Sucesiones y series numéricas – matemáticas 1º Grado (Universidad): ejercicios para descargar en PDF

Calcula los límites siguientes, indicando el tipo de indeterminación y la técnica empleada.

1. \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{3n^2+1}{2n^2-n}\)
2. \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{n^2+n}-n\right)\)
3. \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac2n\right)^n\)
4. \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2^n}\)

Sea \(a_n=\dfrac{2n+1}{n+3}\).

1. Calcula \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\) y \(a_{10}\).
2. Demuestra que es creciente calculando \(a_{n+1}-a_n\).
3. Demuestra que está acotada superiormente por 2.
4. Calcula su límite y comenta el teorema de la sucesión monótona.

Sea \(a_1=1\) y \(a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}\).

1. Calcula \(a_2\), \(a_3\) y \(a_4\) con cuatro decimales.
2. Demuestra por inducción que \(a_n<2\) para todo \(n\).
3. Demuestra que la sucesión es creciente.
4. Calcula el límite.

Para \(n\to\infty\) se cumple \(\ln n\ll n^p\ll a^n\ll n!\ll n^n\) (\(p>0\), \(a>1\)), donde \(f\ll g\) significa \(\frac fg\to0\).

1. Calcula \(\lim\frac{\ln n}{n}\) y \(\lim\frac{n^{10}}{1{,}1^n}\).
2. Calcula \(\lim\frac{2^n}{n!}\) con el criterio del cociente.
3. Ordena de menor a mayor velocidad de crecimiento: \(n^3\), \(3^n\), \(\ln(n^5)\), \(n!\), \(\sqrt n\).
4. Para \(n=10\), ¿se cumple ya que \(n^{10}<1{,}1^n\)? ¿Qué enseña esto?

Calcula la suma de cada serie o justifica que diverge.

1. \(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\left(\frac23\right)^n\)
2. \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n(n+1)}\)
3. \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2+3n+2}\)
4. Escribe \(0{,}\overline{27}\) como suma de una serie geométrica y como fracción.

Estudia el carácter de cada serie de términos positivos indicando el criterio que usas.

1. \(\displaystyle\sum\frac{n}{2^n}\)
2. \(\displaystyle\sum\frac{1}{\sqrt n}\)
3. \(\displaystyle\sum\frac{n+1}{n^3+2}\)
4. \(\displaystyle\sum\frac{n!}{n^n}\)

Una persona de Zaragoza ingresa 10 000 € en un depósito al 3 % de interés anual compuesto, sin retirar intereses.

1. Escribe el capital \(C_n\) al cabo de \(n\) años. ¿Qué tipo de sucesión es?
2. Calcula \(C_5\) y \(C_{10}\).
3. ¿Cuántos años completos tarda en duplicarse el capital?
4. Compara con un interés simple del 3 %: ¿cuándo se duplicaría?

En el gimnasio de un colegio de Málaga se deja caer una pelota desde 2 m de altura. Tras cada bote alcanza \(\frac34\) de la altura anterior.

1. Escribe la altura \(h_n\) tras el bote \(n\).
2. ¿Tras cuántos botes la altura es menor que 10 cm?
3. Calcula la distancia vertical total recorrida si rebota indefinidamente.
4. ¿Es realista el modelo? Comenta.

Un paciente de un hospital de Oviedo toma 100 mg de un antibiótico cada 8 horas. Entre dos tomas, el organismo elimina el 60 % del fármaco presente.

1. Llama \(a_n\) a la cantidad justo después de la toma \(n\). Justifica que \(a_{n+1}=0{,}4a_n+100\) con \(a_1=100\).
2. Calcula \(a_2\), \(a_3\) y \(a_4\).
3. Escribe \(a_n\) como suma de una progresión geométrica y halla una fórmula cerrada.
4. ¿Hacia qué valor se estabiliza? Si la dosis tóxica es de 180 mg, ¿hay peligro?

Se parte de un triángulo equilátero de lado 1. En cada paso, cada segmento se divide en tres partes iguales y sobre la central se construye un triángulo equilátero hacia fuera, eliminando la base.

1. ¿Cuántos lados tiene la figura tras \(n\) pasos y cuánto mide cada uno?
2. Calcula el perímetro \(P_n\) y su límite.
3. En el paso \(n\) se añaden \(3\cdot4^{n-1}\) triángulos de lado \(3^{-n}\). Escribe el área añadida como serie.
4. Calcula el área límite sabiendo que el triángulo inicial tiene área \(A_0=\frac{\sqrt3}4\).

En una carrera popular de Sevilla, un corredor (10 m/s) da 100 m de ventaja a una tortuga mecánica que avanza a 1 m/s. Zenón argumentaba que nunca la alcanza: cuando llega donde estaba la tortuga, esta ya ha avanzado un poco.

1. Cuando el corredor recorre los 100 m, ¿cuánto ha avanzado la tortuga? ¿Y en el siguiente tramo?
2. Escribe la distancia total recorrida por el corredor hasta alcanzarla como serie geométrica y súmala.
3. Calcula el tiempo que tarda.
4. Resuelve el problema con una ecuación de primer grado y compara.

Una estudiante de Granada ingresa 100 € al final de cada mes en una cuenta que da un 0,25 % mensual, para pagarse un viaje dentro de 2 años.

1. ¿Cuánto vale al final el primer ingreso? ¿Y el último?
2. Escribe el saldo final como suma de una progresión geométrica.
3. Calcula el saldo final y los intereses ganados.
4. ¿Qué cantidad mensual necesitaría para reunir 3000 €?

