Zahlbereiche, Gleichungen und Ungleichungen – Mathe Studium 1. Semester Arbeitsblatt Lösungen zum Herunterladen als PDF

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1. Lösung zu Aufgabe 1

   a) \(-3\in\mathbb Z\) (negative ganze Zahl, nicht natürlich). \(\sqrt{16}=4\in\mathbb N\): Man muss eine Wurzel erst ausrechnen, bevor man sie einordnet. \(0{,}25=\frac14\in\mathbb Q\), eine abbrechende Dezimalzahl.
   b) \(0{,}\overline3=\frac13\in\mathbb Q\), denn periodische Dezimalzahlen sind rational. \(\sqrt2\in\mathbb R\setminus\mathbb Q\) (Beweis durch Widerspruch). \(\pi\in\mathbb R\setminus\mathbb Q\); ihre Irrationalität bewies Lambert 1761.
   c) \(i\in\mathbb C\setminus\mathbb R\) mit \(i^2=-1\). \(\sqrt{-4}\) meint die Lösungen von \(z^2=-4\), also \(\pm2i\in\mathbb C\). \(\frac{22}7\in\mathbb Q\) ist nur eine Näherung für \(\pi\), keine Gleichheit.

2. Lösung zu Aufgabe 2

   a) Angenommen \(\sqrt3=\frac pq\) teilerfremd. Dann \(p^2=3q^2\), also \(3\mid p\), \(p=3r\). Einsetzen: \(9r^2=3q^2\), \(q^2=3r^2\), also \(3\mid q\). Beide durch \(3\) teilbar – Widerspruch zur Teilerfremdheit.
   b) Wäre \(r+s=t\in\mathbb Q\), so wäre \(s=t-r\) als Differenz rationaler Zahlen rational. Das widerspricht der Voraussetzung. \(\square\)
   c) Wäre \(\sqrt2+\sqrt3=t\in\mathbb Q\), so \(t^2=5+2\sqrt6\) und \(\sqrt6=\frac{t^2-5}2\in\mathbb Q\). Wie bei \(\sqrt2\) zeigt man aber, dass \(\sqrt6\) irrational ist (aus \(p^2=6q^2\) folgt \(2\mid p\) und dann \(2\mid q\)). Widerspruch.

3. Lösung zu Aufgabe 3

   a) Abstand von \(x\) zu \(3\) ist \(5\): \(x=8\) oder \(x=-2\). Rechnerisch: \(x-3=5\) oder \(x-3=-5\). Probe: \(|5|=|-5|=5\).
   b) Zwei Beträge sind gleich, wenn die Inhalte gleich oder entgegengesetzt sind. \(2x+1=x-4\) ergibt \(x=-5\); \(2x+1=-(x-4)\) ergibt \(3x=3\), \(x=1\). Probe: \(|-9|=|-9|\), \(|3|=|-3|\). \(L=\{-5,1\}\).
   c) Fall \(x\ge0\): \(x=x-2\) ist unmöglich. Fall \(x<0\): \(-x=x-2\), also \(x=1\), das liegt aber nicht im Bereich \(x<0\). Also \(L=\emptyset\). Anschaulich: Die rechte Seite ist stets kleiner als \(|x|\).

4. Lösung zu Aufgabe 4

   a) Die Zahlen mit Abstand weniger als \(3\) von \(2\): \(-1<x<5\), also \(L=(-1,5)\). Rechnerisch: \(-3<x-2<3\), dann \(2\) addieren.
   b) \(2x+1\ge5\) oder \(2x+1\le-5\), also \(x\ge2\) oder \(x\le-3\). \(L=(-\infty,-3]\cup[2,\infty)\): Der Abstand von \(x\) zu \(-\frac12\) ist mindestens \(\frac52\).
   c) Ein Betrag ist nie negativ, also muss \(|x+1|=0\) sein: \(L=\{-1\}\). Auch eine Ungleichung kann eine einzige Lösung haben.

5. Lösung zu Aufgabe 5

   a) Quadrieren: \(x+7=x^2+2x+1\), also \(x^2+x-6=0\), \(x=2\) oder \(x=-3\). Probe: \(\sqrt9=3=2+1\) stimmt; \(\sqrt4=2\ne-2\) stimmt nicht. \(L=\{2\}\).
   b) Isolieren: \(\sqrt{2x+3}=1+\sqrt{x+1}\). Quadrieren: \(2x+3=x+2+2\sqrt{x+1}\), also \(x+1=2\sqrt{x+1}\). Nochmals quadrieren: \((x+1)^2=4(x+1)\), also \(x=-1\) oder \(x=3\). Probe: \(1-0=1\) und \(3-2=1\). \(L=\{-1,3\}\).
   c) Aus \(a=b\) folgt \(a^2=b^2\), aber nicht umgekehrt: Auch \(a=-b\) führt auf \(a^2=b^2\). Die Lösung der quadrierten Gleichung kann deshalb zu \(\sqrt{\dots}=-(\dots)\) gehören.

