Riemann-Integral und Hauptsatz – Mathe Studium 1. Semester Arbeitsblatt zum Herunterladen als PDF

Berechnen Sie die Integrale mit einer Stammfunktion. Geben Sie die Stammfunktion jeweils in eckigen Klammern an.

a) \(\int_0^2(3x^2-2x+1)\,dx\)
b) \(\int_1^e\frac1x\,dx\)
c) \(\int_0^\pi\sin x\,dx\)
d) \(\int_0^1e^{2x}\,dx\)

Gegeben ist \(f(x)=x\) auf \([0,1]\) mit der äquidistanten Zerlegung in \(n\) Teilintervalle.

a) Berechnen Sie Unter- und Obersumme für \(n=4\).
b) Zeigen Sie allgemein \(U_n=\frac{n-1}{2n}\) und \(O_n=\frac{n+1}{2n}\).
c) Bestimmen Sie \(\int_0^1x\,dx\) als gemeinsamen Grenzwert.
d) Ab welchem \(n\) ist \(O_n-U_n<0{,}01\)?

Berechnen Sie \(\int_0^1x^3\,dx\) mit Obersummen. Verwenden Sie die Formel \(\sum_{k=1}^nk^3=\frac{n^2(n+1)^2}4\).

a) Stellen Sie \(O_n\) für die äquidistante Zerlegung auf.
b) Vereinfachen Sie und bestimmen Sie den Grenzwert.
c) Vergleichen Sie mit dem Ergebnis des Hauptsatzes.

Berechnen Sie mit partieller Integration \(\int uv'=uv-\int u'v\). Geben Sie an, was Sie als \(u\) und \(v'\) wählen.

a) \(\int xe^x\,dx\)
b) \(\int_0^\pi x\sin x\,dx\)
c) \(\int_1^e\ln x\,dx\)
d) \(\int_0^1x^2e^x\,dx\)

Berechnen Sie mit einer geeigneten Substitution. Transformieren Sie die Grenzen mit.

a) \(\int_0^12x(x^2+1)^3\,dx\)
b) \(\int_0^{\pi/2}\sin x\cos^2x\,dx\)
c) \(\int_0^1\frac x{1+x^2}\,dx\)
d) \(\int_1^e\frac{\ln x}x\,dx\)

Zerlegen Sie den Integranden in Partialbrüche und integrieren Sie.

a) \(\int_2^3\frac{dx}{x^2-1}\)
b) \(\int_0^1\frac{2x+3}{(x+1)(x+2)}\,dx\)
c) \(\int\frac{x^2}{x+1}\,dx\) (zuerst Polynomdivision)

Der Querschnitt eines Straßentunnels wird durch die Parabel \(y=4-\frac{x^2}4\) über der Fahrbahn (\(y=0\)) begrenzt (Einheit: m).

a) Bestimmen Sie die Breite des Tunnels am Boden.
b) Berechnen Sie die Querschnittsfläche.
c) Der Tunnel ist \(250\) m lang. Wie viel Kubikmeter Erdreich werden ausgehoben (ohne Wandstärke)?
d) Ein Lastwagen ist \(3\) m hoch und \(2{,}5\) m breit. Passt er mittig durch den Tunnel?

In einen Tank fließt Wasser mit der Rate \(r(t)=20+6t-t^2\) Liter pro Minute (\(0\le t\le6\), \(t\) in Minuten). Zu Beginn enthält der Tank \(50\) Liter.

a) Wann ist die Zuflussrate am größten, und wie groß ist sie dann?
b) Wie viel Wasser fließt in den sechs Minuten zu?
c) Geben Sie den Tankinhalt \(V(t)\) als Integralfunktion an und berechnen Sie \(V(3)\).
d) Wie groß ist die mittlere Zuflussrate?

