Eigenwerte und Eigenvektoren – Mathe Studium 1. Semester Klassenarbeit zum Herunterladen als PDF

Gegeben ist \(A=\begin{pmatrix}5&2\\2&2\end{pmatrix}\).

a) Bestimmen Sie die Eigenwerte.
b) Bestimmen Sie zugehörige Eigenvektoren.
c) Geben Sie \(P\) und \(D\) mit \(A=PDP^{-1}\) an.
d) Berechnen Sie \(A^3\) (zum Beispiel direkt) und prüfen Sie die Spur: Was muss die Summe \(1^3+6^3\) ergeben?

Jedes Jahr ziehen \(10\,\%\) der Stadtbevölkerung aufs Land, und \(30\,\%\) der Landbevölkerung in die Stadt. Der Zustandsvektor ist \(x=(s,l)^T\); \(P=\begin{pmatrix}0{,}9&0{,}3\\0{,}1&0{,}7\end{pmatrix}\).

a) Bestimmen Sie die Eigenwerte von \(P\).
b) Bestimmen Sie die stationäre Verteilung.
c) Anfangs wohnen \(50\,\%\) in der Stadt. Wie sieht die Verteilung nach einem Jahr aus?

Betrachten Sie \(A_t=\begin{pmatrix}1&t\\t&1\end{pmatrix}\).

a) Bestimmen Sie die Eigenwerte.
b) Für welche \(t\) ist \(A_t\) nicht invertierbar?
c) Ist \(A_t\) für jedes \(t\) diagonalisierbar? Begründen Sie.

Entscheiden Sie und begründen Sie kurz.

a) Jede reelle \(2\times2\)-Matrix besitzt einen reellen Eigenwert.
b) Hat eine \(n\times n\)-Matrix \(n\) verschiedene Eigenwerte, so ist sie diagonalisierbar.
c) \(0\) ist Eigenwert von \(A\) genau dann, wenn \(\det A=0\).

Eine \(3\times3\)-Matrix \(A\) hat die Eigenwerte \(1\), \(2\) und \(4\).

a) Bestimmen Sie \(\operatorname{tr}A\) und \(\det A\).
b) Bestimmen Sie die Eigenwerte von \(A^{-1}\) und \(A^2-A\).