Eigenwerte und Eigenvektoren – Mathe Studium 1. Semester Arbeitsblatt zum Herunterladen als PDF

Bei Diagonal- und Dreiecksmatrizen stehen die Eigenwerte auf der Diagonale. Geben Sie die Eigenwerte an und nennen Sie je einen Eigenvektor.

a) \(\begin{pmatrix}3&0\\0&-2\end{pmatrix}\)
b) \(\begin{pmatrix}2&1\\0&5\end{pmatrix}\)
c) \(\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\) (Spiegelung an der Winkelhalbierenden)

Bestimmen Sie für \(A=\begin{pmatrix}4&1\\2&3\end{pmatrix}\) das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und je einen Eigenvektor. Prüfen Sie mit Spur und Determinante.

a) Stellen Sie \(\det(A-\lambda E)\) auf.
b) Lösen Sie \(\chi_A(\lambda)=0\).
c) Bestimmen Sie die Eigenvektoren.
d) Kontrollieren Sie mit Spur und Determinante.

Gegeben ist \(A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\). Prüfen Sie durch Multiplikation, welche der Vektoren Eigenvektoren sind, und geben Sie gegebenenfalls den Eigenwert an.

a) \(u=(1,1)^T\)
b) \(v=(1,-1)^T\)
c) \(w=(1,2)^T\)
d) \(2u\) und \(-3v\)

Bestimmen Sie die Eigenwerte (über \(\mathbb R\)) und entscheiden Sie, ob die Matrix diagonalisierbar ist.

a) \(\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}\)
b) \(\begin{pmatrix}3&-1\\1&1\end{pmatrix}\)
c) \(\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\) (Drehung um \(90^\circ\))

Eine \(2\times2\)-Matrix \(A\) hat die Eigenwerte \(2\) und \(-3\).

a) Bestimmen Sie \(\operatorname{tr}A\) und \(\det A\).
b) Welche Eigenwerte hat \(A^{-1}\)? Ist \(A\) invertierbar?
c) Welche Eigenwerte hat \(A^2-3A\)?
d) Welche Eigenwerte hat \(A^T\)? Begründen Sie.

Bestimmen Sie die Eigenwerte mit ihrer algebraischen Vielfachheit.

a) \(\begin{pmatrix}2&5&1\\0&2&7\\0&0&-1\end{pmatrix}\)
b) \(\begin{pmatrix}2&0&0\\0&3&4\\0&4&9\end{pmatrix}\)
c) \(\mathrm{diag}(1,1,1)\)

Für die Matrix \(A=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&3&4\\0&4&9\end{pmatrix}\) sind die Eigenwerte \(1,2,11\) bekannt.

a) Bestimmen Sie einen Eigenvektor zu \(\lambda=2\).
b) Bestimmen Sie einen Eigenvektor zu \(\lambda=1\).
c) Bestimmen Sie einen Eigenvektor zu \(\lambda=11\).
d) Prüfen Sie, dass die drei Eigenvektoren paarweise senkrecht stehen. Warum ist das kein Zufall?

Die Fibonacci-Folge \(F_0=0\), \(F_1=1\), \(F_{n+1}=F_n+F_{n-1}\) beschreibt idealisiert das Wachstum einer Kaninchenpopulation. In Matrixform: \(\begin{pmatrix}F_{n+1}\\F_n\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}F_n\\F_{n-1}\end{pmatrix}\) mit \(A=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}\).

a) Berechnen Sie das charakteristische Polynom und die Eigenwerte \(\varphi\) und \(\psi\).
b) Zeigen Sie \(\varphi+\psi=1\) und \(\varphi\psi=-1\) und deuten Sie beides mit Spur und Determinante.
c) Berechnen Sie \(F_{10}\) aus der Formel von Binet \(F_n=\frac{\varphi^n-\psi^n}{\sqrt5}\) numerisch.
d) Wohin strebt \(F_{n+1}/F_n\)? Begründen Sie mit dem dominanten Eigenwert.