Ein Zug beschleunigt aus dem Stand gleichmäßig: \(v(t)=3t\) (in m/s) für \(0\le t\le10\) s, danach fährt er mit \(30\) m/s weiter.

a) Skizzieren Sie \(v(t)\) für \(0\le t\le20\).
b) Welchen Weg legt er in den ersten \(10\) s zurück?
c) Welchen Weg legt er in den ersten \(20\) s zurück? Wie groß ist die mittlere Geschwindigkeit?
d) Wann hat er \(1\) km zurückgelegt?

An einem Sommertag liefert eine Solaranlage zwischen \(6\) und \(18\) Uhr die Leistung \(P(t)=5\sin\frac{\pi t}{12}\) (in kW), wobei \(t\) die Zeit in Stunden ab \(6\) Uhr ist.

a) Wann ist die Leistung maximal, und wie groß ist sie?
b) Berechnen Sie die an diesem Tag erzeugte Energie \(E=\int_0^{12}P(t)\,dt\) in kWh.
c) Wie groß ist die mittlere Leistung?
d) Ein Haushalt verbraucht \(12\) kWh am Tag. Wie viele Haushalte könnte die Anlage rechnerisch versorgen?

An einem Frühlingstag wird die Temperatur durch \(T(t)=12-6\cos\frac{\pi t}{12}\) (in °C, \(t\) in Stunden nach Mitternacht, \(0\le t\le24\)) modelliert.

a) Bestimmen Sie Minimum und Maximum und die Uhrzeiten.
b) Berechnen Sie die mittlere Tagestemperatur.
c) Berechnen Sie die mittlere Temperatur zwischen \(6\) und \(18\) Uhr.
d) Warum unterscheidet sich der Mittelwert über die Tageszeit vom Mittelwert aus Minimum und Maximum hier nicht, in der Realität aber oft schon?

Ein Holzfass ist \(10\) dm hoch. Sein Radius in der Höhe \(x\) (gemessen von der Mitte, \(-5\le x\le5\)) beträgt \(r(x)=4-\frac{x^2}{25}\) dm. Das Fass entsteht durch Rotation von \(r\) um die \(x\)-Achse.

a) Welchen Radius hat das Fass am Boden und in der Mitte?
b) Berechnen Sie das Volumen \(V=\pi\int_{-5}^5r(x)^2\,dx\) in Litern.
c) Vergleichen Sie mit Zylindern vom Radius \(3\) dm und \(4\) dm.
d) Ein Weinbauer füllt \(400\) Liter ein. Reicht das Fass?

Bestimmen Sie die Ableitung mit dem Hauptsatz (und gegebenenfalls der Kettenregel).

a) \(F(x)=\int_0^x\sqrt{1+t^3}\,dt\)
b) \(G(x)=\int_x^{x^2}\frac1t\,dt\) für \(x>0\); kontrollieren Sie durch direktes Integrieren.
c) \(H(x)=\int_0^{\sin x}e^{t^2}\,dt\)
d) Bestimmen Sie die Extremstelle von \(K(x)=\int_0^x(t-1)e^{-t}\,dt\).

Bestimmen Sie den Mittelwert und eine Stelle \(\xi\) gemäß Mittelwertsatz.

a) \(f(x)=x^2\) auf \([0,3]\)
b) \(f(x)=\sin x\) auf \([0,\pi]\)
c) Zeigen Sie an \(f(x)=\begin{cases}0&x<1\\1&x\ge1\end{cases}\) auf \([0,2]\), dass der Mittelwertsatz ohne Stetigkeit falsch sein kann.

Dreht man den Graphen von \(f(x)=\frac1x\) für \(x\ge1\) um die \(x\)-Achse, entsteht ein unendlich langer Trichter. Seine Mantelfläche ist \(M=2\pi\int_1^\infty\frac1x\sqrt{1+\frac1{x^4}}\,dx\).

a) Berechnen Sie das Volumen \(V=\pi\int_1^\infty\frac1{x^2}\,dx\) als uneigentliches Integral.
b) Zeigen Sie \(M\ge2\pi\int_1^\infty\frac1x\,dx\) und folgern Sie \(M=\infty\).
c) Ein Maler sagt: „Ich kann den Trichter mit \(\pi\) Litern Farbe füllen, aber seine Oberfläche nie anstreichen.“ Lösen Sie das scheinbare Paradoxon auf.
d) Für welche Exponenten \(p\) ist das Volumen beim Graphen von \(x^{-p}\) endlich?