6. Lösung zu Aufgabe 6

   a) \(D=\mathbb R\setminus\{-1,1\}\). Mit dem Hauptnenner \(x^2-1\): \(2(x+1)+(x-1)=3\), also \(3x+1=3\), \(x=\frac23\in D\). Probe: \(-6+\frac35=-\frac{27}5\) und \(\frac3{-5/9}=-\frac{27}5\).
   b) \(D=\mathbb R\setminus\{2\}\). Links steht \(\frac{x-2}{x-2}=1\) für alle \(x\in D\). Die Gleichung ist für jedes \(x\ne2\) erfüllt: \(L=\mathbb R\setminus\{2\}\).
   c) \(D=\mathbb R\setminus\{-1,0\}\). Multiplikation mit \(6x(x+1)\): \(6(x+1)+6x=5x(x+1)\), also \(5x^2-7x-6=0\), \(x=2\) oder \(x=-\frac35\). Beide liegen in \(D\); Probe für \(2\): \(\frac12+\frac13=\frac56\).

7. Lösung zu Aufgabe 7

   a) \(d\in[7{,}95;\,8{,}05]\) und \(\ell\in[8{,}07;\,8{,}13]\). Ein Betrag \(|y-a|\le c\) beschreibt das Intervall \([a-c,a+c]\).
   b) Kleinstes Spiel: kleinste Bohrung, dickste Schraube: \(8{,}07-8{,}05=0{,}02\) mm. Größtes Spiel: \(8{,}13-7{,}95=0{,}18\) mm.
   c) \(s-0{,}1=(\ell-8{,}1)-(d-8)\), also \(|s-0{,}1|\le|\ell-8{,}1|+|d-8|\le0{,}03+0{,}05=0{,}08\). Die Toleranzen addieren sich.
   d) Ja, denn das Spiel ist immer mindestens \(0{,}02\) mm und damit positiv. Wären die Toleranzen größer, könnte das Spiel negativ werden und manche Paare würden klemmen.

8. Lösung zu Aufgabe 8

   a) \(K_A(m)=5+0{,}09m\) und \(K_B(m)=9+0{,}04m\), jeweils in Euro.
   b) \(5+0{,}09m<9+0{,}04m\iff0{,}05m<4\iff m<80\). Bis unter \(80\) Minuten ist Tarif A günstiger, darüber Tarif B. Die Division durch die positive Zahl \(0{,}05\) ändert das Zeichen nicht.
   c) \(K_A(80)=5+7{,}20=12{,}20\) € und \(K_B(80)=9+3{,}20=12{,}20\) €: Gleichstand.
   d) Bei \(120\) Minuten kostet A \(15{,}80\) € und B \(13{,}80\) €; bei \(60\) Minuten kostet A \(10{,}40\) € und B \(11{,}40\) €. Mit A riskiert sie also höchstens \(2\) € Mehrkosten, mit B höchstens \(1\) €; B ist die sicherere Wahl.

9. Lösung zu Aufgabe 9

   a) \(s(v)=0{,}3v+\frac{v^2}{100}\). \(s(30)=9+9=18\) m und \(s(50)=15+25=40\) m.
   b) \(0{,}3v+\frac{v^2}{100}\le40\), nach Multiplikation mit \(100\): \(v^2+30v-4000\le0\).
   c) Nullstellen: \(v=\frac{-30\pm\sqrt{900+16\,000}}2=\frac{-30\pm130}2\), also \(50\) und \(-80\). Die Parabel ist nach oben geöffnet und zwischen den Nullstellen negativ. Mit \(v\ge0\) folgt \(0\le v\le50\) km/h.
   d) Bremsweg \(36\) m statt \(25\) m, also \(\frac{36}{25}=1{,}44\): \(44\,\%\) mehr. Der Bremsweg wächst quadratisch mit der Geschwindigkeit.

10. Lösung zu Aufgabe 10

    a) Halber Umfang \(10\), also zweite Seite \(10-x\) und \(A(x)=x(10-x)\) mit \(0<x<10\).
    b) \(x(10-x)\ge21\iff x^2-10x+21\le0\iff(x-3)(x-7)\le0\iff3\le x\le7\).
    c) \(\sqrt{x(10-x)}\le\frac{x+(10-x)}2=5\), also \(A(x)\le25\). Gleichheit gilt genau bei gleichen Seiten.
    d) Bei \(x=10-x\), also \(x=5\): ein Quadrat mit \(5\) m Seitenlänge und \(25\,\mathrm m^2\) Fläche.