En un embalse de Extremadura hay 400 peces. Cada año muere o se pesca el 20 % y la confederación hidrográfica repuebla con 200 alevines: \(p_{n+1}=0{,}8p_n+200\).

1. Calcula \(p_1\), \(p_2\), \(p_3\).
2. Halla el punto fijo \(L\) de la recurrencia.
3. Demuestra que \(q_n=p_n-L\) es geométrica y escribe \(p_n\).
4. ¿Cuántos años tarda la población en superar los 950 peces?

En un juego de las torres de Hanói hay que pasar \(n\) discos de una varilla a otra moviendo uno cada vez y sin poner nunca un disco sobre otro menor. El número mínimo de movimientos cumple \(T_1=1\) y \(T_n=2T_{n-1}+1\).

1. Justifica la recurrencia.
2. Calcula \(T_2,\dots,T_6\) y conjetura una fórmula.
3. Demuestra la fórmula por inducción.
4. Una leyenda habla de 64 discos movidos a un disco por segundo. ¿Cuántos años harían falta?

Una calculadora no guarda los valores de \(e\) ni de \(\ln2\): los calcula con series. Se sabe que \(e=\sum_{k\ge0}\frac{1}{k!}\) y \(\ln2=\sum_{k\ge1}\frac{(-1)^{k+1}}{k}\). Estudia cuántos términos hacen falta.

1. Calcula \(S_5=\sum_{k=0}^5\frac1{k!}\) como fracción y en decimal.
2. Acota el error: \(\sum_{k\ge6}\frac1{k!}\le\frac1{6!}\left(1+\frac17+\frac1{49}+\dots\right)\). Calcula la cota.
3. Para la serie de \(\ln2\), el error de una serie alternada es menor que el primer término despreciado. ¿Cuántos términos garantizan error menor que \(0{,}001\)?
4. ¿Qué serie converge más deprisa? ¿A qué se debe?

En la biblioteca de un instituto de Cuenca se apilan libros iguales de longitud 1 al borde de una mesa, de forma que cada uno sobresalga lo máximo posible sin caer. Se demuestra que con \(n\) libros el voladizo máximo es \(\frac12H_n\), con \(H_n=1+\frac12+\dots+\frac1n\).

1. Calcula el voladizo con 1, 2, 3 y 4 libros.
2. ¿Con cuántos libros el libro de arriba queda completamente fuera de la mesa (voladizo mayor que 1)?
3. Demuestra que \(H_{2^k}\ge1+\frac k2\) agrupando los términos.
4. Deduce que la serie armónica diverge y que, con libros suficientes, el voladizo puede ser tan grande como se quiera. ¿Cuántos libros garantiza el apartado c) para un voladizo de 3?

Las semillas de un girasol se disponen en espirales cuyo número suele ser un término de la sucesión de Fibonacci: \(F_1=F_2=1\), \(F_{n+2}=F_{n+1}+F_n\). En un vivero de Córdoba se cuentan 34 y 55 espirales.

1. Escribe los 12 primeros términos.
2. Calcula los cocientes \(r_n=\frac{F_{n+1}}{F_n}\) para \(n=5,\dots,11\).
3. Suponiendo que \(r_n\to\varphi\), demuestra que \(\varphi=1+\frac1\varphi\) y calcula \(\varphi\).
4. Comprueba la fórmula de Binet \(F_n=\frac{\varphi^n-(1-\varphi)^n}{\sqrt5}\) para \(n=10\).

Considera \(\displaystyle\sum_{n\ge1}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2}=1-\frac14+\frac19-\frac1{16}+\dots\)

1. Comprueba las hipótesis del criterio de Leibniz.
2. Calcula \(S_4\) y acota el error cometido al tomar \(S_4\) como valor de la suma.
3. ¿Es absolutamente convergente?
4. Sabiendo que \(\sum\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}6\), demuestra que la suma es \(\frac{\pi^2}{12}\) y compara con \(S_4\).

Una familia de Logroño pide un préstamo de 15 000 € para un coche, a devolver en 60 cuotas mensuales iguales con un interés del 0,5 % mensual. La cuota \(c\) se calcula exigiendo que el valor actual de todas las cuotas sea igual al capital: \(\displaystyle\sum_{k=1}^{60}\frac{c}{1{,}005^k}=15000\).

1. Explica por qué cada cuota se divide por \(1{,}005^k\).
2. Suma la progresión geométrica y obtén la fórmula \(c=\dfrac{15000\cdot0{,}005}{1-1{,}005^{-60}}\).
3. Calcula la cuota y el total pagado.
4. ¿Cuánto se paga de intereses? Si se amplía el plazo a 84 meses, ¿baja la cuota? ¿Y el total de intereses? Razona.

Si \(f\) es positiva y decreciente en \([1,\infty)\), la serie \(\sum f(n)\) y la integral \(\int_1^\infty f(x)\,dx\) tienen el mismo carácter.

1. Justifica el criterio comparando las áreas de rectángulos con el área bajo la curva.
2. Demuestra que \(\sum\frac1{n^p}\) converge si y solo si \(p>1\).
3. Estudia \(\sum_{n\ge2}\frac1{n\ln n}\) y \(\sum_{n\ge2}\frac1{n(\ln n)^2}\).
4. Demuestra que \(\ln(N+1)\le H_N\le1+\ln N\) y estima \(H_{1000000}\).