Eigenwerte und Eigenvektoren – Mathe Studium 1. Semester Lernzettel zum Herunterladen als PDF

Eigenwerte und Eigenvektoren

Eigenschaften

Diagonalisierbarkeit

Das charakteristische Polynom in der Praxis

Ein Eigenvektor \(v\ne0\) erfüllt \(Av=\lambda v\), also \((A-\lambda E)v=0\). Dieses homogene System hat genau dann eine nichttriviale Lösung, wenn die Matrix \(A-\lambda E\) nicht invertierbar ist, das heißt wenn \(\det(A-\lambda E)=0\). Die linke Seite ist ein Polynom vom Grad \(n\) in \(\lambda\), das charakteristische Polynom. Seine Nullstellen sind die Eigenwerte. Bei \(2\times2\)-Matrizen gilt immer \(\chi_A(\lambda)=\lambda^2-\operatorname{tr}(A)\,\lambda+\det A\), wobei die Spur \(\operatorname{tr}A\) die Summe der Diagonalelemente ist. Das erspart Rechenarbeit: Man berechnet nur Spur und Determinante und löst die quadratische Gleichung. Bei Dreiecksmatrizen stehen die Eigenwerte direkt auf der Diagonale, weil das charakteristische Polynom ein Produkt von Linearfaktoren ist.

Vielfachheiten und Diagonalisierbarkeit

Ein Eigenwert kann mehrfache Nullstelle des charakteristischen Polynoms sein. Die Vielfachheit der Nullstelle heißt algebraische Vielfachheit. Die Dimension des Eigenraums \(\ker(A-\lambda E)\) heißt geometrische Vielfachheit. Stets gilt: \(1\le\) geometrische \(\le\) algebraische Vielfachheit. Eine Matrix ist genau dann diagonalisierbar, wenn das charakteristische Polynom über \(\mathbb R\) (oder \(\mathbb C\)) vollständig in Linearfaktoren zerfällt und für jeden Eigenwert die beiden Vielfachheiten gleich sind. Haben alle \(n\) Eigenwerte verschiedene Werte, ist die Matrix automatisch diagonalisierbar. Symmetrische reelle Matrizen sind nach dem Spektralsatz immer diagonalisierbar, ihre Eigenwerte sind reell, und Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten stehen senkrecht aufeinander.

Diagonalisieren und Potenzen berechnen

Sind \(v_1,\dots,v_n\) linear unabhängige Eigenvektoren, so erhält man mit der Matrix \(P=(v_1\mid\dots\mid v_n)\) die Darstellung \(A=PDP^{-1}\), wobei \(D\) die Diagonalmatrix der Eigenwerte ist. Daraus folgt \(A^k=PD^kP^{-1}\), und \(D^k\) berechnet man, indem man jeden Eigenwert potenziert. Auf diese Weise sind Potenzen großer Ordnung leicht zu berechnen, und das Verhalten für \(k\to\infty\) ist an den Eigenwerten ablesbar: Ist \(|\lambda|<1\) für alle Eigenwerte, so konvergiert \(A^k\to0\); gibt es einen dominierenden Eigenwert mit \(|\lambda_1|>|\lambda_2|\), so bestimmt dieser das Langzeitverhalten.

Anwendungen: Markov-Ketten und Schwingungen

In einer Markov-Kette beschreibt eine spaltenstochastische Matrix \(P\) (Spaltensummen \(1\)), mit welcher Wahrscheinlichkeit ein System von einem Zustand in einen anderen wechselt. Der Verteilungsvektor entwickelt sich nach \(x_{k+1}=Px_k\). Jede solche Matrix hat den Eigenwert \(1\); der zugehörige Eigenvektor, auf Summe \(1\) normiert, ist die stationäre Verteilung, die sich langfristig einstellt. In der Mechanik führen gekoppelte Schwinger auf Gleichungen der Form \(\ddot x=-Kx\); die Eigenwerte von \(K\) sind die Quadrate der Eigenfrequenzen, die Eigenvektoren die Schwingungsformen. In der Statistik liefern die Eigenvektoren der Kovarianzmatrix die Hauptachsen einer Punktwolke.

Ein weiteres wichtiges Anwendungsfeld ist die Hauptkomponentenanalyse: Man zerlegt die Kovarianzmatrix einer Messreihe in ihre Eigenvektoren und behält nur die Richtungen mit den größten Eigenwerten, weil dort die meiste Streuung der Daten liegt. So komprimieren Programme Bilder und Messdaten, ohne die wesentliche Information zu verlieren. Auch bei der Stabilität technischer Systeme entscheidet das Vorzeichen der Eigenwerte, ob eine Störung abklingt oder aufschaukelt.

Geometrische Deutung und komplexe Eigenwerte

Geometrisch beschreibt ein Eigenvektor eine Gerade durch den Ursprung, die von der Abbildung auf sich selbst abgebildet wird. Ein positiver Eigenwert streckt oder staucht entlang dieser Geraden, ein negativer spiegelt zusätzlich am Ursprung, und der Eigenwert null klappt die Gerade auf den Nullpunkt zusammen. Bei einer Drehung der Ebene um einen Winkel, der kein Vielfaches von \(180^\circ\) ist, gibt es keine reelle Eigenrichtung, denn jede Gerade wird gedreht. Das charakteristische Polynom \(\lambda^2-2\cos\alpha\,\lambda+1\) besitzt dann keine reelle Nullstelle, sondern das konjugiert komplexe Paar \(e^{\pm i\alpha}\). Über den komplexen Zahlen zerfällt jedes Polynom in Linearfaktoren, und deshalb hat jede komplexe quadratische Matrix mindestens einen Eigenwert. Reelle Matrizen mit komplexen Eigenwerten beschreiben Drehstreckungen und treten bei gedämpften Schwingungen auf. Reelle Matrizen haben komplexe Eigenwerte immer paarweise konjugiert.