11. Lösung zu Aufgabe 11

    a) \(U=2(a+b)\ge4\sqrt{ab}=4\sqrt{3600}=4\cdot60=240\) m. Die Abschätzung gilt für jedes Rechteck mit dieser Fläche.
    b) Gleichheit in der Mittelungleichung gilt genau für \(a=b\), also für das Quadrat mit \(60\) m Seitenlänge.
    c) \(2(40+90)=260\) m, also \(20\) m mehr als beim Quadrat, obwohl die Fläche dieselbe ist.
    d) \(0\le(\sqrt a-\sqrt b)^2=a-2\sqrt{ab}+b\). Umstellen und durch \(2\) teilen liefert \(\frac{a+b}2\ge\sqrt{ab}\). Gleichheit genau bei \(\sqrt a=\sqrt b\). \(\square\)

12. Lösung zu Aufgabe 12

    a) \(\overline{AC}\le\overline{AB}+\overline{BC}=5+3=8\) km: Ein Umweg über B ist nie kürzer als der direkte Weg.
    b) \(\overline{AC}\ge|\overline{AB}-\overline{BC}|=|5-3|=2\) km.
    c) Die obere Grenze, wenn B auf der Strecke zwischen A und C liegt; die untere, wenn C auf der Strecke von A nach B liegt. Dazwischen ist jede Entfernung möglich.
    d) Setze \(u=a-b\) und \(v=b-c\). Dann ist \(u+v=a-c\), und die Dreiecksungleichung liefert \(|a-c|\le|a-b|+|b-c|\). \(\square\)

13. Lösung zu Aufgabe 13

    a) Nullstellen \(2\) und \(3\); die Parabel ist nach oben geöffnet und außerhalb von \([2,3]\) positiv. \(L=(-\infty,2)\cup(3,\infty)\).
    b) Die Diskriminante \(4-20<0\): keine Nullstellen. Mit quadratischer Ergänzung \((x+1)^2+4>0\) für alle \(x\). \(L=\mathbb R\).
    c) \(x^2-4x+3\le0\iff(x-1)(x-3)\le0\iff1\le x\le3\). Beachten Sie die Umkehrung des Zeichens beim Multiplizieren mit \(-1\). \(L=[1,3]\).
    d) \(x^2-2x\le0\iff x(x-2)\le0\iff0\le x\le2\). Teilen durch \(x\) wäre falsch, weil \(x\) negativ oder null sein kann. \(L=[0,2]\).

14. Lösung zu Aufgabe 14

    a) \(x\ne2\). \(\frac{x+1-2(x-2)}{x-2}=\frac{5-x}{x-2}\le0\). Vorzeichen: negativ für \(x<2\), positiv auf \((2,5)\), null bei \(5\), negativ für \(x>5\). \(L=(-\infty,2)\cup[5,\infty)\).
    b) \(x\ne0\). \(\frac1x-x=\frac{1-x^2}x>0\). Zähler positiv auf \((-1,1)\), Nenner positiv für \(x>0\). Der Bruch ist positiv für \(x<-1\) und für \(0<x<1\). \(L=(-\infty,-1)\cup(0,1)\).
    c) \(x\ne-3\). Kritische Stellen \(-3,-1,1\). Vorzeichen von links nach rechts: \(-,+,-,+\). Mit den Nullstellen des Zählers: \(L=(-3,-1]\cup[1,\infty)\).

15. Lösung zu Aufgabe 15

    a) \(f(x)=-2x-1\) für \(x<-2\); \(f(x)=3\) für \(-2\le x<1\); \(f(x)=2x+1\) für \(x\ge1\).
    b) \(-2x-1=5\) ergibt \(x=-3<-2\); \(3=5\) ist unmöglich; \(2x+1=5\) ergibt \(x=2\ge1\). \(L=\{-3,2\}\).
    c) Im mittleren Bereich ist \(f=3\le5\). Links \(-2x-1\le5\iff x\ge-3\), rechts \(2x+1\le5\iff x\le2\). \(L=[-3,2]\).
    d) Der kleinste Wert ist \(3\), angenommen auf \([-2,1]\). \(f(x)\) ist die Summe der Abstände zu \(1\) und \(-2\); zwischen den Punkten ist sie gleich ihrem Abstand \(3\).
    e) Für jedes \(c>3\) gibt es genau zwei Lösungen, je eine links und rechts. Bei \(c=3\) ist es ein ganzes Intervall, bei \(c<3\) keine.

