Espacios vectoriales – matemáticas 1º Grado (Universidad): ejercicios para descargar en PDF

Un subconjunto no vacío \(W\) de un espacio vectorial es subespacio si es cerrado para la suma y para el producto por escalares (equivalentemente, si \(\lambda u+\mu v\in W\) para todo \(u,v\in W\)). Decide en cada caso.

1. \(W_1=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3:\ x+2y-z=0\}\)
2. \(W_2=\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x+y=1\}\)
3. \(W_3=\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ xy=0\}\)
4. \(W_4=\{p\in\mathcal P_2:\ p(1)=0\}\)

Sean \(v_1=(1,1,1)\) y \(v_2=(0,1,2)\) en \(\mathbb R^3\).

1. ¿Es \(w=(1,4,7)\) combinación lineal de \(v_1\) y \(v_2\)? En caso afirmativo, halla los coeficientes.
2. ¿Lo es \(u=(1,0,0)\)?
3. Describe \(\langle v_1,v_2\rangle\) con una ecuación implícita.
4. Comprueba que \(w\) cumple esa ecuación y \(u\) no.

Recuerda: \(v_1,\dots,v_k\) son linealmente independientes si la única combinación nula es la trivial; en \(\mathbb R^n\) basta estudiar el rango de la matriz que los tiene por columnas.

1. Estudia si \((1,2,3)\), \((2,1,0)\) y \((3,3,3)\) son independientes. Si no lo son, halla una relación.
2. ¿Para qué valores de \(k\) son dependientes \((1,1,k)\), \((1,k,1)\) y \((k,1,1)\)?
3. Para \(k=-2\), escribe una relación de dependencia.
4. ¿Pueden ser independientes 4 vectores de \(\mathbb R^3\)? Justifica.

Sea \(U=\{(x,y,z,t)\in\mathbb R^4:\ x+y+z+t=0,\ x-y=0\}\).

1. Calcula la dimensión de \(U\).
2. Resuelve el sistema en forma paramétrica y da una base de \(U\).
3. Comprueba que los vectores de la base cumplen las dos ecuaciones.
4. Completa la base de \(U\) hasta obtener una base de \(\mathbb R^4\).

Sea \(V=\langle(1,0,1),(0,1,1)\rangle\subset\mathbb R^3\) y \(W=\langle(1,2,0,1),(0,1,1,1)\rangle\subset\mathbb R^4\).

1. Escribe unas ecuaciones paramétricas de \(V\).
2. Elimina los parámetros para obtener su ecuación implícita.
3. ¿Cuántas ecuaciones implícitas necesita \(W\)? Obténlas.
4. ¿Pertenece \((2,3,1,3)\) a \(W\)?

En \(\mathbb R^2\) se consideran la base canónica \(C\) y la base \(B=\{u_1,u_2\}\) con \(u_1=(1,1)\), \(u_2=(1,-1)\).

1. Halla las coordenadas de \(v=(5,1)\) en la base \(B\).
2. Escribe la matriz de cambio de base \(P_{B\to C}\) (columnas: vectores de \(B\)).
3. Calcula \(P_{C\to B}=P_{B\to C}^{-1}\) y úsala para hallar las coordenadas de \((2,8)\) en \(B\).
4. Interpreta geométricamente la base \(B\).

En un estudio de diseño gráfico de Barcelona, cada color de pantalla es un vector \((R,G,B)\) de intensidades de rojo, verde y azul. Un programa genera colores combinando tres «tintas» base: rojo \(r=(255,0,0)\), verde \(g=(0,255,0)\) y blanco \(w=(255,255,255)\).

1. ¿Son \(r,g,w\) una base de \(\mathbb R^3\)?
2. Expresa el color \(c=(200,150,100)\) como combinación de \(r,g,w\).
3. ¿Qué color se obtiene con coeficientes \((0{,}2;\,0{,}2;\,0{,}5)\)?
4. Si se usaran rojo, verde y amarillo \((255,255,0)\), ¿podría obtenerse \(c\)? Justifica.

Un nutricionista de Pamplona describe cada alimento por el vector (proteínas, grasas, hidratos) en gramos por ración: lentejas \(\ell=(10,2,30)\), huevo \(h=(20,5,10)\) y yogur \(y=(5,15,20)\). Quiere un menú con exactamente \((55,27,70)\) g.

