit dem Nenner multiplizieren, weil sein Vorzeichen unbekannt ist. Stattdessen bringt man alles auf eine Seite und auf den Hauptnenner. In der Vorzeichentabelle trennen die Stellen \(-3\) und \(4\) drei Bereiche; die Nullstelle des Zählers gehört wegen „größer gleich“ dazu, die Polstelle nie.

4. Lösung zu Aufgabe 4 (4 BE/Punkte)

   a) \(15+0{,}05m<8+0{,}12m\iff7<0{,}07m\iff m>100\) (2 P.).
   b) A: \(32\) €, B: \(25\) €; Ersparnis \(7\) € (2 P.).

   Die Kostenfunktionen sind linear in der Minutenzahl; gesucht ist der Bereich, in dem die Gerade von B unterhalb derjenigen von A liegt. Beim Umformen dividiert man durch die positive Zahl \(0{,}07\), das Relationszeichen bleibt erhalten. Bei genau hundert Minuten kosten beide Tarife zwanzig Euro.

5. Lösung zu Aufgabe 5 (4 BE/Punkte)

   Annahme \(\sqrt2=\frac pq\) teilerfremd; \(p^2=2q^2\Rightarrow p\) gerade, \(p=2r\Rightarrow q^2=2r^2\Rightarrow q\) gerade; Widerspruch zur Teilerfremdheit (4 P.).

   Der Beweis beginnt mit der Annahme eines vollständig gekürzten Bruchs. Aus \(p^2=2q^2\) folgt, dass \(p^2\) und damit \(p\) gerade ist, denn das Quadrat einer ungeraden Zahl ist ungerade. Einsetzen von \(p=2r\) zeigt, dass auch \(q\) gerade ist. Der Widerspruch zur Kürzung beweist die Irrationalität.

Gesamt : 20 Punkte