In einer Stadt folgt auf einen sonnigen Tag mit \(80\,\%\) wieder ein sonniger Tag, auf einen Regentag mit \(40\,\%\) ein sonniger Tag. Der Zustandsvektor ist \(x=(s,r)^T\) (Anteil sonniger bzw. regnerischer Tage); \(P=\begin{pmatrix}0{,}8&0{,}4\\0{,}2&0{,}6\end{pmatrix}\).

a) Zeigen Sie, dass \(P\) spaltenstochastisch ist und berechnen Sie die Eigenwerte.
b) Bestimmen Sie die stationäre Verteilung (Eigenvektor zu \(1\), Summe der Einträge \(1\)).
c) Heute ist es sonnig, \(x_0=(1,0)^T\). Berechnen Sie \(x_1\) und \(x_2\).
d) Wie viele sonnige Tage erwartet man langfristig im Jahr (365 Tage)?

Ein Bildbearbeitungsprogramm streckt Bilder mit der Matrix \(A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\). Ein Pixelkreis vom Radius \(1\) wird dadurch zu einer Ellipse.

a) Bestimmen Sie Eigenwerte und Eigenrichtungen.
b) Welche Halbachsen hat die Ellipse? In welche Richtungen zeigen sie?
c) Um welchen Faktor ändert sich der Flächeninhalt? Vergleichen Sie mit \(\det A\).
d) Wohin wird der Punkt \((1,0)\) abgebildet, und wie liegt er im Verhältnis zu den Eigenrichtungen?

Diagonalisieren Sie \(A=\begin{pmatrix}4&1\\2&3\end{pmatrix}\) mit den Eigenvektoren \(v_1=(1,-2)^T\) und \(v_2=(1,1)^T\).

a) Stellen Sie \(P\) und \(D\) auf.
b) Berechnen Sie \(P^{-1}\).
c) Prüfen Sie \(AP=PD\).
d) Berechnen Sie \(A^5\) mit \(A^5=PD^5P^{-1}\).

Berechnen Sie \(A^{n}\) für \(A=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}\) mit \(P=\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}\), \(D=\mathrm{diag}(-1,3)\).

a) Bestimmen Sie \(P^{-1}\).
b) Zeigen Sie \(A^n=\frac12\begin{pmatrix}3^n+(-1)^n&3^n-(-1)^n\\3^n-(-1)^n&3^n+(-1)^n\end{pmatrix}\).
c) Berechnen Sie \(A^{10}\).
d) Wie verhält sich \(A^n\) für große \(n\)? Welche Matrix beschreibt es näherungsweise?

Gegeben ist \(S=\begin{pmatrix}2&1&0\\1&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\), eine reelle symmetrische Matrix.

a) Bestimmen Sie das charakteristische Polynom und die Eigenwerte mit Vielfachheiten.
b) Bestimmen Sie eine Basis des Eigenraums zu \(\lambda=3\).
c) Finden Sie eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren.
d) Warum ist \(S\) diagonalisierbar, obwohl der Eigenwert \(3\) doppelt ist?

Zwei gleiche Massen \(m=1\) kg hängen an Federn und sind durch eine Kopplungsfeder verbunden. Die Auslenkungen \(x=(x_1,x_2)^T\) erfüllen \(\ddot x=-Kx\) mit \(K=\begin{pmatrix}2&-1\\-1&2\end{pmatrix}\) (in \(\mathrm s^{-2}\)). Ansatz: \(x(t)=v\cos(\omega t)\).

a) Zeigen Sie: Der Ansatz führt auf \(Kv=\omega^2v\), also ist \(\omega^2\) ein Eigenwert von \(K\).
b) Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren von \(K\).
c) Berechnen Sie die beiden Eigenfrequenzen \(\omega\) (in \(\mathrm s^{-1}\)).
d) Beschreiben Sie die zugehörigen Schwingungsformen (gleichphasig oder gegenphasig).