16. Lösung zu Aufgabe 16

    a) Die Elemente \(0,\frac12,\frac23,\dots\) wachsen gegen \(1\). Supremum \(1\), kein Maximum; Infimum \(0=\) Minimum (bei \(n=1\)).
    b) Elemente \(-1,\frac12,-\frac13,\frac14,\dots\). Maximum \(\frac12\) (bei \(n=2\)), Minimum \(-1\) (bei \(n=1\)); beide sind zugleich Supremum und Infimum.
    c) In \(\mathbb R\) ist \(\sup M_3=\sqrt2\), das nicht dazugehört. In \(\mathbb Q\) gibt es kein Supremum: Zu jeder rationalen oberen Schranke gibt es eine kleinere, weil \(\sqrt2\) fehlt.
    d) Ohne Vollständigkeit hätten monotone beschränkte Folgen keinen Grenzwert, \(x^2=2\) keine Lösung und der Zwischenwertsatz wäre falsch. Genau diese Lücken hat \(\mathbb Q\).

17. Lösung zu Aufgabe 17

    a) \(A=6{,}5\), \(G=\sqrt{36}=6\), \(H=\frac{72}{13}\approx5{,}54\). Es gilt \(H\le G\le A\).
    b) Mit \(b=\frac1a\) in \(\frac{a+b}2\ge\sqrt{ab}\): \(\frac{a+1/a}2\ge1\). Gleichheit genau für \(a=1\).
    c) \(H=\frac{2ab}{a+b}=\frac{ab}{(a+b)/2}=\frac{G^2}A\). Wegen \(A\ge G\) folgt \(H=G\cdot\frac GA\le G\).
    d) Gesamtstrecke \(2s\), Gesamtzeit \(\frac s{40}+\frac s{60}\). Durchschnitt \(\frac{2s}{s/40+s/60}=\frac{2\cdot40\cdot60}{100}=48\) km/h: das harmonische Mittel, nicht \(50\).

18. Lösung zu Aufgabe 18

    a) Der Mittelwert \(\frac{a+b}2\) ist rational und erfüllt \(a<\frac{a+b}2<b\).
    b) Wäre die Zahl rational, so auch \(\frac{b-a}{\sqrt2}\) und damit \(\sqrt2=\frac{b-a}{\text{rational}}\) – Widerspruch. Wegen \(0<\frac1{\sqrt2}<1\) liegt sie zwischen \(a\) und \(b\).
    c) \(\frac13+\frac{1/6}{\sqrt2}\approx0{,}4512\) liegt zwischen \(0{,}3333\) und \(0{,}5\).
    d) Wendet man a) und b) immer wieder auf das linke Teilintervall an, erhält man beliebig viele verschiedene Zahlen beider Arten.

19. Lösung zu Aufgabe 19

    a) Nach Pythagoras ist die Höhe \(\sqrt{25-x^2}\). Bedingung: \(\sqrt{25-x^2}=x+1\).
    b) Quadrieren: \(25-x^2=x^2+2x+1\), also \(x^2+x-12=0\), \(x=3\) oder \(x=-4\). Probe: \(\sqrt{16}=4=3+1\) stimmt; \(x=-4\) ist als Abstand sinnlos und erfüllt die Gleichung auch nicht (\(3\ne-3\)). Der Fuß steht \(3\) m entfernt, oben \(4\) m hoch.
    c) \(x=5\cos\alpha\): \(5\cos75^\circ\le x\le5\cos65^\circ\), also etwa \(1{,}29\le x\le2{,}11\) m. Der Wert \(x=3\) ist zu groß: Die Leiter steht zu flach (\(\cos\alpha=0{,}6\), \(\alpha\approx53{,}1^\circ\)).

20. Lösung zu Aufgabe 20

    a) \((a^2+b^2)(c^2+d^2)-(ac+bd)^2=a^2d^2+b^2c^2-2abcd=(ad-bc)^2\ge0\). \(\square\)
    b) Genau für \(ad=bc\), also wenn \((a,b)\) und \((c,d)\) parallel sind.
    c) \((3x+4y)^2\le(9+16)(x^2+y^2)=25\), also \(3x+4y\le5\). Gleichheit bei \((x,y)\) parallel zu \((3,4)\): \(x=\frac35\), \(y=\frac45\), dann \(\frac95+\frac{16}5=5\).
    d) Die Ungleichung lautet \(|u\cdot v|\le|u|\,|v|\). Wegen \(u\cdot v=|u||v|\cos\varphi\) ist sie gleichbedeutend mit \(|\cos\varphi|\le1\).