Differenzierbarkeit und Mittelwertsatz – Mathe Studium 1. Semester Arbeitsblatt zum Herunterladen als PDF

Bestimmen Sie die Ableitung an der angegebenen Stelle als Grenzwert des Differenzenquotienten. Vereinfachen Sie den Quotienten vor dem Grenzübergang.

a) \(f(x)=x^2\) an der Stelle \(a=3\)
b) \(f(x)=\frac1x\) an der Stelle \(a=2\)
c) \(f(x)=\sqrt x\) an der Stelle \(a=4\)

Leiten Sie ab und vereinfachen Sie so weit wie möglich. Nennen Sie jeweils die verwendete Regel.

a) \(f(x)=x^3\sin x\)
b) \(g(x)=\dfrac{x^2+1}{x-1}\)
c) \(h(x)=e^{-3x}\cos 2x\)
d) \(k(x)=\ln(x^2+1)\)

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente und, wenn verlangt, der Normalen im angegebenen Punkt. Die Normale steht senkrecht auf der Tangente (Steigungsprodukt \(-1\)).

a) \(f(x)=x^2-4x+5\) an der Stelle \(x_0=3\): Tangente und Normale
b) \(f(x)=\ln x\) an der Stelle \(x_0=e\): Tangente
c) In welchem Punkt schneidet die Tangente aus a) die \(x\)-Achse?

Untersuchen Sie mit einseitigen Ableitungen, ob \(f\) an der Stelle \(a\) differenzierbar ist.

a) \(f(x)=|x-2|\), \(a=2\)
b) \(f(x)=x|x|\), \(a=0\)
c) \(f(x)=x^2\) für \(x\le1\) und \(f(x)=2x-1\) für \(x>1\), \(a=1\)
d) \(f(x)=\sqrt{|x|}\), \(a=0\)

Berechnen Sie mit der Ableitung der Umkehrfunktion \((f^{-1})'(y)=\frac1{f'(f^{-1}(y))}\).

a) Ableitung von \(\arctan\) aus \(\tan\) (verwenden Sie \(\tan'=1+\tan^2\))
b) \(f(x)=x^3+x\): Berechnen Sie \((f^{-1})'(2)\), wenn Sie wissen, dass \(f(1)=2\) gilt.
c) Ableitung von \(\sqrt[3]x\) als Umkehrfunktion von \(x^3\) an der Stelle \(8\)

Bestimmen Sie die Ableitungen, indem Sie \(u^v=e^{v\ln u}\) verwenden.

a) \(f(x)=x^x\) und \(f'(2)\)
b) \(g(x)=x^{\sin x}\) und \(g'\left(\frac\pi2\right)\)
c) \(h(x)=2^x\) und \(h'(3)\)

Eine Straßenbahn fährt zwischen zwei Haltestellen. Ihr zurückgelegter Weg (in Metern) nach \(t\) Sekunden ist \(s(t)=-\frac{t^3}6+3t^2\) für \(0\le t\le12\).

a) Bestimmen Sie die Geschwindigkeit \(v(t)=s'(t)\) und die Beschleunigung \(a(t)=v'(t)\).
b) Welche Geschwindigkeit hat die Bahn nach \(2\) s? Geben Sie auch km/h an.
c) Zu welchem Zeitpunkt ist die Geschwindigkeit am größten, und wie groß ist sie?
d) Zeigen Sie, dass die Bahn bei \(t=12\) steht, und berechnen Sie den Abstand der Haltestellen.
e) Die mittlere Geschwindigkeit beträgt \(12\) m/s. Zu welchen Zeitpunkten ist die Momentangeschwindigkeit genau so groß?