Betrachten Sie \(A_t=\begin{pmatrix}2&t\\t&2\end{pmatrix}\) mit \(t\in\mathbb R\).

a) Bestimmen Sie die Eigenwerte in Abhängigkeit von \(t\).
b) Für welche \(t\) ist \(A_t\) invertierbar?
c) Für welche \(t\) sind beide Eigenwerte positiv?
d) Zeigen Sie, dass die Eigenvektoren nicht von \(t\) abhängen.

Ein Mini-Internet besteht aus drei Seiten. Seite 1 verlinkt auf 2 und 3, Seite 2 verlinkt auf 3, Seite 3 verlinkt auf 1. Die Link-Matrix \(M\) (Spalte \(j\) = Verteilung der Wahrscheinlichkeit, von Seite \(j\) zu folgen) ist \(M=\begin{pmatrix}0&0&1\\\frac12&0&0\\\frac12&1&0\end{pmatrix}\). Die Wichtigkeit \(x\) einer Seite erfüllt \(Mx=x\).

a) Zeigen Sie, dass \(M\) spaltenstochastisch ist.
b) Lösen Sie \((M-E)x=0\) und normieren Sie auf Summe \(1\).
c) Welche Seite ist am wichtigsten? Deuten Sie das Ergebnis.
d) Bei \(10^6\) zufälligen Besuchen: Wie viele entfallen jeweils auf die drei Seiten (Erwartungswert)?

Zwei Tanks sind durch Rohre verbunden. Die Wassermengen \(x_1,x_2\) (in Litern) ändern sich nach \(x'=Ax\) mit \(A=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}\) (in \(\mathrm h^{-1}\)); zur Zeit \(0\) gilt \(x(0)=(3,1)^T\). Die Lösung hat die Form \(x(t)=c_1e^{3t}(1,1)^T+c_2e^{-t}(1,-1)^T\).

a) Bestätigen Sie, dass die beiden Ansätze Lösungen sind (Eigenwerte \(3\) und \(-1\)).
b) Bestimmen Sie \(c_1,c_2\) aus \(x(0)=(3,1)^T\).
c) Berechnen Sie \(x(1)\) numerisch.
d) Beschreiben Sie das Langzeitverhalten und die Rolle des größten Eigenwerts.

Seien \(A\) eine \(n\times n\)-Matrix und \(\lambda\) ein Eigenwert mit Eigenvektor \(v\). Beweisen Sie.

a) \(\lambda^k\) ist Eigenwert von \(A^k\) mit demselben Eigenvektor.
b) Gilt \(A^2=A\), so ist jeder Eigenwert \(0\) oder \(1\).
c) Eigenvektoren zu zwei verschiedenen Eigenwerten sind linear unabhängig.
d) Ist \(A\) invertierbar, so ist \(\frac1\lambda\) Eigenwert von \(A^{-1}\).

Die Scherung \(S=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\) verschiebt einen Punkt \((x,y)\) zu \((x+y,y)\).

a) Bestimmen Sie Eigenwerte und Eigenräume.
b) Begründen Sie, dass \(S\) nicht diagonalisierbar ist.
c) Berechnen Sie \(S^n\) und zeigen Sie die Formel durch Induktion.
d) Vergleichen Sie mit \(E\), die ebenfalls nur den Eigenwert \(1\) hat, aber diagonalisierbar ist.

Der Satz von Cayley-Hamilton besagt, dass jede Matrix ihre eigene charakteristische Gleichung erfüllt. Für \(2\times2\)-Matrizen heißt das \(A^2-(\operatorname{tr}A)A+(\det A)E=0\).

a) Bestätigen Sie den Satz für \(A=\begin{pmatrix}4&1\\2&3\end{pmatrix}\).
b) Folgern Sie daraus eine Formel für \(A^{-1}\) und berechnen Sie \(A^{-1}\).
c) Berechnen Sie \(A^3\) nur mit Hilfe von \(A^2=7A-10E\).
d) Prüfen Sie, dass \(A^{-1}\) die Eigenwerte \(\frac12\) und \(\frac15\) hat.