Für eine positive, fallende Funktion \(f\) gilt \(\int_1^{n+1}f(x)\,dx\le\sum_{k=1}^nf(k)\le f(1)+\int_1^nf(x)\,dx\).

a) Begründen Sie die Ungleichungen mit einer Skizze aus Rechtecken der Breite \(1\).
b) Folgern Sie \(\ln(n+1)\le H_n\le1+\ln n\) für \(H_n=\sum_{k=1}^n\frac1k\).
c) Schätzen Sie \(H_{1000}\) ein.
d) Zeigen Sie mit \(f(x)=\frac1{x^2}\), dass \(\sum_{k=1}^\infty\frac1{k^2}\le2\).

Das Integral \(\int_0^1\frac4{1+x^2}\,dx\) hat den Wert \(\pi\) (denn \(4\arctan1=\pi\)). Ein Computer soll es mit \(n=4\) Teilintervallen der Breite \(h=0{,}25\) nähern.

a) Bestätigen Sie \(\int_0^1\frac4{1+x^2}\,dx=\pi\).
b) Berechnen Sie die Trapezsumme \(T=h\left(\frac{f_0}2+f_1+f_2+f_3+\frac{f_4}2\right)\).
c) Berechnen Sie die Simpsonsumme \(S=\frac h3(f_0+4f_1+2f_2+4f_3+f_4)\).
d) Vergleichen Sie die Fehler. Warum ist die Simpsonregel so viel genauer?

Gegeben sind \(f(x)=x^3-3x\) und \(g(x)=x\).

a) Bestimmen Sie die Schnittstellen.
b) Berechnen Sie die Fläche zwischen den Graphen.
c) Berechnen Sie \(\int_{-2}^2(g(x)-f(x))\,dx\). Warum ist das nicht die Fläche?
d) Begründen Sie das Ergebnis von c) mit einer Symmetrieüberlegung.

Untersuchen Sie die Riemann-Integrierbarkeit und die Existenz von Stammfunktionen.

a) Zeigen Sie, dass die Dirichlet-Funktion \(D(x)=1\) für \(x\in\mathbb Q\), \(D(x)=0\) sonst auf \([0,1]\) nicht integrierbar ist.
b) Warum ist \(f(x)=\frac1x\) für \(0<x\le1\), \(f(0)=0\) nicht Riemann-integrierbar?
c) Die Vorzeichenfunktion \(\operatorname{sgn}\) ist auf \([-1,1]\) integrierbar. Berechnen Sie \(\Phi(x)=\int_{-1}^x\operatorname{sgn}(t)\,dt\).
d) Ist \(\Phi\) eine Stammfunktion von \(\operatorname{sgn}\)?

Sei \(I_n=\int_0^{\pi/2}\sin^nx\,dx\) für \(n\ge0\).

a) Berechnen Sie \(I_0\) und \(I_1\).
b) Zeigen Sie mit partieller Integration (\(u=\sin^{n-1}x\), \(v'=\sin x\)) die Rekursion \(I_n=\frac{n-1}nI_{n-2}\) für \(n\ge2\).
c) Berechnen Sie \(I_2\), \(I_3\), \(I_4\), \(I_5\).
d) Begründen Sie \(I_{2m+1}\le I_{2m}\le I_{2m-1}\) und erklären Sie, wie daraus das Wallissche Produkt \(\frac\pi2=\frac21\cdot\frac23\cdot\frac43\cdot\frac45\cdots\) entsteht.