Lineare Abbildungen und Matrizen – Mathe Studium 1. Semester Klassenarbeit zum Herunterladen als PDF

Gegeben ist \(f:\mathbb R^3\to\mathbb R^2\), \(f(x,y,z)=(x-y,\;2y+z)\).

a) Zeigen Sie, dass \(f\) linear ist, und geben Sie die Matrix \(A\) an.
b) Berechnen Sie \(f(1,2,3)\) mit der Matrix.

Gegeben sind \(A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}\) und \(B=\begin{pmatrix}1&-1\\0&2\end{pmatrix}\).

a) Berechnen Sie \(AB\) und \(BA\).
b) Berechnen Sie \(A^{-1}\) und machen Sie die Probe.
c) Berechnen Sie \(\det(AB)\) auf zwei Arten.

Gegeben ist \(A=\begin{pmatrix}1&1&2\\2&1&3\\1&0&1\end{pmatrix}\).

a) Bestimmen Sie den Rang von \(A\).
b) Bestimmen Sie eine Basis des Kerns.
c) Geben Sie eine Basis des Bildes an und prüfen Sie die Dimensionsformel.

Eine Bäckerei braucht für die Teige \(T_1,T_2\) die Zutaten Mehl (M) und Zucker (Z) gemäß \(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&1\end{pmatrix}\) (Zeilen: M, Z; Spalten: \(T_1,T_2\); in 100 g). Für je ein Blech Brezeln (B) und ein Blech Kuchen (K) braucht sie die Teige gemäß \(B=\begin{pmatrix}0&2\\1&1\end{pmatrix}\) (Zeilen: \(T_1,T_2\); Spalten: B, K; in Portionen).

a) Berechnen Sie \(C=AB\) und deuten Sie \(c_{22}\).
b) Wie viel Mehl und Zucker braucht man für \(5\) Bleche Brezeln und \(10\) Bleche Kuchen?

Gegeben ist \(A=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}\) und die Basis \(b_1=(1,1)^T\), \(b_2=(1,-1)^T\).

a) Bestimmen Sie die Matrix von \(x\mapsto Ax\) in der Basis \(b_1,b_2\).
b) Berechnen Sie damit \(A^4\).