Eine Pizzeria bäckt runde Pizzen mit dem Radius \(r=15\) cm, der aber um bis zu \(0{,}5\) cm schwankt. Die Fläche ist \(A(r)=\pi r^2\).

a) Berechnen Sie die Ableitung \(A'(r)\) und deuten Sie sie geometrisch.
b) Schätzen Sie die Flächenschwankung mit dem Differential \(\Delta A\approx A'(r)\,\Delta r\) ab.
c) Berechnen Sie den exakten Flächenunterschied zwischen \(r=15{,}5\) und \(r=15\).
d) Wie groß ist die relative Abweichung der Fläche in Prozent im Vergleich zur relativen Abweichung des Radius?

Eine zylindrische Dose soll \(500\,\mathrm{cm}^3\) fassen und möglichst wenig Blech verbrauchen. Radius \(r\) und Höhe \(h\) sind in Zentimetern gemessen.

a) Stellen Sie die Nebenbedingung \(\pi r^2h=500\) auf und drücken Sie \(h\) durch \(r\) aus.
b) Zeigen Sie, dass die Oberfläche \(O(r)=2\pi r^2+\frac{1000}r\) beträgt.
c) Bestimmen Sie \(r\) mit \(O'(r)=0\) und zeigen Sie \(h=2r\).
d) Berechnen Sie Radius, Höhe und Oberfläche numerisch und begründen Sie, dass es ein Minimum ist.

Ein Landwirt hat \(200\) m Zaun und will damit ein rechteckiges Gehege für seine Schafe an einer langen Steinmauer anlegen. An der Mauer wird kein Zaun benötigt. Die beiden Seiten senkrecht zur Mauer sind je \(x\) Meter lang.

a) Wie lang ist die dritte Seite? Stellen Sie die Fläche \(A(x)\) auf und geben Sie den Definitionsbereich an.
b) Füllen Sie eine kleine Tabelle für \(x=40,50,60\) aus.
c) Bestimmen Sie das Maximum mit der Ableitung.
d) Wie viele Schafe haben Platz, wenn jedes Tier \(10\,\mathrm{m}^2\) benötigt?

Untersuchen Sie \(f(x)=x^3-3x^2-9x+5\).

a) Bestimmen Sie \(f'\) und \(f''\).
b) Finden Sie die Extremstellen und klassifizieren Sie sie mit \(f''\).
c) Bestimmen Sie die Monotoniebereiche und den Wendepunkt.
d) Wie viele Nullstellen hat \(f\) mindestens? Argumentieren Sie mit dem Zwischenwertsatz und \(f(0)\), \(f(-2)\), \(f(5)\).

Wenden Sie die Sätze auf konkrete Funktionen an und prüfen Sie jeweils die Voraussetzungen.

a) Bestimmen Sie für \(f(x)=\ln x\) auf \([1,e]\) die Stelle \(\xi\) aus dem Mittelwertsatz.
b) Zeigen Sie, dass \(g(x)=x^3-3x+1\) im Intervall \([1,2]\) genau eine Nullstelle hat.
c) Warum liefert der Mittelwertsatz für \(f(x)=|x|\) auf \([-1,2]\) keine Aussage?

Beweisen Sie mit dem Mittelwertsatz.

a) Für alle reellen \(a,b\) gilt \(|\sin a-\sin b|\le|a-b|\).
b) Für \(x>0\) gilt \(e^x\ge1+x\).
c) Für \(x>0\) gilt \(\ln(1+x)\le x\).
d) Zeigen Sie \(\sqrt{101}-10<\frac1{20}\).

Die Temperatur einer Tasse Kaffee (in °C) beträgt nach \(t\) Minuten \(T(t)=20+60e^{-0{,}1t}\). Die Raumtemperatur ist \(20\) °C.

a) Wie warm ist der Kaffee zu Beginn und nach \(5\) Minuten?
b) Berechnen Sie die Abkühlungsrate \(T'(t)\) und deren Wert bei \(t=0\).
c) Wann hat der Kaffee \(40\) °C erreicht?
d) Welche Abkühlungsrate hat er dann, und welcher Zusammenhang besteht zu \(T-20\)?

