Integrales y aplicaciones – matemáticas 1º Grado (Universidad): examen para descargar en PDF

Calcula las integrales siguientes.

1. \(\int\dfrac{2x+3}{x^2+3x+5}\,dx\)
2. \(\int_0^1xe^{-x}\,dx\)
3. \(\int_0^2\dfrac{dx}{x^2+4}\)

Calcula el área limitada por \(y=\sqrt x\) y \(y=x^2\) entre sus puntos de corte.

1. Halla los puntos de corte y la posición relativa.
2. Calcula el área.

Estudia la convergencia de las integrales.

1. \(\int_1^\infty\dfrac{dx}{x^3}\)
2. \(\int_0^\infty xe^{-x}\,dx\)

Se hace girar alrededor del eje \(x\) la región bajo \(y=\dfrac1x\) entre \(x=1\) y \(x=\infty\) (trompeta de Gabriel).

1. Calcula el volumen \(\pi\int_1^\infty\frac{dx}{x^2}\).
2. Comenta por qué el volumen es finito aunque la región es infinita.

Un tanque de una planta potabilizadora de Zaragoza contiene 500 m³ y se vacía con un caudal de salida (en m³/min) \(q(t)=0{,}6t\) durante los primeros 30 minutos.

1. Calcula el volumen que sale entre \(t=0\) y \(t=30\).
2. ¿Cuánto queda en el tanque a los 30 minutos?
3. ¿En qué instante se habrá vaciado un cuarto del volumen inicial?
4. Escribe la función \(V(t)\) del volumen del tanque y calcula \(V'(10)\).