Integrales y aplicaciones – matemáticas 1º Grado (Universidad): ejercicios para descargar en PDF

Calcula las primitivas siguientes y comprueba cada resultado derivando.

1. \(\int(3x^2-4x+5)\,dx\)
2. \(\int e^{2x}\,dx\)
3. \(\int\dfrac{dx}{x+1}\)
4. \(\int\cos3x\,dx\)

Reconoce la función interior \(u=g(x)\) y su derivada, que debe aparecer multiplicando.

1. \(\int2xe^{x^2}\,dx\)
2. \(\int\dfrac{x}{x^2+1}\,dx\)
3. \(\int\sin^3x\cos x\,dx\)
4. \(\int\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\,dx\)

Usa \(\int u\,dv=uv-\int v\,du\) eligiendo \(u\) según el criterio ALPES (logaritmo, algebraica, potencia, exponencial, seno).

1. \(\int xe^x\,dx\)
2. \(\int x\ln x\,dx\)
3. \(\int x^2\sin x\,dx\)

Descompón la fracción racional en fracciones simples antes de integrar.

1. \(\int\dfrac{dx}{x^2-1}\)
2. \(\int\dfrac{x+3}{x^2+x-2}\,dx\)
3. \(\int\dfrac{2x+1}{x^2+x-2}\,dx\)

Aplica la regla de Barrow \(\int_a^bf=F(b)-F(a)\) y el teorema fundamental del cálculo.

1. \(\int_0^2(x^2+1)\,dx\)
2. \(\int_1^e\ln x\,dx\)
3. Si \(G(x)=\int_0^xe^{-t^2}dt\), calcula \(G'(x)\) y \(G'(1)\).

Calcula el área de la región limitada por \(y=x^2\) y \(y=x+2\).

1. Halla los puntos de corte.
2. Decide cuál función está por encima en el intervalo.
3. Plantea y calcula la integral del área.

Una urbanización de Alicante llena su depósito con una bomba cuyo caudal (en m³/h) varía con el tiempo según \(q(t)=6+2t-0{,}1t^2\), con \(t\) en horas desde las 8:00 y \(0\le t\le10\).

1. Calcula el caudal a las 8:00 y a las 18:00.
2. ¿En qué instante es máximo el caudal y cuánto vale?
3. Calcula el volumen total que entra entre las 8:00 y las 18:00.
4. Si el depósito tiene 150 m³ de capacidad y empezó vacío, ¿se llena en ese periodo?

Un tren de cercanías de Barcelona recorre un tramo recto en el que, durante 4 minutos, su velocidad (en hectómetros por minuto) respecto del sentido de marcha es \(v(t)=3t^2-12t+9\). Un valor negativo significa que se mueve hacia atrás (maniobra).

1. Halla los instantes en que \(v(t)=0\).
2. Calcula el desplazamiento \(\int_0^4v(t)\,dt\).
3. Calcula la distancia total recorrida \(\int_0^4|v(t)|\,dt\) separando por intervalos de signo.
4. Explica por qué desplazamiento y distancia no coinciden.

Una panadería de Valladolid estima que el coste marginal de producir la barra número \(x\) (en céntimos de euro por barra) es \(C'(x)=40-0{,}2x\), para \(0\le x\le100\) barras al día.

1. Calcula el coste marginal de la barra 50 y de la barra 100.
2. Calcula el coste de producir las 100 barras si no hay costes fijos.
3. Calcula el coste de pasar de 50 a 100 barras, \(\int_{50}^{100}C'(x)dx\).
4. Si hay un coste fijo de 500 céntimos, escribe la función de coste total \(C(x)\).

En un día de primavera la temperatura en Sevilla (en °C) entre las 8:00 y las 20:00 se modela con \(T(t)=15+10\sin\dfrac{\pi(t-8)}{12}\), donde \(t\) es la hora.

1. Calcula \(T(8)\), \(T(14)\) y \(T(20)\).
2. Calcula \(\int_8^{20}T(t)\,dt\).
3. Calcula la temperatura media \(\overline T=\frac1{12}\int_8^{20}T(t)\,dt\).
4. ¿Es mayor la media que la temperatura a las 8:00? ¿En qué instante se alcanza exactamente la media?

En el laboratorio de física de la Universidad de Oviedo se estudia un muelle cuya fuerza recuperadora (en newtons) cuando se estira \(x\) metros es \(F(x)=200x\) (ley de Hooke con \(k=200\) N/m).

1. Calcula la fuerza necesaria para estirar 5 cm.
2. Calcula el trabajo \(W=\int_0^{0{,}10}200x\,dx\) para estirarlo 10 cm.
3. Calcula el trabajo adicional para estirarlo de 10 cm a 20 cm.
4. Compara los dos trabajos y explica por qué el segundo es el triple del primero.

Una copa de una vinoteca de La Rioja se obtiene haciendo girar alrededor del eje \(x\) la curva \(y=\sqrt{x}\) para \(0\le x\le4\) (unidades en decímetros).