1. Plantea el problema como una combinación lineal.
2. ¿Son \(\ell,h,y\) linealmente independientes? ¿Qué consecuencia tiene?
3. Calcula el número de raciones de cada alimento.
4. Interpreta el resultado: ¿es realizable el menú?

El perfil de una rampa de un parque de skate de Madrid es \(p(x)=x^2+3x+2\) (en metros). En el espacio \(\mathcal P_2\) de polinomios de grado \(\le2\) se considera la base \(B=\{1,\ x-1,\ (x-1)^2\}\), útil para estudiar la rampa cerca de \(x=1\).

1. Justifica que \(B\) es una base de \(\mathcal P_2\).
2. Calcula las coordenadas de \(p\) en \(B\).
3. Comprueba que esas coordenadas son \(p(1)\), \(p'(1)\) y \(\frac{p''(1)}{2}\).
4. ¿Qué información geométrica dan las dos primeras coordenadas?

Una red de 4 cruces de un barrio de Zaragoza está unida por 5 calles. Los flujos \((f_1,\dots,f_5)\) que respetan la conservación en cada cruce son las soluciones de \(Af=0\), con \(A=\begin{pmatrix}1&-1&0&0&1\\0&1&-1&0&0\\0&0&1&-1&0\\-1&0&0&1&-1\end{pmatrix}\).

1. Explica por qué el conjunto de flujos válidos es un subespacio de \(\mathbb R^5\).
2. Calcula el rango de \(A\) y la dimensión del subespacio.
3. Halla una base.
4. Interpreta cada vector de la base como un circuito cerrado de la red.

Una aplicación de música de una empresa de Valencia representa trozos de 4 muestras de sonido como vectores de \(\mathbb R^4\). En lugar de la base canónica usa la base de Haar: \(h_1=(1,1,1,1)\), \(h_2=(1,1,-1,-1)\), \(h_3=(1,-1,0,0)\), \(h_4=(0,0,1,-1)\).

1. Comprueba que los vectores de Haar son ortogonales dos a dos y deduce que son base.
2. Calcula las coordenadas de la señal \(s=(4,2,5,5)\) en la base de Haar.
3. Interpreta la primera coordenada.
4. Para comprimir se anulan los coeficientes pequeños. Si se elimina el de \(h_3\), ¿qué señal se reconstruye? ¿Qué error se comete?

En un problema de cría de conejos de una granja escuela, el número de parejas cumple \(a_{n+2}=a_{n+1}+a_n\). Sea \(V\) el conjunto de todas las sucesiones reales que cumplen esta recurrencia.

1. Demuestra que \(V\) es un subespacio vectorial del espacio de sucesiones.
2. Explica por qué una sucesión de \(V\) queda determinada por \((a_0,a_1)\) y deduce que \(\dim V=2\).
3. Una base es \(\{g,f\}\), con \(g\) empezando por \((1,0)\) y \(f\) (Fibonacci) por \((0,1)\). Escribe sus 6 primeros términos.
4. La sucesión de Lucas empieza por \(2,1\). Halla sus coordenadas en la base \(\{g,f\}\) y calcula su décimo término \(L_9\).

En el laboratorio de física de la Universidad de Cantabria, la posición \(y(t)\) de una masa unida a un muelle cumple \(y''+y=0\). Sea \(S\) el conjunto de soluciones.

1. Demuestra que \(S\) es un subespacio vectorial del espacio de funciones.
2. Comprueba que \(\cos t\) y \(\sin t\) están en \(S\) y son linealmente independientes.
3. Admitiendo que \(\dim S=2\), halla la solución con \(y(0)=3\) e \(y'(0)=2\).
4. Escribe la solución como \(A\cos(t-\varphi)\) y calcula la amplitud \(A\).

Una estación de Teruel midió 12 °C a las 9:00, 18 °C a las 10:00 y 16 °C a las 11:00. Tomamos \(x=0,1,2\) para esas horas. En \(\mathcal P_2\) se usa la base de Lagrange \(\ell_0=\frac{(x-1)(x-2)}{2}\), \(\ell_1=-x(x-2)\), \(\ell_2=\frac{x(x-1)}{2}\).

