Espacios vectoriales – matemáticas 1º Grado (Universidad): soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (3 puntos)

   Criterios. Se valora comprobar las condiciones de subespacio o dar un contraejemplo concreto.

   1. Sí: definido por ecuaciones lineales homogéneas; es la recta \(\langle(2,1,0)\rangle\). Contiene al vector nulo y es cerrado para sumas y productos por escalares, porque las ecuaciones son lineales y homogéneas. Sus vectores son \((2y,y,0)=y(2,1,0)\): dimensión 1.
   2. No: \((1,0,0)\in B\) pero \(-1\cdot(1,0,0)\notin B\). Falla la cerradura respecto del producto por escalares negativos. Sí es cerrado para la suma, pero eso no basta: es un semiespacio, no un subespacio.

2. Solución del ejercicio 2 (4 puntos)

   Criterios. Se valora el cálculo del determinante con el parámetro y la relación de dependencia explícita.

   1. Desarrollando por la primera fila: \(\begin{vmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&k&1\end{vmatrix}=1\cdot(1-k)-1\cdot(0-1)=2-k\). Son dependientes solo si \(k=2\). Tres vectores de \(\mathbb R^3\) son linealmente dependientes si y solo si el determinante de la matriz que forman es cero. Para \(k\neq2\) son independientes y forman una base.
   2. Con \(k=2\), \(w=(1,2,1)\) y \(\alpha(1,1,0)+\beta(0,1,1)=(1,2,1)\) da \(\alpha=1\), \(\beta=1\): \(w=u+v\). Comprobación: \(u+v=(1,1,0)+(0,1,1)=(1,2,1)\).

3. Solución del ejercicio 3 (5 puntos)

   Criterios. Se valora el cálculo del rango, la base, las ecuaciones implícitas y la comprobación de pertenencia.

   1. \((2,4,1,3)=2(1,2,0,1)+(0,0,1,1)\): el rango es 2. Base \(\{(1,2,0,1),(0,0,1,1)\}\), \(\dim U=2\). Los vectores \((1,2,0,1)\) y \((0,0,1,1)\) no son proporcionales, así que son independientes.
   2. \(x=\lambda\), \(y=2\lambda\), \(z=\mu\), \(t=\lambda+\mu\): \(y-2x=0\) y \(t-x-z=0\). Se eliminan los parámetros \(\lambda\) y \(\mu\); hacen falta \(4-2=2\) ecuaciones.
   3. \(2-2=0\) y \(4-1-3=0\): sí, es \((1,2,0,1)+3(0,0,1,1)\). Basta comprobar que el vector cumple las dos ecuaciones implícitas.

4. Solución del ejercicio 4 (4 puntos)

   Criterios. Se valora justificar que es base y resolver el sistema de coordenadas con orden.

   1. \(\det=2\ne0\). \(\det\begin{pmatrix}1&0&1\\1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}=1\cdot1-0+1\cdot1=2\). Tres vectores independientes en un espacio de dimensión 3 forman una base.
   2. \(\alpha+\gamma=2\), \(\alpha+\beta=3\), \(\beta+\gamma=1\): sumando, \(\alpha+\beta+\gamma=3\), así que \(\alpha=2\), \(\beta=1\), \(\gamma=0\). Planteamos \(\alpha(1,1,0)+\beta(0,1,1)+\gamma(1,0,1)=(2,3,1)\). Restando cada ecuación de la suma total: \(\beta=3-2=1\), \(\gamma=3-3=0\), \(\alpha=3-1=2\). Comprobación: \(2(1,1,0)+(0,1,1)=(2,3,1)\).
   3. \((1,1,0)-(0,1,1)+2(1,0,1)=(3,0,1)\). Las coordenadas son los coeficientes de la combinación lineal: se multiplica cada vector de la base por su coordenada y se suman.

5. Solución del ejercicio 5 (4 puntos)

   Criterios. Se valora el rango de los generadores, la fórmula de Grassmann y el vector común.

   1. \((1,0,0,1)+(0,1,1,0)=(1,1,1,1)=(1,1,0,0)+(0,0,1,1)\) y el rango de los cuatro vectores es 3: \(\dim(U+W)=3\). \(U+W\) está generado por los cuatro vectores juntos. Hay una relación de dependencia y tres de ellos, \((1,0,0,1)\), \((0,1,1,0)\) y \((1,1,0,0)\), son independientes, así que el rango es 3.
   2. \(2+2-3=1\). Fórmula de Grassmann: \(\dim(U\cap W)=\dim U+\dim W-\dim(U+W)\), con \(\dim U=\dim W=2\) porque cada uno tiene dos generadores no proporcionales.
   3. \(\{(1,1,1,1)\}\). El vector \((1,1,1,1)\) está en \(U\) (suma de sus generadores) y en \(W\) (suma de los suyos); como \(\dim(U\cap W)=1\), él solo forma una base.

Total : 20 puntos