1. Escribe la fórmula del volumen de un sólido de revolución \(V=\pi\int_a^b[f(x)]^2dx\).
2. Calcula el volumen exacto de la copa.
3. Pasa el resultado a litros (\(1\) dm³ = 1 L).
4. ¿Qué altura de líquido, medida desde el vértice, contiene la mitad del volumen?

En un mercado municipal de Santander, la demanda de un producto sigue \(p(x)=50-0{,}5x\) (precio en euros por unidad cuando se compran \(x\) unidades) y la oferta \(p(x)=10+0{,}5x\).

1. Halla el punto de equilibrio \((x_0,p_0)\).
2. Calcula el excedente del consumidor \(\int_0^{x_0}[p_d(x)-p_0]dx\).
3. Calcula el excedente del productor \(\int_0^{x_0}[p_0-p_o(x)]dx\).
4. Interpreta ambos números.

La población de una ciudad media gallega crece a un ritmo (en miles de habitantes por año) \(r(t)=3e^{0{,}03t}\), con \(t\) en años desde 2020. En 2020 tenía 100 mil habitantes.

1. Calcula el ritmo de crecimiento en 2020 y en 2030.
2. Calcula el aumento de población entre 2020 y 2030.
3. Escribe la población \(P(t)\) y calcula \(P(10)\).
4. Comprueba que \(P'(t)=r(t)\).

Un agrimensor de Castilla-La Mancha mide la anchura \(y\) de una parcela de olivos, cuyo borde superior es curvo, cada 10 m a lo largo de una recta de 40 m. La tabla recoge los datos. Se quiere estimar el área sin conocer la ecuación del borde.

1. Estima el área con el método de los trapecios, \(A\approx h\left[\frac{y_0+y_n}{2}+y_1+\cdots+y_{n-1}\right]\).
2. Estima el área con la regla de Simpson, \(A\approx\frac h3\left[y_0+4y_1+2y_2+4y_3+y_4\right]\).
3. Compara los dos resultados: ¿cuál es mayor y por qué difieren?
4. Si cada olivo ocupa 36 m², estima cuántos caben con el valor de Simpson.

Tras una inyección en un hospital de Valencia, el fármaco se elimina del organismo y la tasa de exposición (en mg·h/L por hora) es \(c(t)=5e^{-t/5}\) para \(t\ge0\) horas. La exposición total es la integral impropia \(\int_0^\infty c(t)\,dt\). Además se quiere practicar con otras integrales impropias.

1. Calcula \(\int_0^{b}5e^{-t/5}dt\) y haz \(b\to\infty\).
2. ¿Qué fracción de la exposición total se alcanza a las 10 horas?
3. Estudia \(\int_1^\infty\frac{dx}{x^2}\) y \(\int_1^\infty\frac{dx}{x}\).
4. Estudia \(\int_0^1\frac{dx}{\sqrt x}\) (impropia en 0).

Una empresa de cerámica de Talavera de la Reina diseña un jarrón girando alrededor del eje \(y\) la región limitada por \(y=x^2\), el eje \(y\) y la recta \(y=4\) (unidades en decímetros).

1. Dibuja mentalmente la región y calcula el volumen por discos respecto del eje \(y\): \(V=\pi\int_0^4x^2\,dy\) con \(x^2=y\).
2. Calcula el volumen con el método de capas, \(V=2\pi\int_0^2x\,(4-x^2)\,dx\).
3. Comprueba que ambos resultados coinciden.
4. Si el jarrón se llena de agua, ¿cuántos litros caben?

Una cooperativa agrícola de Almería modela con \(f(t)=t^2-4t+3\) el ritmo neto (en toneladas por semana) al que cambia el stock de un almacén: positivo si entra más producto del que sale. Sea \(G(x)=\int_0^xf(t)\,dt\) la variación acumulada del stock en \(x\) semanas.

1. Calcula \(G(x)\) explícitamente.
2. Usa el teorema fundamental para calcular \(G'(x)\) y los puntos críticos de \(G\).
3. Clasifica los puntos críticos y calcula los valores de \(G\) en ellos.
4. Interpreta: ¿en qué semanas el stock es máximo y mínimo localmente?

El teorema del valor medio integral dice que si \(f\) es continua en \([a,b]\), existe \(c\) con \(f(c)=\frac1{b-a}\int_a^bf\). Un técnico de Iberdrola lo usa con la potencia consumida por una máquina.

1. Calcula el valor medio de \(f(x)=x^2\) en \([0,3]\) y halla \(c\).
2. La potencia de un motor (en kW) en 6 h es \(P(t)=2+t-0{,}1t^2\). Calcula la energía \(\int_0^6P\,dt\) en kWh.
3. Calcula la potencia media en esas 6 horas.
4. ¿En qué instante la potencia coincide con la media?

Calcula cada integral justificando el método.

1. \(\int e^x\sin x\,dx\)
2. \(\int_0^{\pi/2}\sin^2x\,dx\)
3. \(\int_0^1\sqrt{1-x^2}\,dx\) (interpreta el resultado geométricamente).