Ein Skatepark-Planer entwirft eine Rampe: Bis \(x=1\) (in Metern) verläuft sie geradlinig als \(f(x)=2x\), danach als Parabel \(g(x)=ax^2+bx+c\). Die Rampe soll ohne Knick anschließen, und die Parabel soll bei \(x=3\) die Höhe \(8\) m erreichen.

a) Stellen Sie die drei Bedingungen für \(a,b,c\) auf.
b) Lösen Sie das Gleichungssystem.
c) Prüfen Sie, dass \(f\) in \(x=1\) differenzierbar ist.
d) Zeigen Sie, dass \(f''\) in \(x=1\) springt. Warum spürt man das als Fahrer?

Auf einer Landstraße gilt Tempo \(100\). Eine Abschnittskontrolle misst, dass ein Fahrzeug die \(5\) km lange Strecke in \(150\) s zurücklegt.

a) Berechnen Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit in m/s und km/h.
b) Begründen Sie mit dem Mittelwertsatz, dass das Fahrzeug zu einem Zeitpunkt exakt so schnell wie der Durchschnitt war. Welche Voraussetzung wird für die Bewegungsfunktion \(s(t)\) gemacht?
c) Ein zweites Fahrzeug braucht \(180\) s. Folgt daraus, dass es nie schneller als \(100\) km/h war?
d) Eine Funktion \(f\) erfüllt \(f(0)=2\) und \(f'(x)\le3\) für alle \(x\). Zeigen Sie \(f(4)\le14\).

Ein Online-Shop verkauft Fahrradhelme. Bei einem Preis von \(p\) Euro werden \(q(p)=1000-20p\) Stück pro Monat verkauft. Ein Helm kostet in der Herstellung \(5\) €, die Fixkosten betragen \(2000\) € pro Monat.

a) Stellen Sie die Gewinnfunktion \(G(p)=(p-5)\,q(p)-2000\) auf.
b) Berechnen Sie \(G\) für \(p=20\), \(25\) und \(30\) in einer Tabelle.
c) Bestimmen Sie den gewinnmaximalen Preis mit der Ableitung.
d) Wie groß sind Absatz und Gewinn dort, und für welche Preise macht der Shop überhaupt Gewinn?

Das Newton-Verfahren nähert Nullstellen von \(f\) durch Tangenten an: \(x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\). Für \(f(x)=x^2-2\) und den Startwert \(x_0=1{,}5\) soll \(\sqrt2\) berechnet werden.

a) Zeigen Sie, dass hier \(x_{n+1}=\frac12\left(x_n+\frac2{x_n}\right)\) gilt.
b) Berechnen Sie \(x_1,x_2,x_3\).
c) Vergleichen Sie mit \(\sqrt2=1{,}41421356\ldots\) und beschreiben Sie, wie sich die Anzahl der richtigen Stellen entwickelt.
d) Warum würde der Startwert \(x_0=0\) scheitern?

Beweisen Sie mit dem Mittelwertsatz oder der Definition.

a) Gilt \(f'(x)=0\) für alle \(x\) in einem Intervall \(I\), so ist \(f\) auf \(I\) konstant.
b) Erfüllt \(f\) die Gleichung \(f'=f\) und \(f(0)=1\), so ist \(f(x)=e^x\). (Betrachten Sie \(g(x)=f(x)e^{-x}\).)
c) Ist \(f'(x)>0\) für alle \(x\in I\), so ist \(f\) injektiv.
d) Ist \(f\) in \(a\) differenzierbar, so ist \(f\) in \(a\) stetig.

Berechnen Sie die Grenzwerte. Weisen Sie jeweils nach, dass eine unbestimmte Form vorliegt, und formen Sie bei Bedarf um.

a) \(\lim_{x\to0}\frac{\cos x-1}{x^2}\)
b) \(\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac1x\right)^x\)
c) \(\lim_{x\to0}\left(\frac1x-\frac1{\sin x}\right)\)
d) \(\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{e^x}\)