Cálculo en varias variables – matemáticas 1º Grado (Universidad): examen para descargar en PDF

Sea \(f(x,y)=x^2y+y^3\).

1. (1,5 pt) Calcula \(\nabla f(1,1)\).
2. (1,5 pt) Calcula la derivada direccional en \((1,1)\) según \(u=\left(\frac35,-\frac45\right)\).
3. (1 pt) ¿Cuál es la máxima tasa de crecimiento en ese punto?

Sea \(z=xe^{y}\).

1. (2 pt) Escribe el plano tangente en \((2,0,2)\).
2. (2 pt) Estima \(f(2{,}1;\,-0{,}1)\) y compara con el valor exacto.

Sea \(f(x,y)=x^2+xy+y^2-3x\).

1. (2 pt) Halla los puntos críticos.
2. (2 pt) Clasifícalos.

Un ayuntamiento de Jaén coloca carteles rectangulares de \(x\times y\) metros. El marco cuesta 1 €/m en los lados horizontales y 2 €/m en los verticales, y hay 48 € por cartel, es decir, \(2x+4y=48\).

1. (1 pt) Plantea el problema de maximizar el área.
2. (3 pt) Resuélvelo con multiplicadores de Lagrange.
3. (1 pt) Interpreta el multiplicador.

Calcula \(\displaystyle\iint_Rxy^2\,dA\) con \(R=[0,3]\times[0,2]\).

1. (3 pt) Calcula la integral iterada indicando cada paso.