Zahlbereiche, Gleichungen und Ungleichungen – Mathe Studium 1. Semester Arbeitsblatt zum Herunterladen als PDF

Ordnen Sie jede Zahl dem kleinsten Zahlbereich \(\mathbb N,\mathbb Z,\mathbb Q,\mathbb R\) oder \(\mathbb C\) zu, in dem sie liegt, und begründen Sie kurz.

a) \(-3\), \(\sqrt{16}\), \(0{,}25\)
b) \(0{,}\overline3\), \(\sqrt2\), \(\pi\)
c) \(i\), \(\sqrt{-4}\), \(\frac{22}7\)

Führen Sie die Beweise durch Widerspruch.

a) Zeigen Sie, dass \(\sqrt3\) irrational ist. Benutzen Sie: Ist \(p^2\) durch \(3\) teilbar, so auch \(p\).
b) Zeigen Sie: Ist \(r\) rational und \(s\) irrational, so ist \(r+s\) irrational.
c) Zeigen Sie, dass \(\sqrt2+\sqrt3\) irrational ist. Quadrieren Sie dazu.

Lösen Sie die Gleichungen durch Fallunterscheidung und machen Sie die Probe.

a) \(|x-3|=5\)
b) \(|2x+1|=|x-4|\)
c) \(|x|=x-2\)

Lösen Sie und geben Sie die Lösung als Intervall an. Deuten Sie jeweils mit Abständen auf der Zahlengeraden.

a) \(|x-2|<3\)
b) \(|2x+1|\ge5\)
c) \(|x+1|\le0\)

Lösen Sie die Gleichungen. Prüfen Sie jede gefundene Zahl in der Ausgangsgleichung.

a) \(\sqrt{x+7}=x+1\)
b) \(\sqrt{2x+3}-\sqrt{x+1}=1\)
c) Erklären Sie, warum beim Quadrieren Scheinlösungen entstehen können.

Bestimmen Sie die Definitionsmenge und lösen Sie.

a) \(\frac2{x-1}+\frac1{x+1}=\frac3{x^2-1}\)
b) \(\frac x{x-2}-\frac2{x-2}=1\)
c) \(\frac1x+\frac1{x+1}=\frac56\)

Eine Schraube hat den Durchmesser \(d\) mit \(|d-8|\le0{,}05\) (in mm), die Bohrung den Durchmesser \(\ell\) mit \(|\ell-8{,}1|\le0{,}03\). Das Spiel ist \(s=\ell-d\).

a) Geben Sie die möglichen Werte von \(d\) und \(\ell\) als Intervalle an.
b) Bestimmen Sie das kleinste und das größte mögliche Spiel.
c) Zeigen Sie mit der Dreiecksungleichung \(|s-0{,}1|\le0{,}08\).
d) Passt jede Schraube in jede Bohrung?

Tarif A kostet \(5\) € Grundgebühr und \(0{,}09\) € pro Minute, Tarif B \(9\) € Grundgebühr und \(0{,}04\) € pro Minute. Sei \(m\) die Zahl der Gesprächsminuten pro Monat.

a) Stellen Sie die Kosten \(K_A(m)\) und \(K_B(m)\) auf.
b) Für welche \(m\) ist Tarif A günstiger? Lösen Sie die Ungleichung.
c) Wie teuer sind beide Tarife bei \(80\) Minuten?
d) Eine Studentin telefoniert zwischen \(60\) und \(120\) Minuten im Monat. Welcher Tarif ist im ungünstigsten Fall teurer, und um wie viel?

In der Fahrschule lernt man die Faustformel für den Anhalteweg (in m) bei der Geschwindigkeit \(v\) (in km/h): Reaktionsweg \(3\cdot\frac v{10}\) plus Bremsweg \(\left(\frac v{10}\right)^2\).

a) Stellen Sie den Anhalteweg \(s(v)\) auf und berechnen Sie ihn für \(30\) und \(50\) km/h.
b) Vor einem Kindergarten soll der Anhalteweg höchstens \(40\) m betragen. Stellen Sie die Ungleichung auf.
c) Lösen Sie die quadratische Ungleichung.
d) Um wie viel Prozent wächst der Bremsweg, wenn man \(60\) statt \(50\) km/h fährt?

Ein rechteckiges Gemüsebeet soll mit \(20\) m Einfassung umrandet werden. Die eine Seite ist \(x\) m lang.

a) Drücken Sie die zweite Seite und die Fläche \(A(x)\) durch \(x\) aus.
b) Für welche \(x\) ist die Fläche mindestens \(21\,\mathrm m^2\)?
c) Zeigen Sie mit der Ungleichung zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel, dass die Fläche höchstens \(25\,\mathrm m^2\) ist.
d) Für welche Form wird die größte Fläche erreicht?

