Determinanten – Mathe Studium 1. Semester Lernzettel zum Herunterladen als PDF

Definition und Berechnung

Eigenschaften

Cramersche Regel und Geometrie

Der geometrische Hintergrund

Die Formel \(ad-bc\) ist kein Zufall. Die Spaltenvektoren \(v_1=(a,c)\) und \(v_2=(b,d)\) spannen ein Parallelogramm auf. Sein Flächeninhalt ist Grundseite mal Höhe, und eine kurze Rechnung mit dem Rechteck um das Parallelogramm ergibt genau \(|ad-bc|\). Liegen die beiden Vektoren auf einer Geraden, entartet das Parallelogramm zu einem Strich ohne Fläche, und die Determinante ist null. Das Vorzeichen zeigt, ob der Übergang von \(v_1\) nach \(v_2\) gegen den Uhrzeigersinn (positiv) oder im Uhrzeigersinn (negativ) erfolgt. Im Raum entspricht dem Parallelogramm der Spat, ein schiefer Quader, und die Determinante der drei Spaltenvektoren ist sein Volumen mit Vorzeichen; man nennt sie auch Spatprodukt. Weil eine lineare Abbildung \(x\mapsto Ax\) jede Figur um denselben Faktor streckt, ist \(|\det A|\) der Flächen- beziehungsweise Volumenfaktor der Abbildung.

Rechenregeln im Detail

Die drei Grundeigenschaften – Linearität in jeder Zeile, Vorzeichenwechsel beim Vertauschen und \(\det E=1\) – legen die Determinante eindeutig fest. Aus ihnen folgen alle praktischen Regeln. Addiert man ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen, bleibt der Wert gleich, denn der zusätzliche Summand enthält zwei proportionale Zeilen und ist daher null. Multipliziert man eine einzelne Zeile mit \(\lambda\), wird die Determinante mit \(\lambda\) multipliziert; multipliziert man die ganze \(n\times n\)-Matrix mit \(\lambda\), kommt der Faktor \(\lambda^n\) zustande, weil jede der \(n\) Zeilen betroffen ist. Eine Nullzeile oder zwei gleiche (oder proportionale) Zeilen liefern \(\det=0\). Weil \(\det A^T=\det A\) gilt, gelten alle Zeilenregeln genauso für Spalten.

Laplace-Entwicklung und Kofaktoren

Die Entwicklung nach der \(i\)-ten Zeile schreibt eine \(n\times n\)-Determinante als Summe von \(n\) Determinanten der Größe \(n-1\). Das Vorzeichen \((-1)^{i+j}\) folgt dem Schachbrettmuster, das links oben mit \(+\) beginnt. Die Zahl \(C_{ij}=(-1)^{i+j}\det A_{ij}\) heißt Kofaktor. Entwickelt man nach einer Zeile \(i\), verwendet aber die Kofaktoren einer anderen Zeile, entsteht stets null – ein Hinweis darauf, wie man die inverse Matrix über die Adjunkte \(A^{-1}=\frac1{\det A}\,(C_{ij})^T\) gewinnt. Für \(2\times2\)-Matrizen ergibt dies die vertraute Formel \(A^{-1}=\frac1{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\).

Invertierbarkeit, Rang und Gleichungssysteme

Eine quadratische Matrix \(A\) ist genau dann invertierbar, wenn \(\det A\ne0\). Gleichwertig dazu sind: Die Spalten sind linear unabhängig, der Rang ist \(n\), das homogene System \(Ax=0\) hat nur die triviale Lösung, und \(Ax=b\) ist für jedes \(b\) eindeutig lösbar. Ist dagegen \(\det A=0\), hat \(Ax=b\) entweder keine oder unendlich viele Lösungen. Für Matrizen mit einem Parameter \(t\) berechnet man \(\det A(t)\) als Polynom in \(t\); die Nullstellen sind genau die Parameterwerte, bei denen die Matrix nicht invertierbar ist. Die Cramersche Regel liefert bei \(\det A\ne0\) jede Unbekannte als Quotient zweier Determinanten. Sie ist besonders nützlich, wenn nur eine einzige Unbekannte gesucht ist oder wenn die Koeffizienten Parameter enthalten; für große Systeme ist das Gauß-Verfahren viel schneller.

Die inverse Matrix über Determinanten

Für kleine Matrizen lässt sich die Inverse direkt mit Determinanten berechnen. Man bildet zu jedem Eintrag \(a_{ij}\) den Kofaktor \(C_{ij}=(-1)^{i+j}\det A_{ij}\), schreibt diese Zahlen in eine Matrix, transponiert sie und teilt durch \(\det A\). Diese transponierte Kofaktormatrix heißt Adjunkte. Der Vorteil dieser Formel ist, dass sie für Matrizen mit Parametern exakte Ausdrücke liefert; der Nachteil ist der Rechenaufwand: Bei einer \(4\times4\)-Matrix müssen bereits sechzehn \(3\times3\)-Determinanten berechnet werden, weshalb man in der Praxis das Gauß-Jordan-Verfahren bevorzugt. Als Kontrolle gilt immer \(A\cdot A^{-1}=E\), und es muss \(\det A^{-1}=\frac1{\det A}\) sein.

Spezielle Matrizen und ihre Determinanten

Viele Matrizen in Anwendungen haben eine Struktur, die die Rechnung stark vereinfacht. Bei Dreiecksmatrizen und Diagonalmatrizen liest man die Determinante an der Diagonale ab. Bei Blockdreiecksmatrizen \(\begin{pmatrix}A&B\\0&D\end{pmatrix}\) mit quadratischen Blöcken \(A\) und \(D\) gilt \(\det=\det A\cdot\det D\). Orthogonale Matrizen (Drehungen und Spiegelungen) haben \(\det=\pm1\), weil sie Längen und Winkel erhalten und daher Flächen nicht verändern. Schiefsymmetrische Matrizen ungerader Größe haben stets \(\det=0\). Vandermonde-Matrizen mit den Zeilen \((1,x_i,x_i^2,\dots)\) sind genau dann invertierbar, wenn die \(x_i\) paarweise verschieden sind – deshalb ist die Polynominterpolation durch \(n+1\) Punkte mit verschiedenen \(x\)-Werten eindeutig. Wer solche Strukturen erkennt, spart in der Klausur viel Zeit.

Determinante und Gauß-Verfahren im Vergleich

Das Gauß-Verfahren und die Determinante beschreiben dieselbe Sache aus zwei Blickwinkeln. Wenn Sie ein Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren auf Stufenform bringen, multiplizieren die Diagonalelemente der Stufenform (bis auf Vorzeichen durch Zeilenvertauschungen) zur Determinante der Koeffizientenmatrix. Ein fehlendes Pivotelement bedeutet genau \(\det A=0\). Beide Werkzeuge sind daher austauschbar, wenn es nur um die Frage der eindeutigen Lösbarkeit geht. Für die Berechnung einer konkreten Lösung ist das Gauß-Verfahren schneller: Es braucht etwa \(\tfrac13n^3\) Rechenoperationen, die Cramersche Regel mit der Laplace-Entwicklung dagegen \(n!\) Operationen. Schon bei \(n=10\) sind das über drei Millionen Operationen gegenüber rund dreihundert.