1. Calcula \(\ell_i(j)\) para \(i,j\in\{0,1,2\}\). ¿Qué observas?
2. Deduce que las coordenadas de un polinomio \(p\) en esta base son \((p(0),p(1),p(2))\).
3. Escribe el polinomio que interpola las temperaturas y desarróllalo.
4. Estima la temperatura a las 10:30.

En \(\mathbb R^4\) se consideran \(U=\langle(1,0,1,0),(0,1,0,1)\rangle\) y \(W=\langle(1,1,0,0),(0,0,1,1)\rangle\). Queremos describir \(U+W\) y \(U\cap W\) y comprobar la fórmula de Grassmann \(\dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W)\).

1. Calcula \(\dim U\) y \(\dim W\).
2. \(U+W\) está generado por los cuatro vectores. Calcula su dimensión.
3. Deduce \(\dim(U\cap W)\) con la fórmula de Grassmann.
4. Encuentra un vector no nulo de \(U\cap W\) y comprueba que pertenece a ambos.
5. ¿Es la suma \(U+W\) directa? ¿Es \(U+W=\mathbb R^4\)?

En \(\mathbb R^3\) sean el plano \(P=\{x+y+z=0\}\) y la recta \(L=\langle(1,1,1)\rangle\). En estadística, esta descomposición separa unos datos en su media y sus desviaciones.

1. Demuestra que \(P\cap L=\{0\}\).
2. Deduce con Grassmann que \(\mathbb R^3=P\oplus L\).
3. Descompón \(v=(3,0,0)\) como \(v=p+\ell\) con \(p\in P\), \(\ell\in L\).
4. Descompón las notas \((7,5,9)\) de tres exámenes y relaciona \(\ell\) con la media.

En el espacio \(M_2(\mathbb R)\) de matrices \(2\times2\) sean \(\mathcal S\) las simétricas (\(A^T=A\)) y \(\mathcal A\) las antisimétricas (\(A^T=-A\)).

1. Da una base de \(M_2(\mathbb R)\) y su dimensión.
2. Demuestra que \(\mathcal S\) y \(\mathcal A\) son subespacios y halla una base y la dimensión de cada uno.
3. Demuestra que \(M_2(\mathbb R)=\mathcal S\oplus\mathcal A\) usando \(A=\frac{A+A^T}2+\frac{A-A^T}2\).
4. Descompón \(A=\begin{pmatrix}1&2\\4&3\end{pmatrix}\).

Sean \(u_1=(1,a,0)\), \(u_2=(a,1,0)\), \(u_3=(0,0,a)\) en \(\mathbb R^3\).

1. ¿Para qué valores de \(a\) forman base?
2. Para \(a=2\), halla las coordenadas de \(v=(3,3,4)\) en esa base.
3. Para \(a=1\), ¿qué dimensión tiene \(\langle u_1,u_2,u_3\rangle\)? Da una base.
4. Para \(a=0\), ¿qué subespacio generan?

Una cooperativa apícola de Guadalajara estudia la estructura de sus panales. Los centros de las celdas forman una red: todos son de la forma \(mu+nv\) con \(m,n\) enteros, donde \(u=(1,0)\) y \(v=\left(\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right)\) (en centímetros).

1. Comprueba que \(\{u,v\}\) es base de \(\mathbb R^2\) y calcula el ángulo entre \(u\) y \(v\).
2. Calcula las coordenadas cartesianas de la celda \((m,n)=(3,2)\).
3. ¿Qué coordenadas en la base \(\{u,v\}\) tiene el punto \((2,\sqrt3)\)? ¿Es el centro de una celda?
4. Calcula la distancia entre las celdas \((0,0)\) y \((3,2)\) y explica por qué no es \(\sqrt{3^2+2^2}\).

Demuestra los resultados siguientes.

1. La intersección de dos subespacios es un subespacio.
2. La unión \(U\cup W\) es subespacio si y solo si \(U\subseteq W\) o \(W\subseteq U\).
3. Calcula la dimensión de \(V=\{p\in\mathcal P_3:\ p(1)=p(2)=0\}\) y da una base.
4. Si \(\dim E=n\) y \(v_1,\dots,v_n\) generan \(E\), demuestra que son base.