Lineare Abbildungen und Matrizen – Mathe Studium 1. Semester Lernzettel zum Herunterladen als PDF

Lineare Abbildungen

Darstellungsmatrix und Matrizenmultiplikation

Inverse Matrizen und Basiswechsel

Linearität nachweisen und widerlegen

Eine Abbildung \(f:V\to W\) zwischen Vektorräumen über demselben Körper heißt linear, wenn sie Summen und Vielfache respektiert: \(f(u+v)=f(u)+f(v)\) und \(f(\lambda v)=\lambda f(v)\). Beide Bedingungen lassen sich zu einer einzigen zusammenfassen: \(f(\lambda u+\mu v)=\lambda f(u)+\mu f(v)\) für alle Vektoren und Skalare. Aus der Definition folgt sofort \(f(0)=0\). Diese Folgerung ist ein bequemer Schnelltest: Wird der Nullvektor nicht auf den Nullvektor abgebildet, kann \(f\) nicht linear sein. Umgekehrt beweist \(f(0)=0\) noch keine Linearität.

Kern, Bild und die Dimensionsformel

Der Kern \(\ker f=\{v\in V:f(v)=0\}\) ist ein Untervektorraum von \(V\), das Bild \(\operatorname{im}f=\{f(v):v\in V\}\) ein Untervektorraum von \(W\). Der Kern misst, wie viel Information die Abbildung „verschluckt“: \(f\) ist genau dann injektiv, wenn \(\ker f=\{0\}\) gilt. Das Bild entscheidet über die Surjektivität. Für eine Matrix \(A\) ist der Kern die Lösungsmenge des homogenen Systems \(Ax=0\), und das Bild wird von den Spalten erzeugt. Seine Dimension heißt Rang von \(A\).

Warum Zeile mal Spalte?

Die Regel der Matrizenmultiplikation ist keine Willkür. Sind \(g:\mathbb R^n\to\mathbb R^m\) und \(f:\mathbb R^m\to\mathbb R^k\) linear mit den Matrizen \(B\) und \(A\), so ist auch die Verkettung \(f\circ g\) linear. Ihre \(j\)-te Spalte ist das Bild des \(j\)-ten Einheitsvektors: \(f(g(e_j))=A(Be_j)\), also \(A\) mal die \(j\)-te Spalte von \(B\). Genau so ist das Produkt \(AB\) definiert. Daraus erklären sich alle Rechenregeln: Das Produkt ist assoziativ, weil die Verkettung von Abbildungen assoziativ ist, und im Allgemeinen nicht kommutativ, weil es auf die Reihenfolge zweier Bewegungen ankommt. Erst drehen und dann spiegeln ergibt meist etwas anderes als erst spiegeln und dann drehen. Beachten Sie die Leserichtung: In \(AB\) wird zuerst \(B\), dann \(A\) angewendet.

Inverse Matrizen mit dem Gauß-Jordan-Verfahren

Eine quadratische Matrix \(A\) ist genau dann invertierbar, wenn die zugehörige Abbildung bijektiv ist, also genau dann, wenn \(\operatorname{rang}A=n\) oder \(\det A\ne0\) gilt. Für \(2\times2\)-Matrizen gibt es eine Formel: \(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1}=\frac1{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\). Für größere Matrizen schreibt man \((A\,|\,E)\) nebeneinander und formt mit elementaren Zeilenumformungen so lange um, bis links die Einheitsmatrix steht. Rechts steht dann \(A^{-1}\). Entsteht links eine Nullzeile, ist \(A\) nicht invertierbar.

Basiswechsel und ähnliche Matrizen

Die Matrix einer linearen Abbildung hängt von der gewählten Basis ab. Sind die neuen Basisvektoren \(b_1,\dots,b_n\) die Spalten der invertierbaren Matrix \(T\), so hat die Abbildung \(x\mapsto Ax\) bezüglich der neuen Basis die Matrix \(T^{-1}AT\). Matrizen, die so auseinander hervorgehen, heißen ähnlich; sie beschreiben dieselbe Abbildung aus verschiedenen Blickwinkeln und haben deshalb dieselbe Determinante, dieselbe Spur und denselben Rang. Geschickt gewählte Basen machen die Matrix besonders einfach, im besten Fall diagonal. Das ist der Ausgangspunkt der Eigenwerttheorie im nächsten Kapitel.

Der Vektorraum der linearen Abbildungen

Lineare Abbildungen kann man nicht nur verketten, sondern auch addieren und mit Zahlen multiplizieren: \((f+g)(v)=f(v)+g(v)\) und \((\lambda f)(v)=\lambda f(v)\). Die Menge aller linearen Abbildungen von \(V\) nach \(W\) ist damit selbst ein Vektorraum, und bei \(\dim V=n\), \(\dim W=m\) entspricht er dem Raum der \(m\times n\)-Matrizen mit der Dimension \(mn\). Die Matrix der Summe ist die Summe der Matrizen, die Matrix des Vielfachen das Vielfache der Matrix. Für Matrizenprodukte gelten die Distributivgesetze \(A(B+C)=AB+AC\) und \((A+B)C=AC+BC\), außerdem \((AB)^T=B^TA^T\). Die quadratischen \(n\times n\)-Matrizen bilden mit Addition und Multiplikation einen Ring mit Einselement \(E\), der für \(n\ge2\) weder kommutativ noch nullteilerfrei ist: Schon \(\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}^2=0\) zeigt, dass ein Produkt verschwinden kann, obwohl kein Faktor die Nullmatrix ist.