Ein Landwirt will eine rechteckige Weide mit genau \(36\) Ar (\(3600\,\mathrm m^2\)) einzäunen und dabei möglichst wenig Zaun verbrauchen. Die Seiten seien \(a\) und \(b\).

a) Zeigen Sie mit \(\frac{a+b}2\ge\sqrt{ab}\), dass der Umfang mindestens \(240\) m beträgt.
b) Wann wird der kleinste Umfang erreicht?
c) Wie viel Zaun braucht ein Rechteck mit \(40\) m mal \(90\) m?
d) Beweisen Sie die Ungleichung \(\frac{a+b}2\ge\sqrt{ab}\) für \(a,b\ge0\).

Auf einer Wanderkarte sind drei Hütten A, B, C eingezeichnet. Von A nach B sind es \(5\) km Luftlinie, von B nach C \(3\) km.

a) Schätzen Sie die Luftlinie von A nach C mit der Dreiecksungleichung nach oben ab.
b) Schätzen Sie sie mit der umgekehrten Dreiecksungleichung nach unten ab.
c) Wann werden die Grenzen erreicht?
d) Auf der Zahlengeraden ist \(|a-c|\le|a-b|+|b-c|\). Zeigen Sie dies mit der Dreiecksungleichung \(|u+v|\le|u|+|v|\).

Lösen Sie die Ungleichungen über die Nullstellen der zugehörigen Parabel und geben Sie die Lösung als Intervall an.

a) \(x^2-5x+6>0\)
b) \(x^2+2x+5>0\)
c) \(-x^2+4x\ge3\)
d) \(x^2\le2x\)

Lösen Sie mit einer Vorzeichentabelle.

a) \(\frac{x+1}{x-2}\le2\)
b) \(\frac1x>x\)
c) \(\frac{x^2-1}{x+3}\ge0\)

Gegeben ist \(f(x)=|x-1|+|x+2|\).

a) Schreiben Sie \(f\) abschnittsweise ohne Beträge.
b) Lösen Sie \(f(x)=5\).
c) Lösen Sie \(f(x)\le5\).
d) Welchen kleinsten Wert nimmt \(f\) an? Deuten Sie das Ergebnis geometrisch.
e) Für welche \(c\) hat \(f(x)=c\) genau zwei Lösungen?

Bestimmen Sie Supremum, Infimum, Maximum und Minimum, sofern sie existieren.

a) \(M_1=\left\{1-\frac1n:n\in\mathbb N\right\}\)
b) \(M_2=\left\{\frac{(-1)^n}n:n\in\mathbb N\right\}\)
c) \(M_3=\{x\in\mathbb Q:x^2<2\}\) als Teilmenge von \(\mathbb Q\) und von \(\mathbb R\)
d) Warum ist das Vollständigkeitsaxiom für die Analysis unverzichtbar?

Für positive Zahlen \(a,b\) betrachtet man das arithmetische Mittel \(A=\frac{a+b}2\), das geometrische \(G=\sqrt{ab}\) und das harmonische \(H=\frac{2ab}{a+b}\).

a) Berechnen Sie \(A,G,H\) für \(a=4\), \(b=9\).
b) Zeigen Sie \(a+\frac1a\ge2\) für \(a>0\).
c) Zeigen Sie \(H\le G\). Hinweis: \(H=\frac{G^2}A\).
d) Ein Auto fährt eine Strecke hin mit \(40\) km/h und zurück mit \(60\) km/h. Welches Mittel gibt die Durchschnittsgeschwindigkeit an?

Die rationalen Zahlen liegen dicht in \(\mathbb R\); die irrationalen auch.

a) Zeigen Sie: Zwischen zwei rationalen Zahlen \(a<b\) liegt eine weitere rationale Zahl.
b) Zeigen Sie, dass \(a+\frac{b-a}{\sqrt2}\) irrational ist und zwischen \(a\) und \(b\) liegt.
c) Geben Sie eine irrationale Zahl zwischen \(\frac13\) und \(\frac12\) an.
d) Folgern Sie, dass jedes Intervall unendlich viele rationale und unendlich viele irrationale Zahlen enthält.

Eine \(5\) m lange Leiter lehnt an einer senkrechten Wand. Ihr Fußpunkt steht \(x\) m von der Wand entfernt, ihr oberes Ende liegt \(1\) m höher, als der Fuß von der Wand entfernt ist.

a) Stellen Sie eine Wurzelgleichung für \(x\) auf.
b) Lösen Sie sie und machen Sie die Probe.
c) Aus Sicherheitsgründen soll der Anstellwinkel zwischen \(65^\circ\) und \(75^\circ\) liegen. Geben Sie die zulässigen Abstände \(x\) als Ungleichung an und prüfen Sie Ihre Lösung.

Für reelle Zahlen \(a,b,c,d\) gilt \((ac+bd)^2\le(a^2+b^2)(c^2+d^2)\).

a) Beweisen Sie die Ungleichung, indem Sie die Differenz der beiden Seiten als Quadrat schreiben.
b) Wann gilt Gleichheit?
c) Bestimmen Sie den größten Wert von \(3x+4y\) unter der Bedingung \(x^2+y^2=1\).
d) Deuten Sie die Ungleichung mit dem Skalarprodukt der Vektoren \((a,b)\) und \((c,d)\).